Aufgaben zum Lösen von linearen Gleichungen

1
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern ${}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L = {4,5,9}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4,5,9$ .
1. $4 x + 4 = 3 x + 3$
  
  Nach x auflösen
  $4 x + 4$ $=$ $3 x + 3$ $- 3 x$
  $x + 4$ $=$ $3$ $- 4$
  $x$ $=$ $- 1$
  Also ist $L = {- 1} .$
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2. $5 x - 2 = x + 6$
  
  Nach x auflösen
  $5 x - 2$ $=$ $x + 6$ $+ 2$
  $5 x$ $=$ $x + 8$ $- x$
  $4 x$ $=$ $8$ $: 4$
  $x$ $=$ $2$
  Also ist $L = {2}$ .
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  Bringe alle $x$ auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite, Dividiere dann, um nach $x$ aufzulösen.
3. $3 x = x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $3 x$ $=$ $x + 5$ $- x$
  $2 x$ $=$ $5$ $: 2$
  $x$ $=$ $2,5$
  $L$ $=$ ${2,5}$
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4. $2 x = 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $2 x$ $=$ $4$ $: 2$
  $x$ $=$ $2$
  $L$ $=$ ${2}$
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5. $7 x - 9 = 2 x + 5$
  
  Nach x auflösen
  $7 x - 9$ $=$ $2 x + 5$ $- 2 x$
  $5 x - 9$ $=$ $5$ $+ 9$
  $5 x$ $=$ $14$ $: 5$
  $x = 2,8$
  $L = {2,8}$
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6. $\frac{1}{12} x - 5 = 3$
  
  Nach x auflösen
  $\frac{1}{12} x - 5$ $=$ $3$ $+ 5$
  $\frac{1}{12} x$ $=$ $8$ $\cdot 12$
  $x = 96$
  $L = {96}$
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7. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $- 8 x + 5 = - 5$
  
  Gleichungen auflösen
  $- 8 x + 5$ $=$ $- 5$ $- 5$
  $- 8 x$ $=$ $- 10$ $: (- 8)$
  $x$ $=$ $\frac{- 10}{- 8}$
  $x$ $=$ $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$
  $L = {1,25}$
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8. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $x + 4 = 9 x - (5 - x)$
  
  Gleichungen auflösen
  $x + 4$ $=$ $9 x - (5 - x)$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $x + 4$ $=$ $9 x - 5 + x$
  ↓
  Zusammenfassen auf der rechten Seite
  $x + 4$ $=$ $10 x - 5$ $- x$
  $4$ $=$ $9 x - 5$ $+ 5$
  $9$ $=$ $9 x$ $: 9$
  $x$ $=$ $1$
  Die Lösung ist $L = {1}$ .
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9. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $\frac{1}{24} x = 0$
  
  Gleichungen auflösen
  $\frac{1}{24} x$ $=$ $0$ $\cdot 24$
  $x$ $=$ $0$
  $L = {0}$
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2
Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (a - 4) = 1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
  $3 (a - 4)$ $=$ $1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $3 a - 12$ $=$ $1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $3 a - 12$ $=$ $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$ $- \frac{1}{5} a + 12$
  $3 a - \frac{1}{5} a$ $=$ $\frac{3}{5} + 12$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $\frac{14}{5} a$ $=$ $\frac{63}{5}$ $: \frac{14}{5}$
  $a$ $=$ $\frac{9}{2} = 4,5$
  $L$ $=$ ${4,5}$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $2,6 (x - 1) = - 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
  $2,6 (x - 1)$ $=$ $- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $2,6 x - 2,6$ $=$ $- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $2,6 x - 2,6$ $=$ $- 7 x - 2,6$ $+ 7 x + 2,6$
  $9,6 x$ $=$ $0$ $: 9,6$
  $x$ $=$ $0$
  $L$ $=$ ${0}$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (4 x - 3) = 4 (3 x - 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
  $3 (4 x - 3)$ $=$ $4 (3 x - 4)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $12 x - 9$ $=$ $12 x - 16$ $- 12 x$
  $- 9$ $=$ $- 16$
  ↓
  Ist nicht lösbar.
  $L$ $=$ $\emptyset$
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4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (4 x + 4) = 4 (3 - 4 x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
  $3 (4 x + 4)$ $=$ $4 (3 - 4 x)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $12 x + 12$ $=$ $12 - 16 x$ $+ 16 x - 12$
  $28 x$ $=$ $0$ $: 28$
  $x$ $=$ $0$
  $L$ $=$ ${0}$
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Bestimme die Lösung der Gleichungen.

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$(x - 7) (x + 3) = x (x + 2) + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen
$(x - 7) \cdot (x + 3)$ $=$ $x (x + 2) + 5$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} + 3 x - 7 x - 21$ $=$ $x^{2} + 2 x + 5$ $- x^{2} - 2 x + 21$
$- 6 x$ $=$ $26$ $: (- 6)$
$x$ $=$ $\frac{26}{- 6}$
↓
Kürze mit $2$ .
$x$ $=$ $- \frac{13}{3}$
$L$ $=$ ${- \frac{13}{3}}$
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$(x - 2) (3 x - 1) = 3 (x + 1) x - 2 (5 x + 1)$

$[(x + 3) \cdot 2 + 4] \cdot 5 - 10 x = 50$

$3 (2 x - 0,5) = 4 - 2 (1 - x)$

$7 - [- 3 (11 - 5 x)] = 2 x - 1 - (1 - 4 x)$

$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 (x - 4) = - \frac{2}{3} (\frac{3}{10} x - 3) + 0,5$

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x = 4,7 - \frac{43}{12}

Löse folgende Gleichung.

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x = - x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$

6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Finde die beiden Lösungen von $| x - 3 | = 2$
Hierbei bezeichnet $| \dots |$ den Betrag, z.B. $| - 7 | = + 7, | + 7 | = + 7$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Lösung durch Umformen der Gleichung
Die Gleichung $| x - 3 | = 2$ hat zwei Lösungen. Wenn der Term $x - 3$ im Inneren der Betragsstriche positiv ist, bleibt der Wert positiv. Ist $x - 3$ jedoch negativ, ändert der Betrag das Vorzeichen.
Also kannst du berechnen: Wann ist $x - 3 = 2$ ? Und wann ist $x - 3 = - 2$ ?
$\begin{array}{rcll} x - 3 & = & 2 & | + 3 \\ x & = & 2 + 3 \\ x & = & 5 \end{array}$
Wenn $x = 5$ ist, ist die Gleichung also erfüllt: $| 5 - 3 | = | 2 | = 2$
$\begin{array}{rcll} x - 3 & = & - 2 & | + 3 \\ x & = & - 2 + 3 \\ x & = & 1 \end{array}$
Für $x = 1$ ist die Gleichung ebenfalls erfüllt, denn: $| 1 - 3 | = | - 2 | = 2$
Lösung mithilfe einer Wertetabelle
Durch Pobieren kannst du ebenfalls die Lösung erhalten. Erstelle dir hierfür eine Wertetabelle.
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
$| x - 3 |$
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
Du erkennst in der Wertetabelle, dass $| x - 3 | = 2$ für $x = 1$ und $x = 5$ gilt.
Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls
Der Betrag $| x - 3 |$ gibt den Abstand der Zahlen $x$ und $3$ voneinander an.
Der Abstand zwischen $x$ und $3$ soll $2$ sein, da $| x - 3 | = 2$ nach Angabe ist. Daher gibt es eine Zahl links der $3$ und eine Zahl rechts der $3$ , die zur $3$ den Abstand $2$ hat. Diese Zahlen sollen $x_{1}$ und $x_{2}$ heißen.
Um $x_{1}$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl $2$ vor und landest bei $3 + 2 = 5$ . Somit ist $x_{1} = 5$ deine zweite Lösung.
Um $x_{2}$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl 2 zurück und landest bei $3 - 2 = 1$ . Somit ist $x_{2} = 1$ deine zweite Lösung.
Kontrolle:
$| x_{1} - 3 | = | 5 - 3 | = | 2 | = 2 ✓$
$| x_{2} - 3 | = | 1 - 3 | = | - 2 | = 2 ✓$

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$\| x - 3 \|$	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$[(x + 3) \cdot 2 + 4] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$[2 x + 6 + 4] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$[2 x + 10] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$10 x + 50 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Fasse zusammen
$50$	$=$	$50$
	↓	gilt für jedes $x$
$L$	$=$	$G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 (x - 4)$	$=$	$- \frac{2}{3} (\frac{3}{10} x - 3) + 0,5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 x + 3,2$	$=$	$- \frac{1}{5} x + 2 + 0,5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$1,45 - 0,8 x$	$=$	$- \frac{1}{5} x + 2,5$	$+ \frac{1}{5} x - 1,45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$- 0,8 x + \frac{1}{5} x$	$=$	$- 1,45 + 2,5$
	↓	Fasse zusammen
$- 0,6 x$	$=$	$1,05$	$: (- 0,6)$
$x$	$=$	$- 1,75$
$L$	$=$	${- 1,75}$

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\frac{5}{3} x - \frac{3}{10}$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$	$\cdot HN 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$100 x - 18$	$=$	$- 60 x + 70 - 25 x + 120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$100 x - 18$	$=$	$- 85 x + 190$	$+ 85 x + 18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$185 x$	$=$	$208$	$: 185$
$x$	$=$	$\frac{208}{185}$

$5 x - 2$	$=$	$x + 6$	$+ 2$
$5 x$	$=$	$x + 8$	$- x$
$4 x$	$=$	$8$	$: 4$
$x$	$=$	$2$

$3 x$	$=$	$x + 5$	$- x$
$2 x$	$=$	$5$	$: 2$
$x$	$=$	$2,5$
$L$	$=$	${2,5}$

$7 x - 9$	$=$	$2 x + 5$	$- 2 x$
$5 x - 9$	$=$	$5$	$+ 9$
$5 x$	$=$	$14$	$: 5$

$\frac{1}{12} x - 5$	$=$	$3$	$+ 5$
$\frac{1}{12} x$	$=$	$8$	$\cdot 12$

$- 8 x + 5$	$=$	$- 5$	$- 5$
$- 8 x$	$=$	$- 10$	$: (- 8)$
$x$	$=$	$\frac{- 10}{- 8}$
$x$	$=$	$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

$x + 4$	$=$	$9 x - (5 - x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x + 4$	$=$	$9 x - 5 + x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$x + 4$	$=$	$10 x - 5$	$- x$
$4$	$=$	$9 x - 5$	$+ 5$
$9$	$=$	$9 x$	$: 9$
$x$	$=$	$1$

$3 (a - 4)$	$=$	$1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 a - 12$	$=$	$1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
	↓	Fasse zusammen.
$3 a - 12$	$=$	$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$	$- \frac{1}{5} a + 12$
$3 a - \frac{1}{5} a$	$=$	$\frac{3}{5} + 12$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{14}{5} a$	$=$	$\frac{63}{5}$	$: \frac{14}{5}$
$a$	$=$	$\frac{9}{2} = 4,5$
$L$	$=$	${4,5}$

$2,6 (x - 1)$	$=$	$- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
	↓	Fasse zusammen.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 7 x - 2,6$	$+ 7 x + 2,6$
$9,6 x$	$=$	$0$	$: 9,6$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$3 (4 x - 3)$	$=$	$4 (3 x - 4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x - 9$	$=$	$12 x - 16$	$- 12 x$
$- 9$	$=$	$- 16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$L$	$=$	$\emptyset$

$3 (4 x + 4)$	$=$	$4 (3 - 4 x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x + 12$	$=$	$12 - 16 x$	$+ 16 x - 12$
$28 x$	$=$	$0$	$: 28$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$3 (2 x - 0,5)$	$=$	$4 - 2 (1 - x)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$6 x - 1,5$	$=$	$4 - 2 + 2 x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$6 x - 1,5$	$=$	$2 x + 2$	$- 2 x + 1,5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$4 x$	$=$	$3,5$	$: 4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$x$	$=$	$\frac{3,5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$x$	$=$	$\frac{3,5 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{7}{8}$
$L$	$=$	${\frac{7}{8}}$

$(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x$	$=$	$4,7 - \frac{43}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\frac{45}{4} + \frac{8}{3} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12}$	$- \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\frac{45}{4} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3}$	$- \frac{45}{4}$
$- x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3} - \frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$- x$	$=$	$\frac{282}{60} - \frac{215}{60} - \frac{160}{60} - \frac{675}{60}$
$- x$	$=$	$\frac{282 - 215 - 160 - 675}{60}$
$- x$	$=$	$- \frac{768}{60}$	$\cdot (- 1)$
$x$	$=$	$\frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$x$	$=$	$\frac{64}{5}$

$(x - 7) \cdot (x + 3)$	$=$	$x (x + 2) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} + 3 x - 7 x - 21$	$=$	$x^{2} + 2 x + 5$	$- x^{2} - 2 x + 21$
$- 6 x$	$=$	$26$	$: (- 6)$
$x$	$=$	$\frac{26}{- 6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$x$	$=$	$- \frac{13}{3}$
$L$	$=$	${- \frac{13}{3}}$

$(x - 2) (3 x - 1)$	$=$	$3 (x + 1) x - 2 (5 x + 1)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 x^{2} - x - 6 x + 2$	$=$	$(3 x + 3) x - 10 x - 2$
	↓	Klammern auflösen
$3 x^{2} - x - 6 x + 2$	$=$	$3 x^{2} + 3 x - 10 x - 2$
	↓	Fasse zusammen
$3 x^{2} - 7 x + 2$	$=$	$3 x^{2} - 7 x - 2$	$- 3 x^{2} + 7 x$
$2$	$=$	$- 2$

$7 - [- 3 (11 - 5 x)]$	$=$	$2 x - 1 - (1 - 4 x)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$7 - [- 33 + 15 x]$	$=$	$2 x - 1 - 1 + 4 x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$7 + 33 - 15 x$	$=$	$2 x - 1 - 1 + 4 x$
	↓	Fasse zusammen.
$40 - 15 x$	$=$	$- 2 + 6 x$	$+ 15 x + 2$
$21 x$	$=$	$42$	$: 21$
$x$	$=$	$2$
$L$	$=$	${2}$

Aufgaben zum Lösen von linearen Gleichungen

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Lösung durch Umformen der Gleichung

Lösung mithilfe einer Wertetabelle

Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls

Kontrolle: