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Reelle Zahlen

8Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 (2/3)

Was haben wir bis jetzt gezeigt?

  • z2=2n2z^2=2\cdot n^2

zz ist durch 2 teilbar

Wir wollen als Nächstes zeigen, dass auch nn gerade ist. Da zz gerade ist, gibt es eine ganze Zahl rr, sodass wir zz wie folgt schreiben können:

z=2rz=2\cdot r

Wir setzen 2r2\cdot r für zz in die obige Gleichung ein:

z2=2n2 (2r)2=2n2 4r2=2n2:2 2r2=n2\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}z^2&=2\cdot n^2 \\\ (2\cdot r)^2&=2\cdot n^2\\\ 4\cdot r^2&=2\cdot n^2 \quad\quad\quad|:2\\\ 2\cdot r^2&=n^2\end{aligned}

2r22\cdot r^2 ist eine gerade Zahl, weil man sie durch zwei teilen kann. Somit ist auch n2n^2 gerade.

Wie auf der vorherigen Seite gezeigt wurde, ist n2n^2 gerade, wenn nn gerade ist.


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