Aufgaben zu einfachen Potenzen

Berechne ohne Taschenrechner

$3^5$

$\left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3$

Dividiere die Potenz mit der Basis 75 und dem Exponenten 3 durch die Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 5.

"Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten $4$ "	ergibt im Term: $6^4$
"dividiere"	geteilt durch
"Produkt aus $9$ und $16$ "	ergibt im Term: $9\cdot 16$

Dividiere die Potenz mit der Basis 18 und dem Exponenten 4 durch die Potenz mit der Basis 3 und dem Exponenten 7. Rechne so vorteilhaft wie möglich!

Multipliziere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 mit der Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.

Löse diese Aufgabe durch geschicktes Umformen.

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$\displaystyle 3^5$	$=$	$\displaystyle 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$
	↓	Rechne schrittweise.
	$=$	$\displaystyle \underbrace{3\cdot3}_9\cdot3\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{9\cdot3}_{27}\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{27\cdot3}_{81}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 81\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 243$

$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3$	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse erneut zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot16\cdot4\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot16\cdot8\right)\right]:3$
	↓	Man multipliziert zunächst die Zahlen in der Klammer da gilt: Klammer vor Punkt vor Strich
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot128\right)\right]:3$
	↓	Multilpiziere.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+384\right)\right]:3$
	↓	Addiere die Zahlen in der Klammer. Die Klammer löst sich dadurch auf.
	$=$	$\displaystyle \left[400-391\right]:3$
	↓	Subtrahiere in der Klammer. Die Klammer löst sich auf.
	$=$	$\displaystyle 9:3$
	↓	Dividiere.
	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle \frac{75^3}{5^5}$	$=$	$\displaystyle \frac{15^3\cdot5^3}{5^5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3^3\cdot5^3\cdot5^3}{5^5}$
	↓	Kürze mit $5^5$ .
	$=$	$\displaystyle 3^3\cdot5^1$
	↓	Berechne jetzt die einzelnen Potenzen. $3^3 = 3\cdot 3\cdot 3 = 27$ und $5^1 = 5$
	$=$	$\displaystyle 27\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 135$

$\displaystyle \frac{18^4}{3^7}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2\cdot3^2\right)^4}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{2^4\cdot\left(3^2\right)^4}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{2^4\cdot3^8}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2^4\cdot3^1$
	$=$	$\displaystyle 16\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 48$

$\displaystyle 6^4\cdot5^3$	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2^4\cdot5^3$
	↓	$2^4=2\cdot2^3$
	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2\cdot2^3\cdot5^3$
	↓	$2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3$
	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2\cdot\left(2\cdot5\right)^3$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 162\cdot1000$
	$=$	$\displaystyle 162000$

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