Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -4\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -4\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{0}]=0$

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)]=0$

$\iff \mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$

Klammere  $\frac{1}{4}$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  ${\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_3-\mathrm{Ebene}$)

Klammere  $-7$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$  als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als

Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ 10\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-500\\ 550\\ 100\end{array}\right)$

Klammere  $50$  aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 2\end{array}\right)$

Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die

Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen

und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.

Klammere im ersten Richtungsvektor  $10$  und im zweiten Richtungsvektor  $5$  aus.

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 2\end{array}\right)$

Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)$

als Aufpunkt der Ebene.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{n}}\circ [\overrightarrow{\mathrm{x}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}]=0$

Setze  $\overrightarrow{\mathrm{n}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$  ein.

$\mathrm{E}:\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)]=0$

$E:\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ -4\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus und berechne das Skalarprodukt.

$E:6x_1-6-x_2-4x_3+12=0$

Fasse zusammen.

$E:6x_1-x_2-4x_3+6=0$

$E:\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$E:4\cdot x_1+(-7)\cdot (x_2-1)+2\cdot (x_3-2)=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:4x_1-7x_2+7+2x_3-4=0$

Fasse zusammen:

$E:4x_1-7x_2+2x_3+3=0$

$E:\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0$

Der zweite Faktor enthält keine Differenz. Berechne daher nur das Skalarprodukt :

$E:-6x_1-3x_2+2x_3=0|\cdot (-1)$

$E:\phantom{-}6x_1+3x_2-2x_3=0$

$E:\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E:-4\cdot (x_1-1)+(-2)\cdot (x_2-1)+1\cdot (x_3+1)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-4x_1+4-2x_2+2+x_3+1=0$

Fasse zusammen:

$E:-4x_1-2x_2+x_3+7=0$

$E:\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E:1\cdot (x_1-3)+(-1)\cdot (x_3-2)=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:x_1-3-x_3+2=0$

Fasse zusammen:

$E:x_1-x_3-1=0$

$E:\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt :

$E:1\cdot (x_2-2)=0$

$E:x_2-2=0$

(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur  $x_1-x_3-\text{Ebene}$ )

$E:\left(\begin{array}{c}-500\\ 550\\ 100\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)]=0$

Berechne das Skalarprodukt .

$E:-500\cdot (x_1-40)+550\cdot (x_2-80)+100\cdot x_3=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus.

$E:-500x_1+20000+550x_2-44000+100x_3=0$

Fasse zusammen.

$E:-500x_1+550x_2+100x_3-24000=0$

Um die Gleichung noch zu vereinfachen, kann man sie auf beide Seiten durch  $50$  dividieren.

$E:-10x_1+11x_2+2x_3-480=0$

Alternative Lösung: 

Meistens ist es einfacher, zuerst den Normalenvektor der Ebene zu vereinfachen und dann erst das Skalarprodukt zu berechnen.

Klammere  $50$  im Normalenvektor aus, teile durch $50$ und berechne dann das Skalarprodukt:

$E:\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ 22\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 0\end{array}\right)]=0$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-10\cdot (x_1-40)+11\cdot (x_2-80)+2\cdot x_3=0_{}^{}$

Multipliziere die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$E:-10x_1+400+11x_2-880+2x_3=0$

Fasse zusammen.

$E:-10x_1+11x_2+2x_3-480=0$

Löse die Ebenengleichung nach ${\mathrm{x}}_3$ auf:

${\mathrm{x}}_3=-\frac{2}{3}{\mathrm{x}}_1+\frac{1}{3}{\mathrm{x}}_2+\frac{5}{3}$

Ersetze  ${\mathrm{x}}_1$  durch  $\mathrm{\lambda }$  und  ${\mathrm{x}}_2$  durch  $\mathrm{\mu }$  .

${\mathrm{x}}_3=-\frac{2}{3}\mathrm{\lambda }+\frac{1}{3}\mathrm{\mu }+\frac{5}{3}$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$,  ${\mathrm{x}}_2$ und  ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\cdot \mathrm{\lambda }+\frac{1}{3}\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{3}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -\frac{2}{3}\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit  $3$  multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{3}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Löse die Ebenengleichung nach  ${\mathrm{x}}_3$  auf:

${\mathrm{x}}_3=\frac{1}{4}{\mathrm{x}}_1-\frac{1}{2}{\mathrm{x}}_2$

Ersetze ${\mathrm{x}}_1$ durch $\mathrm{\lambda }$ und ${\mathrm{x}}_2$ durch $\mathrm{\mu }$ .

${\mathrm{x}}_3=\frac{1}{4}\mathrm{\lambda }-\frac{1}{2}\mathrm{\mu }$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$,  ${\mathrm{x}}_2$ und  ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=0+\frac{1}{4}\cdot \mathrm{\lambda }-\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \frac{1}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Die beiden Richtungsvektoren können noch mit $4$  bzw. $2$ multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Löse die Ebenengleichung nach  ${\mathrm{x}}_3$  auf:

${\mathrm{x}}_3=-\frac{3}{4}{\mathrm{x}}_1+\frac{5}{4}$

Ersetze ${\mathrm{x}}_1$ durch $\mathrm{\lambda }$ und setze ${\mathrm{x}}_2=\mathrm{\mu }$.

${\mathrm{x}}_3=-\frac{3}{4}\mathrm{\lambda }+\frac{5}{4}$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$, ${\mathrm{x}}_2$ und ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -\frac{3}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Die erste Richtungsvektor kann noch mit $4$ multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{5}{4}\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Die Ebenengleichung kann nicht nach  ${\mathrm{x}}_3$  aufgelöst werden. Löse deshalb nach  ${\mathrm{x}}_2$  auf:

${\mathrm{x}}_2=-\frac{2}{3}{\mathrm{x}}_1+\frac{1}{3}$

Ersetze ${\mathrm{x}}_1$ durch $\mathrm{\lambda }$ und setze ${\mathrm{x}}_3=\mathrm{\mu }$.

${\mathrm{x}}_2=-\frac{2}{3}\mathrm{\lambda }+\frac{1}{3}$

Schreibe ${\mathrm{x}}_1$, ${\mathrm{x}}_2$ und ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{3}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -\frac{2}{3}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Die erste Richtungsvektor kann noch mit $3$ multipliziert werden.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{3}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Die Ebenengleichung kann nicht nach ${\mathrm{x}}_3$ aufgelöst werden. Löse deshalb nach ${\mathrm{x}}_2$ auf:

${\mathrm{x}}_2=\frac{3}{2}$

Setze ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\lambda }$ und ${\mathrm{x}}_3=\mathrm{\mu }$ und schreibe ${\mathrm{x}}_1$, ${\mathrm{x}}_2$ und ${\mathrm{x}}_3$ passend übereinander.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=0+1\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{3}{2}+0\cdot \mathrm{\lambda }+0\cdot \mathrm{\mu }\\ {\mathrm{x}}_3=0+0\cdot \mathrm{\lambda }+1\cdot \mathrm{\mu }\end{array}$

Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$