Aufgaben zum Vereinfachen von Termen mit Zahlen und Variablen

1
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
$2 x - (\frac{1}{2} x \cdot 3 + 8)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammenfassen von Termen
$2 x - (\frac{1}{2} x \cdot 3 + 8)$
Wende zunächst in der Klammer die Regel Punkt vor Strich an. Multipliziere dazu $\frac{1}{2}$ mit $3$ :
$= 2 x - (\frac{3}{2} x + 8)$
Löse nun die Klammer auf. Achte dabei auf das Minuszeichen vor der Klammer, wodurch sich alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen:
$= 2 x - \frac{3}{2} x - 8$
Vereinfache den Term nun noch, indem du gleiche Variablen zusammenfasst:
$= \frac{1}{2} x - 8$
Es ist ebenso richtig, wenn du $\frac{1}{2}$ als Dezimalzahl, also $0,5$ , schreibst:
$= 0,5 x - 8$

Fasse folgende Terme zusammen und vereinfache sie soweit wie möglich.

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$5 x + 7 y - x + 13 y$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
Sortiere nach den Variablen.
$5 x + 7 y - x + 13 y$ $=$ $5 x - x + 7 y + 13 y$
↓
Fasse gleiche Variablen zusammen.
$=$ $4 x + 20 y$
↓
Der Faktor 4 lässt sich ausklammern.
$=$ $4 \cdot (x + 5 y)$
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$\frac{1}{3} a + \frac{4}{9} b + \frac{5}{6} a + \frac{11}{9} b + \frac{1}{6} a$

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$10 k + 6 m - 8 n + 5 k - m - 2 n$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
Sortiere nach den Variablen.
$10 k + 6 m - 8 n + 5 k - m - 2 n$ $=$ $10 k + 5 k + 6 m - m - 8 n - 2 n$
↓
Gleiche Variablen zusammenfassen.
$=$ $15 k + 5 m - 10 n$
↓
Der Faktor 5 lässt sich ausklammern.
$=$ $5 \cdot (3 k + m - 2 n)$
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$4 \frac{1}{3} u + 1 \frac{1}{2} v - 4 z - 2 \frac{1}{2} u + 3 \frac{1}{4} z - 4 \frac{1}{2} v$

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$1,8 x + 2,3 y + 3,2 z - 0,9 x - 1,1 y - 1,4 z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen
Sortiere nach den Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen.
$\begin{array}{l} 1,8 x + 2,3 y + 3,2 z - 0,9 x - 1,1 y - 1,4 z \\ = 1,8 x - 0,9 x + 2,3 y - 1,1 y + 3,2 z - 1,4 z \\ = 0,9 x + 1,2 y + 1,8 z \end{array}$
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$7 \frac{1}{4} ax - 3 \frac{1}{2} bx + 5 \frac{2}{3} cx - 2 \frac{1}{8} ax + 4 \frac{5}{6} bx - 2 \frac{1}{9} cx$

Multipliziere die Summen aus.

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$x \cdot (m + n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$x \cdot (m + n)$ $=$
↓
Multipliziere jeden Summanden mit x.
$=$ $m x + n x$
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$- 20 \cdot (- 5 u + 3 v + 3 v - 1,5 w)$

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$2,5 \cdot (4 x + 2 y)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$2,5 \cdot (4 x + 2 y)$ $=$
↓
Multipliziere jeden Summanden mit 2,5.
$=$ $2,5 \cdot 4 x + 2,5 \cdot 2 y$
↓
Berechne die Produkte bilden unter Beachtung der Vorzeichen.
$=$ $10 x + 5 y$
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$6 m \cdot (3 m - 1,5 n - 4 mn)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$6 m \cdot (3 m - 1,5 n - 4 mn)$ $=$
↓
Multipliziere jeden Summanden mit 6m.
$=$ $6 m \cdot 3 m - 6 m \cdot 1,5 n - 6 m \cdot 4 m n$
↓
Berechne die Produkte. Beachte die Vorzeichen!
$=$ $18 m^{2} - 9 mn - 24 m^{2} n$
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$- 3 m \cdot (- m - n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$- 3 m \cdot (- m - n)$ $=$
↓
Multipliziere jeden Summanden mit -3m.
$=$ $(- 3 m) \cdot (- m) + (- 3 m) \cdot (- n)$
↓
Berechne die Produkte. Beachte die Vorzeichen!
$=$ $3 m^{2} + 3 m n$
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$\frac{3}{4} \cdot (\frac{9}{8} a - \frac{5}{6} b - \frac{1}{12} c)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$\frac{3}{4} \cdot (\frac{9}{8} a - \frac{5}{6} b - \frac{1}{12} c)$ $=$
↓
Multipliziere jeden Summanden mit $\frac{3}{4}$
$=$ $\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{8} a - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} b - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{12} c$
↓
Berechne die Produkte.
$=$ $\frac{27}{32} a - \frac{15}{24} b - \frac{3}{48} c$
↓
Kürze den Bruch bei $b$ und $c$ mit 3.
$=$ $\frac{27}{32} a - \frac{5}{8} b - \frac{1}{16} c$
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$(x - 5) \cdot (x + \frac{3}{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$(x - 5) \cdot (x + \frac{3}{2})$ $=$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - 5 x - 5 \cdot \frac{3}{2}$
↓
Fasse gleiche Variablen zusammen.
$=$ $x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$
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$(\frac{2}{3} x - 2) \cdot (x + 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$(\frac{2}{3} x - 2) \cdot (x + 3)$ $=$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $\frac{2}{3} x^{2} + 3 \cdot \frac{2}{3} x - 2 x - 6$
↓
Berechne die Produkte.
$=$ $\frac{2}{3} x^{2} + 2 x - 2 x - 6$
↓
Fasse die gleichen Variablen zusammen.
$=$ $\frac{2}{3} x^{2} - 6$
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$(\frac{1}{2} x - \frac{5}{2}) \cdot (x + 5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$(\frac{1}{2} x - \frac{5}{2}) \cdot (x + 5)$ $=$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} x - \frac{5}{2} x - 5 \cdot \frac{5}{2}$
↓
Berechne die Produkte.
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$
↓
Fasse die gleichen Variablen zusammen.
$=$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{25}{2}$
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$\frac{3}{2} \cdot (x + 4) \cdot (x + 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$\frac{3}{2} \cdot (x + 4) \cdot (x + 4)$ $=$
↓
Wende die erste binomische Formel an.
$=$ $\frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 8 x + 16)$
↓
Löse die Klammer auf.
$=$ $\frac{3}{2} x^{2} + \frac{3}{2} \cdot 8 x + \frac{3}{2} \cdot 16$
↓
Berechne die Produkte.
$=$ $\frac{3}{2} x^{2} + 12 x + 24$
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$(3 - 2 x) \cdot (- 2 x + 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$(3 - 2 x) \cdot (- 2 x + 3)$ $=$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $- 6 x + 9 + 4 x^{2} - 6 x$
↓
Fasse die gleichen Variablen zusammen.
$=$ $4 x^{2} - 12 x + 9$
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$\frac{x - 5}{1} \cdot (2 x + 8)$

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$(x + 8) \cdot (\frac{1}{4} x + 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$(x + 8) \cdot (\frac{1}{4} x + 1)$ $=$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $\frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{8}{4} x + 8$
↓
Kürze $\frac{8}{4}$ mit 4.
$=$ $\frac{1}{4} x^{2} + x + 2 x + 8$
↓
Fasse die gleichen Variablen zusammen.
$=$ $\frac{1}{4} x^{2} + 3 x + 8$
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$(1 - \frac{1}{5} x) \cdot (\frac{2}{5} x + 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$(1 - \frac{1}{5} x) \cdot (\frac{2}{5} x + 2)$ $=$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $\frac{2}{5} x + 2 - \frac{2}{25} x^{2} - \frac{2}{5} x$
↓
Fasse die gleichen Variablen zusammen.
$=$ $- \frac{2}{25} x^{2} + 2$
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$\frac{x}{2} \cdot {(2 x - k)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$\frac{x}{2} \cdot {(2 x - k)}^{2}$ $=$
↓
Wende die zweite binomische Formel an.
$=$ $\frac{x}{2} \cdot (4 x^{2} - 4 kx + k^{2})$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$=$ $2 x^{3} - 2 {kx}^{2} + \frac{k^{2}}{2} x$
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$- \frac{1}{8} \cdot {(4 - 2 x)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$- \frac{1}{8} \cdot {(4 - 2 x)}^{2}$ $=$
↓
Wende die zweite binomische Formel an.
$=$ $- \frac{1}{8} \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2})$
↓
Multipliziere die Klammer aus.
$=$ $- 2 + 2 x - \frac{1}{2} x^{2}$
↓
Sortiere nach Variablen.
$=$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 2$
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$x \cdot (x + 3) \cdot (2 x - 5)$

${(x - 1)}^{3}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$5 x + 7 y - x + 13 y$	$=$	$5 x - x + 7 y + 13 y$
	↓	Fasse gleiche Variablen zusammen.
	$=$	$4 x + 20 y$
	↓	Der Faktor 4 lässt sich ausklammern.
	$=$	$4 \cdot (x + 5 y)$

$\frac{1}{3} a + \frac{4}{9} b + \frac{5}{6} a + \frac{11}{9} b + \frac{1}{6} a$	$=$	$\frac{1}{3} a + \frac{5}{6} a + \frac{1}{6} a + \frac{4}{9} b + \frac{11}{9} b$
	↓	Der Hauptnenner muss für beide Variablen gebildet werden (a=6 b=9). Bringe alle Brüche auf die jeweiligen Hauptnenner.
	$=$	$\frac{2}{6} a + \frac{5}{6} a + \frac{1}{6} a + \frac{4}{9} b + \frac{11}{9} b$
	↓	Fasse gleiche Variablen zusammen.
	$=$	$\frac{8}{6} a + \frac{15}{9} b$
	↓	Beide Brüche lassen sich kürzen (a mit 2 und b mit 3).
	$=$	$\frac{4}{3} a + \frac{5}{3} b$
	↓	Der Faktor $\frac{1}{3}$ lässt sich ausklammern.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (4 a + 5 b)$

$10 k + 6 m - 8 n + 5 k - m - 2 n$	$=$	$10 k + 5 k + 6 m - m - 8 n - 2 n$
	↓	Gleiche Variablen zusammenfassen.
	$=$	$15 k + 5 m - 10 n$
	↓	Der Faktor 5 lässt sich ausklammern.
	$=$	$5 \cdot (3 k + m - 2 n)$

$4 \frac{1}{3} u + 1 \frac{1}{2} v - 4 z - 2 \frac{1}{2} u + 3 \frac{1}{4} z - 4 \frac{1}{2} v$	$=$	$\frac{13}{3} u - \frac{5}{2} u + \frac{3}{2} v - \frac{9}{2} v - \frac{4}{1} z + \frac{13}{4} z$
	↓	Der Hauptnenner (12) muss für beide Variablen gebildet werden. Alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.
	$=$	$\frac{52}{12} u - \frac{30}{12} u + \frac{18}{12} v - \frac{54}{12} v - \frac{48}{12} z + \frac{39}{12} z$
	↓	Gleiche Variablen zusammenfassen.
	$=$	$\frac{22}{12} u - \frac{36}{12} v - \frac{9}{12} z$
	↓	Der Faktor $\frac{1}{12}$ lässt sich ausklammern.
	$=$	$\frac{1}{12} \cdot (22 u - 36 v - 9 z)$

	$=$	$\frac{58}{8} ax - \frac{17}{8} ax - \frac{21}{6} bx + \frac{29}{6} bx + \frac{51}{9} cx - \frac{19}{9} cx$
	↓	Fasse gleiche Variablen zusammen.
	$=$	$\frac{41}{8} ax + \frac{8}{6} bx + \frac{32}{9} cx$
	↓	Der Faktor $x$ lässt sich ausklammern.
	$=$	$x \cdot (\frac{41}{8} a + \frac{8}{6} b + \frac{32}{9} c)$
	↓	kürze im zweiten Summanden
	$=$	$x \cdot (\frac{41}{8} a + \frac{4}{3} b + \frac{32}{9} c)$

$x \cdot (m + n)$	$=$
	↓	Multipliziere jeden Summanden mit x.
	$=$	$m x + n x$

$- 20 \cdot (- 5 u + 3 v + 3 v - 1,5 w)$	$=$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- 20 \cdot (- 5 u + 6 v - 1,5 w)$
	↓	Multipliziere jeden Summanden mit -20.
	$=$	$(- 20) \cdot (- 5 u) + (- 20) \cdot 6 v + (- 20) \cdot (- 1,5 w)$
	↓	Berechne die Produkte unter Beachtung der Vorzeichen.
	$=$	$100 u - 120 v + 30 w$

$2,5 \cdot (4 x + 2 y)$	$=$
	↓	Multipliziere jeden Summanden mit 2,5.
	$=$	$2,5 \cdot 4 x + 2,5 \cdot 2 y$
	↓	Berechne die Produkte bilden unter Beachtung der Vorzeichen.
	$=$	$10 x + 5 y$

$6 m \cdot (3 m - 1,5 n - 4 mn)$	$=$
	↓	Multipliziere jeden Summanden mit 6m.
	$=$	$6 m \cdot 3 m - 6 m \cdot 1,5 n - 6 m \cdot 4 m n$
	↓	Berechne die Produkte. Beachte die Vorzeichen!
	$=$	$18 m^{2} - 9 mn - 24 m^{2} n$

$- 3 m \cdot (- m - n)$	$=$
	↓	Multipliziere jeden Summanden mit -3m.
	$=$	$(- 3 m) \cdot (- m) + (- 3 m) \cdot (- n)$
	↓	Berechne die Produkte. Beachte die Vorzeichen!
	$=$	$3 m^{2} + 3 m n$

$\frac{3}{2} \cdot (x + 4) \cdot (x + 4)$	$=$
	↓	Wende die erste binomische Formel an.
	$=$	$\frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 8 x + 16)$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{3}{2} \cdot 8 x + \frac{3}{2} \cdot 16$
	↓	Berechne die Produkte.
	$=$	$\frac{3}{2} x^{2} + 12 x + 24$

$\frac{x}{2} \cdot {(2 x - k)}^{2}$	$=$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\frac{x}{2} \cdot (4 x^{2} - 4 kx + k^{2})$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$2 x^{3} - 2 {kx}^{2} + \frac{k^{2}}{2} x$

${(x - 1)}^{3}$	$=$
	↓	Zerlege in zwei Produkte.
	$=$	$(x - 1) \cdot {(x - 1)}^{2}$
	↓	Wende im zweiten Faktor die zweite binomische Formel an.
	$=$	$(x - 1) \cdot (x^{2} - 2 x + 1)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$x^{3} - 2 x^{2} + x - x^{2} + 2 x - 1$
	↓	Fasse die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

$\frac{3}{4} \cdot (\frac{9}{8} a - \frac{5}{6} b - \frac{1}{12} c)$	$=$
	↓	Multipliziere jeden Summanden mit $\frac{3}{4}$
	$=$	$\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{8} a - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} b - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{12} c$
	↓	Berechne die Produkte.
	$=$	$\frac{27}{32} a - \frac{15}{24} b - \frac{3}{48} c$
	↓	Kürze den Bruch bei $b$ und $c$ mit 3.
	$=$	$\frac{27}{32} a - \frac{5}{8} b - \frac{1}{16} c$

$(x - 5) \cdot (x + \frac{3}{2})$	$=$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$x^{2} + \frac{3}{2} x - 5 x - 5 \cdot \frac{3}{2}$
	↓	Fasse gleiche Variablen zusammen.
	$=$	$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$

$(\frac{2}{3} x - 2) \cdot (x + 3)$	$=$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\frac{2}{3} x^{2} + 3 \cdot \frac{2}{3} x - 2 x - 6$
	↓	Berechne die Produkte.
	$=$	$\frac{2}{3} x^{2} + 2 x - 2 x - 6$
	↓	Fasse die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$\frac{2}{3} x^{2} - 6$

$(\frac{1}{2} x - \frac{5}{2}) \cdot (x + 5)$	$=$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} x - \frac{5}{2} x - 5 \cdot \frac{5}{2}$
	↓	Berechne die Produkte.
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$
	↓	Fasse die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{25}{2}$

$(3 - 2 x) \cdot (- 2 x + 3)$	$=$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$- 6 x + 9 + 4 x^{2} - 6 x$
	↓	Fasse die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$4 x^{2} - 12 x + 9$

$\frac{x - 5}{1} \cdot (2 x + 8)$	$=$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\frac{(x - 5) \cdot (2 x + 8)}{1}$
	↓	Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Den Bruchstrich kannst du jetzt weglassen, da durch 1 geteilt wird.
	$=$	$2 x^{2} + 8 x - 10 x - 40$
	↓	Fasse die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$2 x^{2} - 2 x - 40$

$(x + 8) \cdot (\frac{1}{4} x + 1)$	$=$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{8}{4} x + 8$
	↓	Kürze $\frac{8}{4}$ mit 4.
	$=$	$\frac{1}{4} x^{2} + x + 2 x + 8$
	↓	Fasse die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$\frac{1}{4} x^{2} + 3 x + 8$

$(1 - \frac{1}{5} x) \cdot (\frac{2}{5} x + 2)$	$=$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\frac{2}{5} x + 2 - \frac{2}{25} x^{2} - \frac{2}{5} x$
	↓	Fasse die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$- \frac{2}{25} x^{2} + 2$

$- \frac{1}{8} \cdot {(4 - 2 x)}^{2}$	$=$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$- \frac{1}{8} \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2})$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$- 2 + 2 x - \frac{1}{2} x^{2}$
	↓	Sortiere nach Variablen.
	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 2$

$x \cdot (x + 3) \cdot (2 x - 5)$	$=$
	↓	Fasse die beiden Klammern zusammen.
	$=$	$x \cdot (2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15)$
	↓	Fasse in der Klammer die gleichen Variablen zusammen.
	$=$	$x \cdot (2 x^{2} + x - 15)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$2 x^{3} + x^{2} - 15 x$

Aufgaben zum Vereinfachen von Termen mit Zahlen und Variablen

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