Aufgaben zu Gleichungen

Löse folgende Gleichungen:

Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern $\{\}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.

Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L =\{4{,}5,9\}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4{,}5,9$ .

$4x+4=3x+3$

Nach x auflösen
$\displaystyle 4x+4$ $=$ $\displaystyle 3x+3$ $\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle -4$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -1$
Also ist $L=\left\{-1\right\}.$
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\displaystyle 5x-2=x+6

$3x=x+5$

$2x=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Nach x auflösen
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2$
$\displaystyle L$ $=$ $\displaystyle \left\{2\right\}$
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\displaystyle 5x-2=x+6

$\frac1{12}x-5=3$

Nach x auflösen
$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$ $=$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle \cdot12$
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$-8x+5=-5$

$x+4=9x-\left(5-x\right)$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$\frac1{24}x=0$

Gleichungen auflösen
$\displaystyle \frac{1}{24}x$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 0$
$L=\{0\}$
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Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.

$3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)$

$2{,}6\left(x-1\right)=-6{,}5\left(x+1\right)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$

$3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)$

$3\left(4x+4\right)=4\left(3-4x\right)$

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

$\left(x-7\right)\left(x+3\right)=x\left(x+2\right)+5$

$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$

$\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50$

$3\left(2x-0{,}5\right)=4-2\left(1-x\right)$

$7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)$

$-1\frac34-0{,}8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0{,}5$

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

\displaystyle 5x-2=x+6

5
An einer Schule gibt es w weibliche und m männliche Lehrkräfte. Beschreibe in Worten, welche Aussage jeweils mit der Gleichung verbunden ist.
w + m = 65
w = m + 25
w - 5 = 2m
3m - 15 = w
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Es gibt insgesamt 65 Lehrkräfte.
Die Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 25 Personen niedriger als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.
Wenn man 5 von den Anzahl der weiblichen Lehrkräften abzieht, so erhält man die doppelte Anzahl der männlichen Lehrkräfte.
Das dreifache der Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 15 Personnen größer als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.

Löse folgende Gleichung.

$\frac{1}{3}x-\frac{3}{10}+\frac{4}{3}x=-x+\frac{7}{6}-\frac{5}{12}x+2$

Forme so um, dass $r^2$ auf der linken Seite steht:

$A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 5x-2$	$=$	$\displaystyle x+6$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle x+8$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 7x-9$	$=$	$\displaystyle 2x+5$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 5x-9$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :5$

$\displaystyle -8x+5$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle -8x$	$=$	$\displaystyle -10$	$\displaystyle :\left(-8\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-10}{-8}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1{,}25$

$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-(5-x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-5+x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 10x-5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 9x-5$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 9x$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3(a-4)$	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{5}(2-a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle 1-\frac25+\frac15a$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle \frac35+\frac15a$	$\displaystyle -\frac15a+12$
$\displaystyle 3a-\frac{1}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{3}5+12$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{14}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{63}5$	$\displaystyle :\frac{14}5$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac92=4{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{4{,}5\}$

$\displaystyle 4x+4$	$=$	$\displaystyle 3x+3$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x+5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2{,}5\right\}$

$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot12$

$\displaystyle \frac{1}{24}x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle 2{,}6\left(x-1\right)$	$=$	$\displaystyle -6{,}5(x+1)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -6{,}5x-6{,}5-\frac{1}{2}x+3{,}9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -7x-2{,}6$	$\displaystyle +7x+2{,}6$
$\displaystyle 9{,}6x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :9{,}6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{0\}$

$\displaystyle 3(4x-3)$	$=$	$\displaystyle 4(3x-4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x-9$	$=$	$\displaystyle 12x-16$	$\displaystyle -12x$
$\displaystyle -9$	$=$	$\displaystyle -16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \emptyset$

$\displaystyle 3(4x+4)$	$=$	$\displaystyle 4(3-4x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x+12$	$=$	$\displaystyle 12-16x$	$\displaystyle +16x-12$
$\displaystyle 28x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :28$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{0\right\}$

$\displaystyle \left(x-7\right)\cdot\left(x+3\right)$	$=$	$\displaystyle x\left(x+2\right)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x^2+3x-7x-21$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+5$	$\displaystyle -x^2\ -2x\ +21$
$\displaystyle -6x$	$=$	$\displaystyle 26$	$\displaystyle :(-6)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{26}{-6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{13}{3}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\frac{13}{3}\right\}$

$\displaystyle \left(x-2\right)\left(3x-1\right)$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle \left(3x+3\right)x-10x-2$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2+3x-10x-2$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 3x^2-7x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2-7x-2$	$\displaystyle -3x^{2\ }+7x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle \left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$\displaystyle \left[2x+6+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$\displaystyle \left[2x+10\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$\displaystyle 10x+50-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	gilt für jedes $x$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$\displaystyle 3\left(2x-0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 4-2\left(1-x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 4-2+2x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle -2x\ +1{,}5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$	$\displaystyle :4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\cdot2}{4\cdot2}=\frac{7}{8}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac{7}{8}\right\}$

$\displaystyle 7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-\left(1-4x\right)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$\displaystyle 7-\left[-33+15x\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$\displaystyle 7+33-15x$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 40-15x$	$=$	$\displaystyle -2+6x$	$\displaystyle +15x\ +2$
$\displaystyle 21x$	$=$	$\displaystyle 42$	$\displaystyle :21$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2\right\}$

$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(\frac{3}{10}x-3\right)+0{,}5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8x+3{,}2$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2+0{,}5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$\displaystyle 1{,}45-0{,}8x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2{,}5$	$\displaystyle +\frac{1}{5}x\ -1{,}45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$\displaystyle -0{,}8x+\frac{1}{5}x$	$=$	$\displaystyle -1{,}45+2{,}5$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle -0{,}6x$	$=$	$\displaystyle 1{,}05$	$\displaystyle :\left(-0{,}6\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}75$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-1{,}75\right\}$

$\displaystyle \left(11{,}25\ +\ 2\ \frac{2}{3}\right)-x$	$=$	$\displaystyle 4{,}7-\frac{43}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\displaystyle \frac{45}{4}+\frac{8}{3}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}$	$\displaystyle -\ \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\displaystyle \frac{45}{4}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}$	$\displaystyle -\frac{45}{4}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}-\frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282}{60}-\frac{215}{60}-\frac{160}{60}-\frac{675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282-215-160-675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -\frac{768}{60}$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{64}{5}$

$\displaystyle \frac{1}{3}x-\frac{3}{10}+\frac{4}{3}x$	$=$	$\displaystyle -x+\frac{7}{6}-\frac{5}{12}x+2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle \dfrac53x -\dfrac{3}{10}$	$=$	$\displaystyle -x + \dfrac76 - \dfrac{5}{12}x + 2$	$\displaystyle \cdot \text{HN } 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -60x+70-25x+120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -85x+190$	$\displaystyle + 85x+18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 185x$	$=$	$\displaystyle 208$	$\displaystyle :185$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{208}{185}$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{a+c}{2}\cdot h-\mathrm{\pi }\cdot \mathrm{r}^2$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{h\cdot\left(a+c\right)}2-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$\displaystyle +\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$
$\displaystyle A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm h\cdot(\mathrm a+\mathrm c)}2$	$\displaystyle -A$
$\displaystyle \mathrm{\pi}\cdot\mathrm{r}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha + hc}2-A$	$\displaystyle \pi$
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{ha+hc}{2}-A}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\frac{ha+hc}{2}-\frac{2A}{2}\right)}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen. Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2}\cdot\frac{1}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2\mathrm{\pi}}$

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