Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow0\right]=0$

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0$

$\Leftrightarrow\;\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}$

Klammere  $\frac14$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$ als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  ${\mathrm x}_1{\mathrm x}_3-\mathrm{Ebene}$)

Klammere  $-7$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als

Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}$

Klammere  $50$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}$

Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die

Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen

und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.

Klammere im ersten Richtungsvektor  $10$  und im zweiten Richtungsvektor  $5$  aus.

$\overrightarrow{\mathrm n}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}$

als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm n}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\overrightarrow{\mathrm a}\right]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm n}$  und  $\overrightarrow{\mathrm a}$  ein.

$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-10\\11\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0$

$E:\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus und berechne das Skalarprodukt.

$E:\;6{x}_1-6-{x}_2-4{x}_3+12=0$

Fasse zusammen.

$E:6{x}_1-{x}_2-4{x}_3+6=0$

$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$E: 4\cdot{x}_1+\left(-7\right)\cdot\left({x}_2-1\right)+2\cdot\left({x}_3-2\right)=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:\;4{x}_1-7{x}_2+7+2{x}_3-4=0$

Fasse zusammen:

$E: 4{x}_1-7{x}_2+2{x}_3+3=0$

$E:\;\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}=0$

Der zweite Faktor enthält keine Differenz. Berechne daher nur das Skalarprodukt :

$E:-6{x}_1-3{x}_2+2{x}_3=0\; | \cdot (-1)$

$E:\phantom{-}6{x}_1+3{x}_2-2{x}_3=0$

$E: \begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E: -4\cdot\left({x}_1-1\right)+\left(-2\right)\cdot\left({x}_2-1\right)+1\cdot\left({x}_3+1\right)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E: -4{x}_1+4-2{x}_2+2+{x}_3+1=0$

Fasse zusammen:

$E: -4{x}_1-2{x}_2+{x}_3+7=0$

$E: \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E: 1\cdot\left({x}_1-3\right)+\left(-1\right)\cdot\left({x}_3-2\right)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E: x_1-3-{x}_3+2=0$

Fasse zusammen:

$E: {x}_1-{x}_3-1=0$

$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E: 1\cdot\left({x}_2-2\right)=0$

$E: {x}_2-2=0$

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  ${x}_1-{x}_3-\text{Ebene}$ )

$E: \begin{pmatrix}-500\\550\\100\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das Skalarprodukt .

$E: -500\cdot\left({x}_1-40\right)+550\cdot\left({ x}_2-80\right)+100\cdot{x}_3=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

$E: -500{x}_1+20000+550 {x}_2-44000+100 {x}_3=0$

Fasse zusammen.

$E: -500{x}_1+550{x}_2+100{x}_3-24000=0$

Um die Gleichung noch zu vereinfachen, kann man sie auf beide Seiten durch  $50$  dividieren.

$E: -10{x}_1+11{x}_2+2{x}_3-480=0$

Alternative Lösung: 

Meistens ist es einfacher, zuerst den Normalenvektor der Ebene zu vereinfachen und dann erst das Skalarprodukt zu berechnen.

Klammere  $50$  im Normalenvektor aus, teile durch $50$ und berechne dann das Skalarprodukt:

$E: \begin{pmatrix}-10\\11\\22\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-10\cdot\left(x_1-40\right)+11\cdot\left(x_2-80\right)+2\cdot x_3=0_{ }^{ }$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E: -10{x}_1+400+11{x}_2-880+2{x}_3=0$

Fasse zusammen.

$E: -10{x}_1+11{x}_2+2{x}_3-480=0$

Löse die Ebenengleichung nach ${\mathrm x}_3$ auf:

${\mathrm x}_3=-\frac23{\mathrm x}_1+\frac13{\mathrm x}_2+\frac53$

Ersetze  ${\mathrm x}_1$  durch  $\mathrm\lambda$  und  ${\mathrm x}_2$  durch  $\mathrm\mu$  .

${\mathrm x}_3=-\frac23\mathrm\lambda+\frac13\mathrm\mu+\frac53$

Schreibe ${\mathrm x}_1$,  ${\mathrm x}_2$ und  ${\mathrm x}_3$ passend übereinander.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;0\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;0\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3=\frac53\;\;\;-\frac23\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+\frac13\cdot\mathrm\mu\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac53\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac23\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\frac13\end{pmatrix}$

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit  $3$  multipliziert werden.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac53\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}$

Löse die Ebenengleichung nach  ${\mathrm x}_3$  auf:

${\mathrm x}_3=\frac14{\mathrm x}_1-\frac12{\mathrm x}_2$

Ersetze ${\mathrm x}_1$ durch $\mathrm\lambda$ und ${\mathrm x}_2$ durch $\mathrm\mu$ .

${\mathrm x}_3=\frac14\mathrm\lambda-\frac12\mathrm\mu$

Schreibe ${\mathrm x}_1$,  ${\mathrm x}_2$ und  ${\mathrm x}_3$ passend übereinander.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;0\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;0\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3\;=\;0\;\;\;+\frac14\cdot\mathrm\lambda\;\;\;-\frac12\cdot\mathrm\mu\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\\frac14\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac12\end{pmatrix}$

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit $4$  bzw. $2$ multipliziert werden.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\textstyle0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}$

Löse die Ebenengleichung nach  ${\mathrm x}_3$  auf:

${\mathrm x}_3=-\frac34{\mathrm x}_1+\frac54$

Ersetze ${\mathrm x}_1$ durch $\mathrm\lambda$ und setze ${\mathrm x}_2=\mathrm\mu$.

${\mathrm x}_3=-\frac34\mathrm\lambda+\frac54$

Schreibe ${\mathrm x}_1$, ${\mathrm x}_2$ und ${\mathrm x}_3$ passend übereinander.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm x}_1=\;\;0\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2=\;\;0\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3=\;\frac54\;\;\;-\frac34\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac54\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac34\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

Die erste Richtungsvektor kann noch mit $4$ multipliziert werden.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac54\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

Die Ebenengleichung kann nicht nach  ${\mathrm x}_3$  aufgelöst werden. Löse deshalb nach  ${\mathrm x}_2$  auf:

${\mathrm x}_2=-\frac23{\mathrm x}_1+\frac13$

Ersetze ${\mathrm x}_1$ durch $\mathrm\lambda$ und setze ${\mathrm x}_3=\mathrm\mu$.

${\mathrm x}_2=-\frac23\mathrm\lambda+\frac13$

Schreibe ${\mathrm x}_1$, ${\mathrm x}_2$ und ${\mathrm x}_3$ passend übereinander.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;\;0\;\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;\frac13\;\;\;-\frac23\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3\;=\;\;0\;\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\\frac13\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-\frac23\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

Die erste Richtungsvektor kann noch mit $3$ multipliziert werden.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\\frac13\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

Die Ebenengleichung kann nicht nach ${\mathrm x}_3$ aufgelöst werden. Löse deshalb nach ${\mathrm x}_2$ auf:

${\mathrm x}_2=\frac32$

Setze ${\mathrm x}_1=\mathrm\lambda$ und ${\mathrm x}_3=\mathrm\mu$ und schreibe ${\mathrm x}_1$, ${\mathrm x}_2$ und ${\mathrm x}_3$ passend übereinander.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm x}_1\;=\;\;0\;\;\;\;+1\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_2\;=\;\frac32\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+0\cdot\mathrm\mu\\{\mathrm x}_3\;=\;\;0\;\;\;\;+0\cdot\mathrm\lambda\;\;\;+1\cdot\mathrm\mu\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\\frac32\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$