Aufgaben zu Ableitungen, Symmetrie und Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen

Bilde die Ableitung nach x, beachte hierzu die Ableitungsregeln vom Sinus

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(x)'&=&(-\sin(x))' \\\\&=&-\cos(x) \end{array}$

Leite nach x ab, beachte hierbei die Ableitungsregel des Sinus und die Kettenregel, $u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x)$ mit $u(x)=\sin(x)$ und $v(x)=2\cdot x$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} g(x)'&=&(\sin(2\cdot x))' \\\\&=& (\cos(2\cdot x)) \cdot (2\cdot x)' \\\\&=& 2\cdot \cos(2\cdot x) \end{array}$

Leite die Klammer ab und wende die Kettenregel an: $u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x)$ mit $u(x)=x^2$ und $v(x)=\cos(x)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} h(x)'&=& ((\cos(2\cdot x))^2)' \\\\&=& 2\cdot (\cos(2\cdot x))^1\cdot (\cos(2\cdot x))' \end{array}$

Leite $\cos(2\cdot x)$ mit Hilfe der Kettenregel ab, wobei $u(x)=\cos(x)$ und $v(x)=2\cdot x$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} h(x)'&=&2\cdot (\cos(2\cdot x))^1\cdot (-\sin(2\cdot x))\cdot 2 \\\\&=&4\cdot \cos(2\cdot x)\cdot (-\sin(2\cdot x)) \end{array}$

Leite den Kosinus mit Hilfe der Kettenregel $u(v(x))=u'(v(x)\cdot v'(x)$ ab, wobei $u(x)=\cos(x)$ und $v(x)=2\cdot x^2$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} i(x)'&=&(3\cdot \cos(2\cdot x^2))' \\\\&=&3\cdot (-\sin(2\cdot x^2))\cdot (2\cdot x^2)' \end{array}$

Leite $2\cdot x^2$ ab.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} i(x)'&=&-3\cdot \sin(2\cdot x^2)\cdot 4\cdot x \\\\&=&-12\cdot x\cdot \sin(2\cdot x^2) \end{array}$

Gegeben: $t(a)=3\cdot a^2+4\cdot \sin(3\cdot a^2)$

Gesucht: $t'(a)$

Der vordere Term stellt ein Polynom dar und die Ableitung ist $(3 \cdot a^2)'=6 \cdot a$. Leite den zweiten Term mit der Kettenregel ab.

$(4 \cdot \sin(3 \cdot a^2))'=4 \cdot \cos(3 \cdot a^2) \cdot 6 \cdot a$

Führe die beiden Ergebnisse zusammen und erhalte die Ableitung von $t(a)$.

$t'(a)=6 \cdot a + 24 \cdot a \cdot \cos(3 \cdot a^2)$

Da $j(b)$ das Produkt von $b^2$ und $\tan(b)$ ist, verwende die Produktregel, hier: $j(b)=u(b)\cdot v(b)$ mit $u(b)=b^2$ und $v(b)=\tan(b)$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} j'(b)&=&(b^2)'\cdot\tan(b)+b^2 \cdot(\tan(b))' \end{array}$

Es gilt $(\tan(b))'=\dfrac{1}{\cos^2(b)}$.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} j'(b)&=&2 \cdot b \cdot \tan(b)+\dfrac{b^2}{\cos^2(b)} \end{array}$

Gegeben: $k(m)=\dfrac{1}{\sin(m)}$

Gesucht: $k'(m)$

Da die Funktion einen Quotient darstellt, nämlich $k(m)=\dfrac{u(m)}{v(m)}$ mit $u(m)=1$ und $v(m)=\sin(m)$, ist die Quotientenregel anwendbar.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} k'(m)&=&\dfrac{0\cdot \sin(m)-1\cdot \cos(m)}{(\sin(m))^2} \\\\&=& -\dfrac{\cos(m)}{\sin^2(m)} \end{array}$

Gegeben: $n(x)=\sin(\cos(x))$

Gesucht: $n'(x)$

Die Funktion ist verkettet, es gilt nämlich $n(x)=u(v(x))$ für $u(y)=\sin(y)$ und $v(x)=\cos(x).$ Wende daher die Kettenregel an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} n'(x)&=&u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{array}$

Leite $u(y)$ und $v(x)$ ab.

$u'(y)=\cos(y)$ und $v'(x)=-\sin(x)$

Setze dies in $n'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x)$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} n'(x)&=&\cos(v(x)) \cdot (- \sin(x)) \end{array}$

Nach oben ist $v(x)=\cos(x)$, setze dies ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} n'(x)&=&-\cos(\cos(x)) \cdot \sin(x) \end{array}$

Gegeben:

$f(x)=2\cdot \cos(x)+1$

Prüfe die Funktion auf Symmetrie.

$f(-x)=2 \cdot \cos(-x)+1$

Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

$f(-x)=2 \cdot \cos(x)+1=f(x)$

Daher ist $f(x)$ ebenfalls achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Gegeben:

$g(x)=4 \cdot \sin(x)$

Prüfe die Funktion auf ihre Symmetrie.

$g(-x)=4 \cdot \sin(-x)$

Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

$g(-x)=-4 \cdot \sin(x)=-g(x)$

Das heißt, $g(x)$ ist punktsymmetrisch.

Gegeben:

$h(x)=\sin(x-6\pi)$

Da die Sinusfunktion $2\pi$-periodisch ist, gilt $\sin(x-6\pi)=\sin(x)$.

$h(x)=\sin(x)$

Das bedeutet, dass $h(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, da der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

$2\cdot\sin(x-\mathrm\pi)=1$

Teile auf beiden Seiten der Gleichung durch $2$.

$\sin(x-\pi)=\frac 12$

Verwende die Umkehrfunktion des Sinus.

$x-\pi = \sin^{-1}\left(\frac 12\right)$

Löse nach $x$ auf. Betrachte hierzu den Graphen des Arkussinus und erhalte $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}.$

$\cos\left( x- \dfrac{\pi}{2} \right) = 1$

Wende die Umkehrfunktion des Kosinus an.

$x-\dfrac{\pi}{2} = \cos^{-1} (1)$

Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und lese ab, dass $\cos^{-1}(1)=0$.

$x-\dfrac{\pi}{2} = 0$

Löse die Gleichung nun nach $x$ auf.

$x=\dfrac{\pi}{2}$

$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}-1\right) = 0$

Wende die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion an.

$x+\dfrac{\pi}{2}-1=\cos^{-1}(0)$

Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und erhalte $\cos^{−1}(0)=\frac{\pi}{2}.$

$x+\dfrac{\pi}{2}-1=\dfrac{\pi}{2}$

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} x+\dfrac{\pi}{2}-1&=&\dfrac{\pi}{2}&&|-\dfrac{\pi}{2} \\ \\x-1&=&0&&|+1 \\ \\x&=&1 \end{array}$