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Vielfachheit von Nullstellen

3Vielfachheit einer Nullstelle (2|8)

Damit wir am Funktionsterm feststellen können, ob der Graph an den Nullstellen die xx-Achse überquert (VZW) oder nur berührt (kein VZW), brauchen wir den Begriff des Linearfaktors.

Du hattest schon festgestellt, dass die Graphen von f,gf, g und hh die gleichen Nullstellen haben. Ihre Linearfaktordarstellungen werden also sehr ähnlich sein.

Hier findest du wieder die Graphen von f,gf,g und hh. Darunter sind die dazugehörigen Funktionsterme f(x),g(x)f(x), g(x) und h(x)h(x) in Linearfaktordarstellung angezeigt.

Vergleiche die Linearfaktoren (x+2),(x1)(x+2), (x-1) und (x3)(x-3) in den verschiedenen Funktionsvorschriften. Was fällt dir auf?

f(x)=15(x+2)2(x1)(x3)f(x)=\frac{1}{5}(x+2)\color{red}^{2}\color{black}(x-1)(x-3)

Graph f

Graph ff

g(x)g(x)=15(x+2)(x1)2(x3)\frac{1}{5}(x+2)(x-1)\color{red}^{2}\color{black}(x-3)

Graph g

Graph gg

h(x)h(x)=120(x+2)2(x1)2(x3)2\frac{1}{20}(x+2)\color{red}^{2}\color{black}(x-1)\color{red}^{2}\color{black}(x-3)\color{red}^{2}

Graph h

Graph hh

Manche Linearfaktoren kommen in den Funktionstermen mehrmals vor, bzw. sind sie als Potenz (mit Exponent 2\color{red}{2}) geschrieben.

Schauen wir uns den Funktionsterm g(x)g(x) etwas genauer an:

g(x)g(x)=15(x+2)(x1)2(x3)\frac{1}{5}(x+2)(x-1)\color{red}^{2}\color{black}(x-3)

Zur Nullstelle x1=2x_1=-2 gehört der Linearfaktor (x+2)(x+2). Dieser kommt nur einmal in g(x)g(x) vor. Weiterhin überquert gg bei 2-2 die xx-Achse.

Zur Nullstelle x2=1x_2=1 gehört der Linearfaktor (x1)(x-1). Dieser kommt zweimal in g(x)g(x) vor (bzw. hat den Exponenten 22). Bei 11 berührt gg nur die xx-Achse.

Graph g

Graph gg

Vergleiche jetzt nochmal die Linearfaktoren in den Funktionstermen mit dem Verhalten des Graphen an den Nullstellen.


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