Aufgaben zu Gleichungen

1
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern ${}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L = {4,5,9}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4,5,9$ .
1. $4 x + 4 = 3 x + 3$
  
  Nach x auflösen
  $4 x + 4$ $=$ $3 x + 3$ $- 3 x$
  $x + 4$ $=$ $3$ $- 4$
  $x$ $=$ $- 1$
  Also ist $L = {- 1} .$
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2. $5 x - 2 = x + 6$
  
  Nach x auflösen
  $5 x - 2$ $=$ $x + 6$ $+ 2$
  $5 x$ $=$ $x + 8$ $- x$
  $4 x$ $=$ $8$ $: 4$
  $x$ $=$ $2$
  Also ist $L = {2}$ .
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  Bringe alle $x$ auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite, Dividiere dann, um nach $x$ aufzulösen.
3. $3 x = x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $3 x$ $=$ $x + 5$ $- x$
  $2 x$ $=$ $5$ $: 2$
  $x$ $=$ $2,5$
  $L$ $=$ ${2,5}$
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4. $2 x = 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $2 x$ $=$ $4$ $: 2$
  $x$ $=$ $2$
  $L$ $=$ ${2}$
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5. $7 x - 9 = 2 x + 5$
  
  Nach x auflösen
  $7 x - 9$ $=$ $2 x + 5$ $- 2 x$
  $5 x - 9$ $=$ $5$ $+ 9$
  $5 x$ $=$ $14$ $: 5$
  $x = 2,8$
  $L = {2,8}$
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6. $\frac{1}{12} x - 5 = 3$
  
  Nach x auflösen
  $\frac{1}{12} x - 5$ $=$ $3$ $+ 5$
  $\frac{1}{12} x$ $=$ $8$ $\cdot 12$
  $x = 96$
  $L = {96}$
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7. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $- 8 x + 5 = - 5$
  
  Gleichungen auflösen
  $- 8 x + 5$ $=$ $- 5$ $- 5$
  $- 8 x$ $=$ $- 10$ $: (- 8)$
  $x$ $=$ $\frac{- 10}{- 8}$
  $x$ $=$ $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$
  $L = {1,25}$
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8. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $x + 4 = 9 x - (5 - x)$
  
  Gleichungen auflösen
  $x + 4$ $=$ $9 x - (5 - x)$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $x + 4$ $=$ $9 x - 5 + x$
  ↓
  Zusammenfassen auf der rechten Seite
  $x + 4$ $=$ $10 x - 5$ $- x$
  $4$ $=$ $9 x - 5$ $+ 5$
  $9$ $=$ $9 x$ $: 9$
  $x$ $=$ $1$
  Die Lösung ist $L = {1}$ .
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9. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $\frac{1}{24} x = 0$
  
  Gleichungen auflösen
  $\frac{1}{24} x$ $=$ $0$ $\cdot 24$
  $x$ $=$ $0$
  $L = {0}$
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2
Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (a - 4) = 1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
  $3 (a - 4)$ $=$ $1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $3 a - 12$ $=$ $1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $3 a - 12$ $=$ $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$ $- \frac{1}{5} a + 12$
  $3 a - \frac{1}{5} a$ $=$ $\frac{3}{5} + 12$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $\frac{14}{5} a$ $=$ $\frac{63}{5}$ $: \frac{14}{5}$
  $a$ $=$ $\frac{9}{2} = 4,5$
  $L$ $=$ ${4,5}$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $2,6 (x - 1) = - 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
  $2,6 (x - 1)$ $=$ $- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $2,6 x - 2,6$ $=$ $- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $2,6 x - 2,6$ $=$ $- 7 x - 2,6$ $+ 7 x + 2,6$
  $9,6 x$ $=$ $0$ $: 9,6$
  $x$ $=$ $0$
  $L$ $=$ ${0}$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (4 x - 3) = 4 (3 x - 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
  $3 (4 x - 3)$ $=$ $4 (3 x - 4)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $12 x - 9$ $=$ $12 x - 16$ $- 12 x$
  $- 9$ $=$ $- 16$
  ↓
  Ist nicht lösbar.
  $L$ $=$ $\emptyset$
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4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (4 x + 4) = 4 (3 - 4 x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
  $3 (4 x + 4)$ $=$ $4 (3 - 4 x)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $12 x + 12$ $=$ $12 - 16 x$ $+ 16 x - 12$
  $28 x$ $=$ $0$ $: 28$
  $x$ $=$ $0$
  $L$ $=$ ${0}$
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Bestimme die Lösung der Gleichungen.

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$(x - 7) (x + 3) = x (x + 2) + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen
$(x - 7) \cdot (x + 3)$ $=$ $x (x + 2) + 5$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} + 3 x - 7 x - 21$ $=$ $x^{2} + 2 x + 5$ $- x^{2} - 2 x + 21$
$- 6 x$ $=$ $26$ $: (- 6)$
$x$ $=$ $\frac{26}{- 6}$
↓
Kürze mit $2$ .
$x$ $=$ $- \frac{13}{3}$
$L$ $=$ ${- \frac{13}{3}}$
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$(x - 2) (3 x - 1) = 3 (x + 1) x - 2 (5 x + 1)$

$[(x + 3) \cdot 2 + 4] \cdot 5 - 10 x = 50$

$3 (2 x - 0,5) = 4 - 2 (1 - x)$

$7 - [- 3 (11 - 5 x)] = 2 x - 1 - (1 - 4 x)$

$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 (x - 4) = - \frac{2}{3} (\frac{3}{10} x - 3) + 0,5$

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x = 4,7 - \frac{43}{12}

5
An einer Schule gibt es w weibliche und m männliche Lehrkräfte. Beschreibe in Worten, welche Aussage jeweils mit der Gleichung verbunden ist.
w + m = 65
w = m + 25
w - 5 = 2m
3m - 15 = w
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Es gibt insgesamt 65 Lehrkräfte.
Die Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 25 Personen niedriger als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.
Wenn man 5 von den Anzahl der weiblichen Lehrkräften abzieht, so erhält man die doppelte Anzahl der männlichen Lehrkräfte.
Das dreifache der Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 15 Personnen größer als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.

Löse folgende Gleichung.

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x = - x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$

Forme so um, dass $r^{2}$ auf der linken Seite steht:

$A = \frac{a + c}{2} \cdot h - π \cdot r^{2}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$[(x + 3) \cdot 2 + 4] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$[2 x + 6 + 4] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$[2 x + 10] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$10 x + 50 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Fasse zusammen
$50$	$=$	$50$
	↓	gilt für jedes $x$
$L$	$=$	$G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 (x - 4)$	$=$	$- \frac{2}{3} (\frac{3}{10} x - 3) + 0,5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 x + 3,2$	$=$	$- \frac{1}{5} x + 2 + 0,5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$1,45 - 0,8 x$	$=$	$- \frac{1}{5} x + 2,5$	$+ \frac{1}{5} x - 1,45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$- 0,8 x + \frac{1}{5} x$	$=$	$- 1,45 + 2,5$
	↓	Fasse zusammen
$- 0,6 x$	$=$	$1,05$	$: (- 0,6)$
$x$	$=$	$- 1,75$
$L$	$=$	${- 1,75}$

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\frac{5}{3} x - \frac{3}{10}$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$	$\cdot HN 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$100 x - 18$	$=$	$- 60 x + 70 - 25 x + 120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$100 x - 18$	$=$	$- 85 x + 190$	$+ 85 x + 18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$185 x$	$=$	$208$	$: 185$
$x$	$=$	$\frac{208}{185}$

$A$	$=$	$\frac{a + c}{2} \cdot h - π \cdot r^{2}$
	↓	Multipliziere
$A$	$=$	$\frac{h \cdot (a + c)}{2} - π \cdot r^{2}$	$+ π \cdot r^{2}$
$A + π \cdot r^{2}$	$=$	$\frac{h \cdot (a + c)}{2}$	$- A$
$π \cdot r^{2}$	$=$	$\frac{h a + h c}{2} - A$	$π$
$r^{2}$	$=$	$\frac{\frac{h a + h c}{2} - A}{π}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner
$r^{2}$	$=$	$\frac{(\frac{h a + h c}{2} - \frac{2 A}{2})}{π}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen. Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren
$r^{2}$	$=$	$\frac{h a + h c - 2 A}{2} \cdot \frac{1}{π}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen
$r^{2}$	$=$	$\frac{h a + h c - 2 A}{2 π}$

$5 x - 2$	$=$	$x + 6$	$+ 2$
$5 x$	$=$	$x + 8$	$- x$
$4 x$	$=$	$8$	$: 4$
$x$	$=$	$2$

$3 x$	$=$	$x + 5$	$- x$
$2 x$	$=$	$5$	$: 2$
$x$	$=$	$2,5$
$L$	$=$	${2,5}$

$7 x - 9$	$=$	$2 x + 5$	$- 2 x$
$5 x - 9$	$=$	$5$	$+ 9$
$5 x$	$=$	$14$	$: 5$

$\frac{1}{12} x - 5$	$=$	$3$	$+ 5$
$\frac{1}{12} x$	$=$	$8$	$\cdot 12$

$- 8 x + 5$	$=$	$- 5$	$- 5$
$- 8 x$	$=$	$- 10$	$: (- 8)$
$x$	$=$	$\frac{- 10}{- 8}$
$x$	$=$	$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

$x + 4$	$=$	$9 x - (5 - x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x + 4$	$=$	$9 x - 5 + x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$x + 4$	$=$	$10 x - 5$	$- x$
$4$	$=$	$9 x - 5$	$+ 5$
$9$	$=$	$9 x$	$: 9$
$x$	$=$	$1$

$3 (a - 4)$	$=$	$1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 a - 12$	$=$	$1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
	↓	Fasse zusammen.
$3 a - 12$	$=$	$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$	$- \frac{1}{5} a + 12$
$3 a - \frac{1}{5} a$	$=$	$\frac{3}{5} + 12$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{14}{5} a$	$=$	$\frac{63}{5}$	$: \frac{14}{5}$
$a$	$=$	$\frac{9}{2} = 4,5$
$L$	$=$	${4,5}$

$2,6 (x - 1)$	$=$	$- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
	↓	Fasse zusammen.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 7 x - 2,6$	$+ 7 x + 2,6$
$9,6 x$	$=$	$0$	$: 9,6$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$3 (4 x - 3)$	$=$	$4 (3 x - 4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x - 9$	$=$	$12 x - 16$	$- 12 x$
$- 9$	$=$	$- 16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$L$	$=$	$\emptyset$

$3 (4 x + 4)$	$=$	$4 (3 - 4 x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x + 12$	$=$	$12 - 16 x$	$+ 16 x - 12$
$28 x$	$=$	$0$	$: 28$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x$	$=$	$4,7 - \frac{43}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\frac{45}{4} + \frac{8}{3} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12}$	$- \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\frac{45}{4} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3}$	$- \frac{45}{4}$
$- x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3} - \frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$- x$	$=$	$\frac{282}{60} - \frac{215}{60} - \frac{160}{60} - \frac{675}{60}$
$- x$	$=$	$\frac{282 - 215 - 160 - 675}{60}$
$- x$	$=$	$- \frac{768}{60}$	$\cdot (- 1)$
$x$	$=$	$\frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$x$	$=$	$\frac{64}{5}$

$(x - 7) \cdot (x + 3)$	$=$	$x (x + 2) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} + 3 x - 7 x - 21$	$=$	$x^{2} + 2 x + 5$	$- x^{2} - 2 x + 21$
$- 6 x$	$=$	$26$	$: (- 6)$
$x$	$=$	$\frac{26}{- 6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$x$	$=$	$- \frac{13}{3}$
$L$	$=$	${- \frac{13}{3}}$

$(x - 2) (3 x - 1)$	$=$	$3 (x + 1) x - 2 (5 x + 1)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 x^{2} - x - 6 x + 2$	$=$	$(3 x + 3) x - 10 x - 2$
	↓	Klammern auflösen
$3 x^{2} - x - 6 x + 2$	$=$	$3 x^{2} + 3 x - 10 x - 2$
	↓	Fasse zusammen
$3 x^{2} - 7 x + 2$	$=$	$3 x^{2} - 7 x - 2$	$- 3 x^{2} + 7 x$
$2$	$=$	$- 2$

$3 (2 x - 0,5)$	$=$	$4 - 2 (1 - x)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$6 x - 1,5$	$=$	$4 - 2 + 2 x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$6 x - 1,5$	$=$	$2 x + 2$	$- 2 x + 1,5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$4 x$	$=$	$3,5$	$: 4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$x$	$=$	$\frac{3,5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$x$	$=$	$\frac{3,5 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{7}{8}$
$L$	$=$	${\frac{7}{8}}$

$7 - [- 3 (11 - 5 x)]$	$=$	$2 x - 1 - (1 - 4 x)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$7 - [- 33 + 15 x]$	$=$	$2 x - 1 - 1 + 4 x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$7 + 33 - 15 x$	$=$	$2 x - 1 - 1 + 4 x$
	↓	Fasse zusammen.
$40 - 15 x$	$=$	$- 2 + 6 x$	$+ 15 x + 2$
$21 x$	$=$	$42$	$: 21$
$x$	$=$	$2$
$L$	$=$	${2}$

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