Teil B, Gruppe 3

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Löse folgende Gleichung.

$28 x - 60,5 - (11 x - 182) = 6 \cdot (5 - 0,25 x) + 3 \cdot (2 x + 58)$ Punkte: 4

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Löse folgende Aufgabe.
Punkte: 4
1. Zeichne ein regelmäßiges Neuneck. Die Länge der Basisseite $a$ beträgt $4 c m$ .
  
  Für diese Aufgabe musst du ein regelmäßiges Neuneck zeichnen.
  Zeichne eine Linie von $4 c m$ Länge.
  Du kannst dir vorstellen, dass das Neuneck in 9 gleich große Dreiecke unterteilt wird. Dabei hat die Basisseite eine Länge von $4 c m$ . Die beiden Schenkel müssen gleich lang sein. Es handelt sich also um ein gleichschenkliges Dreieck.
  Du willst nun die Größe der einzelnen Winkel berechnen. $γ$ kannst du berechnen, indem du 360° durch 9 teilst. Dies liegt daran, dass sich die 9 Dreiecke zu einem Kreis ergänzen.
  $γ = 360 ° : 9 = 40 °$
  Mit dieser Information kannst du auch $α$ und $β$ berechnen. Du weißt, dass die Winkelsumme im Dreieck immer $180 °$ beträgt. Da $α$ und $β$ gleich groß sind, kannst du jetzt ihre Größe berechnen.
  $180 ° - 40 ° = 140 °$
  $140 ° : 2 = 70 °$
  Jetzt kannst du mithilfe eines Dreiecks den Rest des Neunecks zeichen.
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2. Zeichne in das regelmäßige Neuneck ein gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte auch Eckpunkte des regelmäßigen Neunecks sind.
  
  Für diese Teilaufgabe musst du wissen, was ein gleichseitigen Dreiecks ist.
  Ein Dreieck hat 3 Ecken ein Neuneck hat 9 Ecken. Da du weißt, dass die Ecken des gleichseitigen Dreiecks gleich weit von einander entfernt sein müssen, teilst du $9$ durch $3$ .
  $9 : 3 = 3$
  Du weißt also, dass jede dritte Ecke des Neunecks auch eine Ecke des Dreiecks bildet.
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Berechne das Volumen des symmetrischen Körpers.

Punkte: 4

cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen

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[https://www.youtube.com/watch?v=pVvnB3sHAt4]

Zur Lösung dieser Aufgabe solltest du wissen, was Prismen und Quader sind und wie du ihr Volumen bestimmst.

Die abgebildete Figur ist achsensymmetrisch und setzt sich in jeder Symmetriehälfte aus einem lila Körper, einem Prisma, mit der Grundfläche eines rechtwinkligen Dreiecks und einem roten Körper, einem Quader, zusammen.

Das Volumen eines lila Prismas kannst du mit der Formel $V_{P r i s m a} = G \cdot h_{P r i s m a}$ berechnen. Bevor du das Volumen des Prismas bestimmst, rechnest du zuerst die Grundfläche $G$ aus.

Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks

Die Grundfläche $G$ ist das rechtwinklige Dreieck. Den Flächeninhalt berechnest du mit der Formel $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{△}$ , wobei die Höhe $h_{△} = 3 c m$ ist (siehe Skizze). Die Grundlinie $g$ berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras, da wir ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen haben.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Hier sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse.

Setze $a = h_{△} = 3 c m$ und $c = 5 c m$ ein und $b = g$ .

$h_{△}^{2} + g^{2}$	$=$	$c^{2}$
	↓	Setze die Werte ein.
$(3 c m)^{2} + g^{2}$	$=$	$(5 c m)^{2}$
	↓	Nun löst du die Potenzen auf.
$9 c m^{2} + g^{2}$	$=$	$25 c m^{2}$
	↓	Subtrahiere nun auf beiden Seiten der Gleichung $9 c m^{2}$ .
$g^{2}$	$=$	$16 c m^{2}$
	↓	Im letzten Schritt ziehst du noch die Wurzel.
$g$	$=$	$4 c m$

Die Grundlinie $g$ des rechtwinkligen Dreiecks entspricht $4 c m$ .

Im Folgenden setzt du die Grundlinie $g = 4 c m$ und die Höhe $h_{△} = 3 c m$ in die Flächeninhaltsformel für Dreiecke $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{△}$ ein.

$A_{△}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{△}$
	↓	Setze $g$ und $h_{△}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 c m \cdot 3 c m$
	$=$	$6 c m^{2}$

Somit hat das rechtwinklige Dreieck eine Fläche von $6 c m^{2}$ .

Volumenberechnung eines Prismas

Nun berechnest du das Volumen des Prismas mit der vorher bestimmten Grundfläche des rechtwinkligen Dreiecks.

$V_{P r i s m a}$	$=$	$G \cdot h_{P r i s m a}$
	↓	Im ersten Schritt setzt du $G$ und $h_{P r i s m a}$ ein.
	$=$	$6 c m^{2} \cdot 6 c m$
	↓	Rechne das Volumen des Prismas aus.
	$=$	$36 c m^{3}$

Das Volumen des Prismas beträgt $36 c m^{2}$

Volumenberechnung eines Quaders

Nun wird noch das Volumen des Quaders bestimmt.

$V_{Q u a d e r}$	$=$	$l \cdot b_{Q u a d e r} \cdot h_{Q u a d e r}$
	↓	Wobei die Länge $l$ der Grundlinie $g$ des rechtwinkligen Dreiecks entspricht, also $l = g = 4 c m$ .
	$=$	$g \cdot b_{Q u a d e r} \cdot h_{Q u a d e r}$
	$=$	$4 c m \cdot 6 c m \cdot 12 c m$
	$=$	$288 c m^{3}$

Im letzten Schritt berechnest du noch das Gesamtvolumen, indem du das Volumen des Prismas und des Quaders addierst und mit zwei multiplizierst, da der Körper aus zwei solchen Hälften besteht.

$V_{g e s a m t}$	$=$	$(V_{Q u a d e r} + V_{P r i s m a}) \cdot 2$
	$=$	$(288 c m^{3} + 36 c m^{3}) \cdot 2$
	$=$	$648 c m^{3}$

Somit lautet die Antwort: Das Gesamtvolumen des Körpers beträgt $648 c m^{3}$ .

4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Menschen leben in ihren Haushalten entweder alleine, zu zweit oder mit mehreren Personen zusammen (siehe Tabelle). Punkte: 4
1. Berechne den prozentualen Anstieg der Haushalte in Deutschland insgesamt von 1991 bis 2013.
  %
  
  Für diese Teilaufgabe solltest du die Prozentrechnung mittels Formel beherrschen.
  Gesucht ist die der prozentale Anstieg der Haushalte insgesamt. Gegeben: Anzahl der Haushalte im Jahr 1991: $35 256 000$ Anzahl der Haushalte im Jahr 2013: $39 933 000$
  Um den prozentualen Anstieg also den Prozentsatz $p$ auszurechnen, benötigen wir den Grundwert und den Prozentwert.
  Der Grundwert $G$ ist in unserem Fall die Anzahl der Haushalte im Jahr 1991 also $G = 35 256 000$ .
  Der Prozentwert $W$ ist die Anzahl der Haushalte, die zwischen 1991 und 2013 dazugekommen sind, also die Differenz der Haushalte von 2013 und 1991.
  $W = 39 933 000 - 35 256 000 = 4 677 000$
  Nun kannst du den Grundwert $G$ und den Prozentwert $W$ in die Formel für den Prozentsatz $p$ einsetzen:
  $p = \frac{W}{G} = \frac{4677000}{35256000} = \frac{1559}{11752} \approx 0,1327 = 13,27 %$
  Unsere Antwort lautet folglich der prozentuale Anstieg von 1991 bis 2013 aller Haushalte in Deutschland beträgt ungefähr $13,27 %$ .
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2. Wie viele Dreipersonenhaushalte gab es 2013 und wie viele Menschen lebten insgesamt darin? Berechne.
  
  Anhand der Tabelle weißt du, dass im Jahr 2013 $12,5 %$ aller Haushalte Dreipersonenhaushalte waren. Außerdem können wir ablesen, dass es im Jahr 2013 insgesamt $39 933 000$ Haushalte gab.
  Gesucht ist der Prozentwert $W$ .
  Der Prozentsatz $p$ besteht in der vorliegenden Aufgabe aus dem Prozensatz der Dreipersonenhaushalte also $p = 12,5 %$ und der Grundwert $G$ ist die Anzahl aller Haushalte insgesamt also $G = 39 933 000$ .
  Nun nutzt du die Formel für den Prozentwert und setzt ein.
  $W = G \cdot p = 39 933 000 \cdot 12,5 % = 39 933 000 \cdot 0,125 = 4 991 625$
  Im Jahr 2013 gab es $4 991 625$ Dreipersonenhaushalte. In jedem Dreipersonenhaushalt leben drei Personen.
  $4 991 625 \cdot 3 = 14 974 875$
  Im Jahr 2013 lebten $14 974 875$ Menschen in Dreipersonenhaushalten.
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3. Stelle die prozentuale Verteilung der verschiedenen Haushalte für das Jahr 2013 in einem Balkendiagramm dar ( $10 % \hat{=} 1 c m$ ).
  
  Hier musst du ein Balkendiagramm zeichnen. Deine Lösung könnte so aussehen:
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$28 x - 60,5 - (11 x - 182)$	$=$	$6 \cdot (5 - 0,25 x) + 3 \cdot (2 x + 58)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$28 x - 60,5 - 11 x + 182$	$=$	$30 - 1,5 x + 6 x + 174$
	↓	Addiere auf der rechten und linken Seite jeweils die Summanden ohne und die Summanden mit $x$ .
$17 x + 121,5$	$=$	$204 + 4,5 x$	$- 121,5$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten $121,5$ .
$17 x$	$=$	$82,5 + 4,5 x$	$- 4,5 x$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten $4,5 x$ .
$12,5 x$	$=$	$82,5$	$: 12,5$
	↓	Teile durch den Faktor vor $x$ .
$x$	$=$	$6,6$

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Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks

Volumenberechnung eines Prismas

Volumenberechnung eines Quaders

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