Gemischte Aufgaben zur e- und ln-Funktion

Die Umkehrfunktion der $\mathrm e$-Funktion ist der natürliche Logarithmus. Deswegen:

$\ln(\mathrm e^7)=7$

Möglicher Lösungsweg mit den Potenzgesetzen:

$\mathrm e^{3\cdot\ln(5)}=(\mathrm e^{\ln(5)})^3$

Möglicher Lösungsweg mit den Logarithmus-Rechenregeln:

Möglicher Lösungsweg mit den Logarithmus-Rechenregeln:

Möglicher Lösungsweg mit den Potenzgesetzen:

Da bei dieser Gleichung die gesuchte Variable $x$ im Exponenten vorkommt, handelt es sich bei der Gleichung um eine Exponentialgleichung.

Allgemeine Erklärungen und Hilfe zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du im Serlo-Artikel zur Exponentialgleichung.

$\mathbb{L} =\{ \ln (9{,}5) \}$

$e^{2x} = -3$

Wenn du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwendest, erhältst du:

$2x = \ln(-3)$

Da die Zahl -3 aber nicht in der Definitionsmenge $\mathbb{R}⁺$ des Logarithmus enthalten ist, gibt es keine Lösung für diese Gleichung.

Die Lösungsmenge ist also die leere Menge: $\mathbb{L} = \{\}$

$3e^{0{,}1x+2}=18 \phantom{Abstand}| :3$

$e^{0{,}1x+2} = 6 \phantom{Abstandiii} | \ln(...)$

Zuerst teilst du beide Seiten durch $3$, so dass der Term mit dem $x$ alleine links steht. Danach wendest du den natürlichen Logarithmus auf die Gleichung an. Da er die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, verschwindet diese.

$0{,}1x+2=\ln(6) \phantom{Abstand} |\ln(6) \approx 1{,}79$

$0{,}1x + 2 \approx 1{,}79 \phantom{Abstandi}| -2$

$0{,}1x = 1{,}79 - 2$

$0{,}1x= -0{,}21 \phantom{Abstandiiii} | :0{,}1$

$x = -2{,}1$

Anschließend stellst du die Gleichung um, in dem du die $2$ abziehst und anschließend durch $0{,}1$ teilst.

Als Lösungsmenge erhältst du:

$\mathbb{L} = \{-2{,}1\}$

In dieser Aufgabe geht es um das Lösen einer Gleichung mit einem Logarithmus.

$2\ln x = 18 \phantom{Abstand} | :2$

$\ln x = 9 \phantom{Abstandnn} |e^{(...)}$

$x = e^9$

Zuerst teilst du durch $2$, damit nichts mehr vor dem "$\ln$" steht. Danach wendest du die Exponentialfunktion auf beide Seiten an, so dass das $x$ alleine steht. Dann erhältst du die Lösung:

$\mathbb{L} = \{e^9\}$

Alternativ kannst du natürlich auch den Wert von $e⁹\$noch berechnen und erhältst:

$x\ \approx\ 8103$.

In dieser Aufgabe geht es darum eine Gleichung mit einem Logarithmus zu lösen.

Als Erstes wendest du die Rechenregeln des Logarithmus an, um die linke Seite der Gleichung umzustellen.

$\ln\left(3x\right)\ -\ \ln\left(1{,}5\right)\ =\ 2$

$\ln\left(\dfrac{3x}{1{,}5}\right) = 2 \phantom{Abstand} | \dfrac{3x}{1{,}5} =2x$

$\ln(2x) = 2 \phantom{Abstandaii} |e^{(...)}$

Nun wendest du auf beide Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an. Und teilst anschließend durch $2$.

$2x = e²\phantom{Abstandmana} |:2$

$x = \dfrac12 e^2$

$\mathbb{L} = \left\{\dfrac12 e^2\right\}$

Rechnen mit e und ln

In dieser Aufgabe geht es darum, eine Gleichung mit einer e-Funktion zu lösen. Der Definitionsbereich für diese Gleichung ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

1) Schreibe die Gleichung um

$e^{x^2}-5 \cdot e^x =0$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $5 \cdot e^x$

$e^{x^2}=5 \cdot e^x$

2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.

$ln(e^{x^2})= ln(5 \cdot e^x)$

Betrachte zunächst die linke Seite der Gleichung und verwende die Potenz zu Produkt Regel an.

Wende auf der rechten Seite der Gleichung die Produkt zu Summe Regel und anschließend die Potenz zu Produkt Regel an.

$x^2 \cdot ln(e)= ln(5) + ln(e^x)$

Beachte auf beiden Seiten, dass $ln(e) = 1$ ist.

$x^2 = ln(5) +x$

3) Löse die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel.

Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung $x$ und $ln(5)$.

$x^2-x-ln(5)=0$

Du hast nun eine quadratische Gleichung erhalten.

Löse die quadratische Gleichung mit der p-q- Formel.

$x_{1/2}= \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+ln(5)}=0{,}5 \pm \sqrt{(0{,}25+ln(5)}$

$x_{1/2}\in \mathbb{D}$, also ist die Lösungsmenge:

$\mathbb{L}= \left\{0{,}5 - \sqrt{(0{,}25+ln(5)};0{,}5 + \sqrt{(0{,}25+ln(5)}\right\}$

Hier geht es hauptsächlich um den natürlichen Logarithmus und die Rechenregeln für Logarithmen.