Teil B, Gruppe 3

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Löse folgende Gleichung.

$28x - 60{,}5 - (11x - 182) = 6 \cdot (5- 0{,}25x) + 3 \cdot (2x + 58)$ Punkte: 4

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Löse folgende Aufgabe.
Punkte: 4
1. Zeichne ein regelmäßiges Neuneck. Die Länge der Basisseite $a$ beträgt $4\ cm$ .
  
  Für diese Aufgabe musst du ein regelmäßiges Neuneck zeichnen.
  Zeichne eine Linie von $4\ cm$ Länge.
  Du kannst dir vorstellen, dass das Neuneck in 9 gleich große Dreiecke unterteilt wird. Dabei hat die Basisseite eine Länge von $4\ cm$ . Die beiden Schenkel müssen gleich lang sein. Es handelt sich also um ein gleichschenkliges Dreieck.
  Du willst nun die Größe der einzelnen Winkel berechnen. $\gamma$ kannst du berechnen, indem du 360° durch 9 teilst. Dies liegt daran, dass sich die 9 Dreiecke zu einem Kreis ergänzen.
  $\gamma =360°:9=40°$
  Mit dieser Information kannst du auch $\alpha$ und $\beta$ berechnen. Du weißt, dass die Winkelsumme im Dreieck immer $180°$ beträgt. Da $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind, kannst du jetzt ihre Größe berechnen.
  $180°-40°=140°$
  $140°:2=70°$
  Jetzt kannst du mithilfe eines Dreiecks den Rest des Neunecks zeichen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Zeichne in das regelmäßige Neuneck ein gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte auch Eckpunkte des regelmäßigen Neunecks sind.
  
  Für diese Teilaufgabe musst du wissen, was ein gleichseitigen Dreiecks ist.
  Ein Dreieck hat 3 Ecken ein Neuneck hat 9 Ecken. Da du weißt, dass die Ecken des gleichseitigen Dreiecks gleich weit von einander entfernt sein müssen, teilst du $9$ durch $3$ .
  $9:3=3$
  Du weißt also, dass jede dritte Ecke des Neunecks auch eine Ecke des Dreiecks bildet.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Berechne das Volumen des symmetrischen Körpers.

Punkte: 4

cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen

Mit einem Klick auf Bild oder Button oben stimmst du zu, dass externe Inhalte von YouTube geladen werden. Dabei können persönliche Daten zu diesem Service übertragen werden – entsprechend unserer Datenschutzerklärung.

[https://www.youtube.com/watch?v=pVvnB3sHAt4]

Zur Lösung dieser Aufgabe solltest du wissen, was Prismen und Quader sind und wie du ihr Volumen bestimmst.

Die abgebildete Figur ist achsensymmetrisch und setzt sich in jeder Symmetriehälfte aus einem lila Körper, einem Prisma, mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks und einem roten Körper, einem Quader, zusammen.

Das Volumen eines lila Prismas kannst du mit der Formel $\;V_{Prisma}=\;G\;\cdot\;h_{Prisma}$ berechnen. Bevor du das Volumen des Prismas bestimmst, rechnest du zuerst die Grundfläche $G$ aus.

Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks

Die Grundfläche $G$ ist das rechtwinklige Dreieck. Den Flächeninhalt berechnest du mit der Formel $A_\triangle=\;\frac12\cdot g\cdot h_\triangle\;$ , wobei die Höhe $h_\triangle=3\;cm$ ist (siehe Skizze). Die Grundlinie $g$ berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras, da wir ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen haben.

$a^2\;+\;b^2\;=\;c^2$

Hier sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse.

Setze $a=h_\triangle\;=\:3\;cm$ und $\;c=5\;cm$ ein und $b=g$ .

$\displaystyle h_\triangle^2\;+\;g^2\;$	$=$	$\displaystyle \;c^2$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle (3\;cm)^2+\;g^2\;$	$=$	$\displaystyle \;(5\;cm)^2$
	↓	Nun löst du die Potenzen auf.
$\displaystyle 9\;cm^2\;+\;g^2\;$	$=$	$\displaystyle \;25\;cm^2$
	↓	Subtrahiere nun auf beiden Seiten der Gleichung $9cm^2$ .
$\displaystyle g^2$	$=$	$\displaystyle 16cm^2$
	↓	Im letzten Schritt ziehst du noch die Wurzel.
$\displaystyle g$	$=$	$\displaystyle 4cm$

Die Grundlinie $g$ des rechtwinkligen Dreiecks entspricht $4\;cm$ .

Im Folgenden setzt du die Grundlinie $g = 4\;cm$ und die Höhe $h_\triangle\;=3\;cm$ in die Flächeninhaltsformel für Dreiecke $A_\triangle=\;\frac12\cdot g\cdot h_\triangle$ ein.

$\displaystyle A_\triangle$	$=$	$\displaystyle \;\frac12\cdot g\cdot h_\triangle\;$
	↓	Setze $g$ und $h_\triangle$ ein.
	$=$	$\displaystyle \;\frac12\cdot4\;cm\;\cdot3\;cm$
	$=$	$\displaystyle 6\;cm^2$

Somit hat das rechtwinklige Dreieck eine Fläche von $6\;cm^2$ .

Volumenberechnung eines Prismas

Nun berechnest du das Volumen des Prismas mit der vorher bestimmten Grundfläche des rechtwinkligen Dreiecks.

$\displaystyle \;V_{Prisma}$	$=$	$\displaystyle \;G\;\cdot\;h_{Prisma}$
	↓	Im ersten Schritt setzt du $G$ und $h_{Prisma}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \;6\;cm^2\cdot\;6\;cm$
	↓	Rechne das Volumen des Prismas aus.
	$=$	$\displaystyle 36\;cm^3$

Das Volumen des Prismas beträgt $36\;cm^2$

Volumenberechnung eines Quaders

Nun wird noch das Volumen des Quaders bestimmt.

$\displaystyle V_{Quader\;}$	$=$	$\displaystyle l\;\cdot\;b_{Quader}\;\cdot\;h_{Quader}$
	↓	Wobei die Länge $l$ der Grundlinie $g$ des rechtwinkligen Dreiecks entspricht, also $l=g=4\;cm$ .
	$=$	$\displaystyle g\;\cdot\;b_{Quader}\;\cdot\;h_{Quader}\;$
	$=$	$\displaystyle \;4\;cm\;\cdot\;6\;cm\;\;\cdot\;12\;cm\;\;$
	$=$	$\displaystyle 288\;cm^3$

Im letzten Schritt berechnest du noch das Gesamtvolumen, indem du das Volumen des Prismas und des Quaders addierst und mit zwei multiplizierst, da der Körper aus zwei solchen Hälften besteht.

$\displaystyle V_{gesamt\;}$	$=$	$\displaystyle (V_{Quader\;}+\;V_{Prisma})\;\cdot2$
	$=$	$\displaystyle (288\;cm^3+\;36\;cm^3)\;\cdot\;2$
	$=$	$\displaystyle 648\;cm^3$

Somit lautet die Antwort: Das Gesamtvolumen des Körpers beträgt $648\;cm^3$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Menschen leben in ihren Haushalten entweder alleine, zu zweit oder mit mehreren Personen zusammen (siehe Tabelle). Punkte: 4
1. Berechne den prozentualen Anstieg der Haushalte in Deutschland insgesamt von 1991 bis 2013.
  %
  
  Für diese Teilaufgabe solltest du die Prozentrechnung mittels Formel beherrschen.
  Gesucht ist die der prozentale Anstieg der Haushalte insgesamt. Gegeben: Anzahl der Haushalte im Jahr 1991: $\;35\;256\;000$ Anzahl der Haushalte im Jahr 2013: $\;39\;933\;000$
  Um den prozentualen Anstieg also den Prozentsatz $p$ auszurechnen, benötigen wir den Grundwert und den Prozentwert.
  Der Grundwert $G$ ist in unserem Fall die Anzahl der Haushalte im Jahr 1991 also $G =\;35\;256\;000$ .
  Der Prozentwert $W$ ist die Anzahl der Haushalte, die zwischen 1991 und 2013 dazugekommen sind, also die Differenz der Haushalte von 2013 und 1991.
  $W = 39\;933\;000\;-\;35\;256\;000\; = \; 4\;677\;000$
  Nun kannst du den Grundwert $G$ und den Prozentwert $W$ in die Formel für den Prozentsatz $p$ einsetzen:
  $p=\frac WG\;=\;\frac{4677000}{35256000}=\;\frac{1559}{11752}\approx\;0{,}1327=13{,}27\%$
  Unsere Antwort lautet folglich der prozentuale Anstieg von 1991 bis 2013 aller Haushalte in Deutschland beträgt ungefähr $13{,}27\ \%$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Wie viele Dreipersonenhaushalte gab es 2013 und wie viele Menschen lebten insgesamt darin? Berechne.
  
  Anhand der Tabelle weißt du, dass im Jahr 2013 $12{,}5\ \%$ aller Haushalte Dreipersonenhaushalte waren. Außerdem können wir ablesen, dass es im Jahr 2013 insgesamt $39\;933\;000$ Haushalte gab.
  Gesucht ist der Prozentwert $W$ .
  Der Prozentsatz $p$ besteht in der vorliegenden Aufgabe aus dem Prozensatz der Dreipersonenhaushalte also $p=12{,}5\ \%$ und der Grundwert $G$ ist die Anzahl aller Haushalte insgesamt also $G\;=\;39\;933\;000$ .
  Nun nutzt du die Formel für den Prozentwert und setzt ein.
  $W\;=\;\;G\;\cdot\;p\;=\:39\;933\;000\;\cdot\;12{,}5~\%\;=\;39\;933\;000\;\cdot\;0{,}125\:=\:4\;991\;625$
  Im Jahr 2013 gab es $4\;991\;625$ Dreipersonenhaushalte. In jedem Dreipersonenhaushalt leben drei Personen.
  $4\;991\;625\;\cdot\;3\;=\;14\;974\;875$
  Im Jahr 2013 lebten $14\;974\;875$ Menschen in Dreipersonenhaushalten.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Stelle die prozentuale Verteilung der verschiedenen Haushalte für das Jahr 2013 in einem Balkendiagramm dar ( $10 ~\% \; \widehat{=} \; 1 ~cm$ ).
  
  Hier musst du ein Balkendiagramm zeichnen. Deine Lösung könnte so aussehen:
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 28x-60{,}5-(11x-182)$	$=$	$\displaystyle 6\cdot(5-0{,}25x)+3\cdot(2x+58)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 28x-60{,}5-11x+182$	$=$	$\displaystyle 30-1{,}5x+6x+174$
	↓	Addiere auf der rechten und linken Seite jeweils die Summanden ohne und die Summanden mit $x$ .
$\displaystyle 17x+121{,}5$	$=$	$\displaystyle 204+4{,}5x$	$\displaystyle -121{,}5$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten $121{,}5$ .
$\displaystyle 17x$	$=$	$\displaystyle 82{,}5+4{,}5x$	$\displaystyle -4{,}5x$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten $4{,}5x$ .
$\displaystyle 12{,}5x$	$=$	$\displaystyle 82{,}5$	$\displaystyle :12{,}5$
	↓	Teile durch den Faktor vor $x$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 6{,}6$