Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Gib diejenige Zahl an, mit der man 1.000 multiplizieren muss, um -250 zu erhalten. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen
Gib diejenige Zahl an, mit der man 1.000 multiplizieren muss, um -250 zu erhalten. (1 BE)
$1000 \cdot x = - 250 | : 1000$
$x = (- 250) : 1000 = - 0,25$
Man muss $1000$ mit $- 0,25$ multiplizieren um $- 250$ zu erhalten.
2
Begründe durch Anfertigen einer beschrifteten Skizze, dass $1 m^{2} = 100 {dm}^{2}$ gilt. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Einheiten
3
In einem Zeitungsartikel ist zu lesen: „Beim gestrigen Unwetter wurde eine Niederschlagshöhe von 15 mm erreicht." Ermittle, wie viele Liter Wasser bei diesem Unwetter auf einen Quadratmeter einer horizontalen Fläche fielen, indem du das Volumen eines Quaders mit einer Grundfläche von einem Quadratmeter und einer Höhe von 15 mm berechnest. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnung von Einheiten
$1 m m = 0,001 m$
$1 m^{3} = 1000 d m^{3}$
$1 l = 1 d m^{3}$
Das Volumen eines Quaders mit einer Grundfläche von $1 m^{2}$ und einer Höhe von $15 m m$ berechnet sich wie folgt.
$1 m^{2} \cdot 0,015 m = 0,015 m^{3} = 15 d m^{3} = 15 l$
Das Volumen eines Quaders mit einer Grundfläche von $1 m^{2}$ und einer Höhe von $15 m m$ ist $15 l$ .
4
Bestimme die Lösung der Gleichung $5 + 0,3 \cdot (x - 10) = 0,4 x$ über der Grundmenge $ℚ$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen
Bestimme die Lösung der Gleichung 5+0,3⋅(x−10)=0,4x über der Grundmenge Q.
Für diese Aufgabe musst Du Lineare Gleichungen beherrschen.
$5 + 0,3 \cdot (x - 10)$ $=$ $0,4 x$
↓
Rechne zunächst die Klammer aus.
$5 + 0,3 x - 3$ $=$ $0,4 x$ $- 0,3 x$
↓
Subtrahiere auf beiden Seiten 0,3x und fasse zusammen.
$2$ $=$ $0,1 x$ $: 0,1$
↓
Teile durch 0,1.
$x$ $=$ $20$
Die Lösung über der Grundmenge $ℚ$ lautet $x = 20$ .
5
Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Dreieck $A B C$ , dessen Eckpunkte auf der Kreislinie um den Punkt $M$ liegen; die Strecke $[A B]$ verläuft durch $M$ . Die Gerade $g$ ist eine Tangente an den Kreis und berührt diesen im Punkt $C$ .
a) Gib die Größe des Winkels $β$ und die Größe des Winkels $μ$ an. Nenne zu jeder Antwort ein begründendes Stichwort. (2 BE)
b) Marie hat herausgefunden, dass $ϵ = 40^{\circ}$ gilt. Ergänze sinnvoll, was sie einer Mitschülerin dazu erklären könnte: (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Thales
Teilaufgabe a)
Da die Punkte $C$ und $B$ auf der Kreislinie um $M$ liegen, handelt es sich bei dem Dreieck $△ C M B$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit den beiden Schenkeln $[C M]$ und $[M B]$ .
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich.
$β = 40^{\circ}$
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^{\circ}$ , das heißt
$μ + β + 40^{\circ} = 180^{\circ}$ .
Damit siehst du:
$μ = 180^{\circ} - (2 \cdot 40^{\circ}) = 100^{\circ}$
Da $β$ Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks ist, ergibt sich $β = 40^{\circ}$ .
Da die Winkelsumme im Dreieck $180^{\circ}$ beträgt, ergibt sich $μ = 100^{\circ}$ .
Teilaufgabe b)
Das Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel, weil C auf dem Thaleskreis um M liegt und M der Mittelpunkt der Strecke AB ist.
Der Winkel $∡ A C M = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$
Der Winkel $∡ A C M$ und $ϵ$ müssen zusammen $90^{\circ}$ sein, weildie Gerade $g$ eine Tangente an den Kreis im Punkt $C$ ist.
6
Ergänze das im Gitternetz abgebildete Dreieck so zu einer achsensymmetrischen Figur, dass der Inhalt des Dreiecks $\frac{2}{5}$ des Inhalts der Gesamtfläche der Figur beträgt. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie
In dieser Aufgabe sollst du das angegebene Dreieck so erweitern, dass
es achsensymmetrisch ist und
die Fläche des Dreiecks $\frac{2}{5}$ des Flächeninhalts der gesamten Figur ausmacht.
Bestimmung des Flächeninhalts der Gesamtfigur
Durch Abzählen der Kästchen kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:
$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$
Da der Flächeninhalt des Dreiecks $A_{Δ}$ $\frac{2}{5}$ des Flächeninhalts der gesamten Fläche sein soll, kannst du nun den Flächeninhalt der gesamten Figur $A$ bestimmen.
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{2}{5} \cdot A$ $\cdot \frac{5}{2}$
$\frac{5}{2} \cdot A_{Δ}$ $=$ $A$
↓
Setze $A_{Δ} = 16$ ein.
$\frac{5}{2} \cdot 16$ $=$ $A$
$A$ $=$ $40$
Die Gesamtfigur muss also einen Flächeninhalt von 40 Kästchen haben. Du kannst nun auf vielen verschiedenen Arten das Dreieck zu einer achsensymmetrischen Figur mit diesem Flächeninhalt ergänzen.
Verschiedene Lösungsmöglichkeiten
Du kannst beispielsweise das Dreieck erstmal zu einem Rechteck ergänzen. Rechtecke sind achsensymmetrisch. Dieses entstandene Rechteck hat einen Flächeninhalt von $2 \cdot 16 = 32$ Kästchen. Jetzt können wir das Rechteck nach oben/unten oder links/rechts erweitern, um die fehlenden $8$ Kästchen Flächeninhalt zu ergänzen.
Deine Lösung kann dann so aussehen:
Eine andere Herangehensweise ist, den Flächeninhalt erstmal um $4$ Kästchen zu erweitern und die enstandene Figur zu spiegeln. Dann kann deine Lösung so aussehen:
Viele weitere Lösungen sind möglich! Du liegst immer richtig, wenn deine Gesamtfigur einen Flächeninhalt von 40 Kästchen hat und achsensymmetrisch ist.
7
Der Burj Khalifa in Dubai ist mit $828 m$ Höhe derzeit das höchste Gebäude der Welt. Die Abbildung zeigt das Gebäude maßstabsgetreu.
1. Kreuze an, in welchem Maßstab das Gebäude abgebildet ist. (1 BE)
2. Die Aussichtsplattform in der 124. Etage liegt $452 m$ höher als das Erdgeschoss. Dorthin führt vom Erdgeschoss aus - ohne Zwischenhalt - ein Expressaufzug, der im Mittel pro Sekunde $10 m$ an Höhe gewinnt bzw. verliert. Der Expressaufzug fasst bis zu 25 Personen. Schätze die maximale Anzahl der Personen ab, die mit diesem Aufzug pro Stunde zur Aussichtsplattform transportiert werden können. Berücksichtige dabei auch die Zeit, die für das Ein- und Aussteigen nötig ist. (2 BE)
  Hinweis: Bei einer Abschätzung muss grundsätzlich der Lösungsweg nachvollziehbar sein.
3. Für einige Wohnungen im Burj Khalifa ist der Preis pro Quadratmeter seit Eröffnung des Gebäudes um $70 %$ gefallen. Berechne, wie hoch der Preis pro Quadratmeter bei Eröffnung war, wenn er jetzt $6.300 €$ beträgt. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Der Prozentwert $𝐖$ gibt den Anteil am Grundwert an.
  Da der Preis pro Quadratmeter um $70 %$ gefallen ist,
  beträgt er jetzt nur noch $30 %$ des Ausgangspreises,
  also des Grundwerts $𝐆 .$
  Lösung mittels der Prozentformel:
  Folgende Grössen sind aus der Aufgabenstellung bekannt:
  der Prozentsatz $p = 0,3$
  der Prozentwert $W = 6300$ $€$
  Grundwert $G = \frac{W}{p} \Rightarrow G = \frac{6300 €}{0,3} \Rightarrow G = 21000 €$
  Der Preis pro Quadratmeter bei Eröffnung betrug: $21000 €$
  Lösung mittels des Dreisatz:
  $30 %$ $≙$ $6300 €$ $: 30$
  $1 %$ $≙$ $210 €$ $\cdot 100$
  $100 %$ $≙$ $21000 €$
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8
In der Abbildung ist eine punktsymmetrische Figur grau markiert.
1. Zeige durch Rechnung, dass der Flächeninhalt der grau markierten Figur $10 s^{2}$ beträgt. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalte
  Für diese Aufgabe musst du Flächeninhalte berechnen können.
  Die Fläche $A$ des gesamten Rechtecks beträgt:
  $A_{g e s a m t} = 2 s \cdot 8 s = 16 s^{2}$
  Davon abziehen muss man $2$ mal den Flächeninhalt von den Dreiecken links oben und rechts unten mit je
  $A_{1} = \frac{1}{2} (4 s \cdot s) = 2 s^{2}$
  und $2$ mal den Flächeninhalt von den Dreiecken links unten und rechts oben mit je
  $A_{2} = \frac{1}{2} (2 s \cdot s) = s^{2}$
  $A_{g r a u} = A_{g e s a m t} - 2 A_{1} - 2 A_{2} = 16 s^{2} - 4 s^{2} - 2 s^{2} = 10 s^{2} .$
  Der Flächeninhalt der grau markierten Figur beträgt $10 s^{2}$ .
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2. Gib an, wie groß $s$ sein muss, damit der Flächeninhalt der grau markierten Figur $160 {cm}^{2}$ beträgt; verwende den in Aufgabe 7 a angegebenen Term. (1 BE)
  
  $10 s^{2} = 160 c m^{2}$
  $s^{2} = 16 c m^{2}$
  $s = 4 c m$
  Wenn $s = 4 c m$ ist, beträgt die Fläche der grau markierten Figur $160 c m^{2}$ .
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$5 + 0,3 \cdot (x - 10)$	$=$	$0,4 x$
	↓	Rechne zunächst die Klammer aus.
$5 + 0,3 x - 3$	$=$	$0,4 x$	$- 0,3 x$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten 0,3x und fasse zusammen.
$2$	$=$	$0,1 x$	$: 0,1$
	↓	Teile durch 0,1.
$x$	$=$	$20$

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{2}{5} \cdot A$	$\cdot \frac{5}{2}$
$\frac{5}{2} \cdot A_{Δ}$	$=$	$A$
	↓	Setze $A_{Δ} = 16$ ein.
$\frac{5}{2} \cdot 16$	$=$	$A$
$A$	$=$	$40$

$30 %$	$≙$	$6300 €$	$: 30$
$1 %$	$≙$	$210 €$	$\cdot 100$
$100 %$	$≙$	$21000 €$

Gruppe A

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

Bestimmung des Flächeninhalts der Gesamtfigur

Verschiedene Lösungsmöglichkeiten

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