Aufgaben zur Tangente

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Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2$ .
Stelle die Gleichung der Tangente im Punkt $P(2|y)$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente aufstellen
Stelle die Tangentengleichung auf:
$y=mx+t$
Die Tangente hat im Punkt $P(2\mid y)$ die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ , diese bestimmt man mit Hilfe der Ableitung.
$f'(x)=2x$
Bestimmen der Steigung $m$ : $m=f^\prime(2)=4$
$y=f'(2)=4$
Der Punkt $P$ liegt auf $f(x)$ .
$\Rightarrow P(2\mid 4)$
$4=4\cdot2+t$
Bestimme den $y$ -Achsen Abschnitts durch einsetzen von $P$ in die Geradengleichung.
$\displaystyle 4$ $=$ $\displaystyle 8+t$ $\displaystyle -8$
$\displaystyle -4$ $=$ $\displaystyle t$
$\Rightarrow$ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f(x)=2x^2$ , wobei die Tangente parallel zur Geraden $g:2x+1-y=0$ verlaufen soll.

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x)=3\cdot x^2$ , die senkrecht zur Geraden $h:2\cdot y-3\cdot x+6=0$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung bestimmen

Die Gleichung einer Tangente ist eine Geradengleichung:

$y=mx+t$

Die Tangente soll senkrecht zur Geraden $h:2y-3x+6=0$ sein, stelle die Gleichung von $h$ nun so um, dass du die Steigung ablesen kannst:

$\displaystyle 2y-3x+6$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 2y + 6$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 3x - 6$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}x-3$

Die Steigung der Gerade $h$ ist $m_h=\frac32$ .

Die Tangente soll senkrecht zur Geraden $h$ sein.

$\displaystyle \Rightarrow m\cdot m_h$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :m_h$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{m_h}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{\left(\frac32\right)}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\dfrac23$

Darüber hinaus muss im Berührpunkt der Tangente und der Funktion $f$ die Steigung von $f$ gleich $-\frac23$ sein.

$f^\prime(x)=6x$

Damit berechnen wir die $x$ -Koordinate des Berührpunktes $P(x\mid y)$ .

$f^\prime(x)=6x\stackrel{!}{=}-\dfrac23$

$\Rightarrow x=-\dfrac19$

Außerdem liegt $P(-\dfrac19\mid y)$ auf $f$ .

$f(-\dfrac19)=3\cdot\left(-\dfrac19\right)^2=\dfrac1{27}$

Also ist $P(-\dfrac19\mid\dfrac1{27})$ .

Bestimmen des $y$ -Achsen Abschnitts durch einsetzen von $P$ in die Geradengleichung:

$\displaystyle \dfrac{1}{27}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac23\cdot(-\dfrac19)+t$
$\displaystyle -\dfrac{1}{27}$	$=$	$\displaystyle \dfrac2{27}+t$	$\displaystyle -\dfrac{2}{27}$
$\displaystyle -\dfrac{1}{27}$	$=$	$\displaystyle t$

$\Rightarrow$ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung

\displaystyle y=-\frac23x-\frac1{27}

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Bestimme die Tangenten an die Funktion $f(x)=-x^2+2$ , die sich im Punkt $P(0\mid4{,}25)$ schneiden.

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x)=\sqrt{x}-2$ durch den Punkt $P(x\mid0)$ .

An die Funktion $f(x)=-0{,}2\cdot(x-2)^2-2{,}5$ soll vom Punkt $P(0\mid3)$ aus eine Tangente mit negativer Steigung gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden

Stelle die Tangentengleichung auf. Sie hat die allgemeine Form:

$y=mx+t$

Der Punkt $P(0\mid3)$ liegt auf der Tangente. Setze seine Koordinaten in die Geradengleichung ein.

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle m\cdot0+t$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle t$

Wir errechnen die Schnittpunkte der Geraden mit dem Graphen der Funktion $f:$

$\displaystyle mx+t$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$
	↓	Setze $t=3$ und $f(x)=-0{,}2\cdot(x-2)^2-2{,}5$ ein.
$\displaystyle mx+3$	$=$	$\displaystyle -0{,}2\cdot(x-2)^2-2{,}5$
	↓	2. binomische Formel anwenden.
$\displaystyle mx+t$	$=$	$\displaystyle -0{,}2\cdot\left(x^2-4x+4\right)-2{,}5$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle mx+3$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-0{,}8-2{,}5$
$\displaystyle mx+3$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-3{,}3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle mx$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-6{,}3$	$\displaystyle -mx$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+0{,}8x-6{,}3-mx$
	↓	Umsortieren und einklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}2x^2+\left(0{,}8-m\right)x-6{,}3$	$\displaystyle \cdot\left(-5\right)$
	↓	$\cdot\left(-5\right)$ ist das Gleiche wie $:(-0{,}2)$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-\left(4-5m\right)x+31{,}5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{(4-5m)\pm\sqrt{\left(-(4-5m)\right)^2-4\cdot1\cdot31{,}5}}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{(4-5m)\pm\sqrt{(4-5m)^2-126}}{2}$

Für Tangente muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Graphen der Funktion $f$ besitzen. Daher darf es nur eine Lösung der Mitternachtsformel geben.

Um nur eine Lösung für die Gleichung

\displaystyle y=-\frac23x-\frac1{27}

zu erhalten muss die Diskriminante $D=(4-5m)^2-126$ gleich 0 sein.

$\displaystyle D=\left(4-5m\right)^2-126$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +126$
$\displaystyle \left(4-5m\right)^2$	$=$	$\displaystyle 126$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle 4-5m$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{126}$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -5m$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{126}-4$	$\displaystyle :\left(-5\right)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \mp\frac{\sqrt{126}}{5}+\frac{4}{5}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \mp\frac{3\sqrt{14}}{5}+\frac{4}{5}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \mp\frac{3}{5}\sqrt{14}+\frac{4}{5}$

$m_1=+\frac35\sqrt{14}+\frac45\approx3{,}04$

$m_2=-\frac{3}{5}\sqrt{14}+\frac{4}{5}\approx-1{,}44$

$\Rightarrow$ Da die Tangente negative Steigung haben soll, ist sie gegeben durch die Gleichung

\displaystyle y=-\frac23x-\frac1{27}

Zusatz: Darstellung des Graphen und der gesuchten Tangente im Koordinatensystem

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle m_{1{,}2}x+4{,}25$	$=$	$\displaystyle -x^2+2$	$\displaystyle -m_{1{,}2}x$
$\displaystyle 4{,}25$	$=$	$\displaystyle -x^2+2-m_{1{,}2}x$	$\displaystyle -4{,}25$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2-m_{1{,}2}x-2{,}25$

$\displaystyle m_{1{,}2}^2-9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle m_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle m_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm 3$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x} -2$
$\displaystyle \Rightarrow0$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x} -2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}$	$\displaystyle ^2$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 8+t$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle 2x + 1 - y$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +y$
$\displaystyle 2x + 1$	$=$	$\displaystyle y$

$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot \dfrac12 + t$
$\displaystyle \dfrac12$	$=$	$\displaystyle 1 + t$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\dfrac12$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac14 \cdot 4 + t$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1 + t$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle t$