Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen
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Berechne ohne Taschenrechner:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Funktionen
Berechne . Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periode .
Berechne und .Die Werte von und kannst du dir leicht merken. Deswegen brauchst du dafür keinen Taschenrechner.Als Hilfe kannst du dir den Graphen zu den Funktionen anschauen.
Daraus kannst du ablesen:
Diese Werte setzt du in den Term ein.
Benutze nun die Definition der Tangensfunktion: .
Setze die Funktionswerte ein. Zur Hilfe kannst du wieder den Graphen betrachten.
Also:
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Berechne den Winkel im Intervall . Gib dein Ergebnis im Gradmaß an:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus und Kosinus
↓ Bringe Sinus und Kosinus auf eine Seite.
↓ Nach Betrachten des Terms, entdeckst du, dass du den trigonometrischen Pythagoras anwenden kannst.
↓ Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
↓ Ziehe die Wurzel.
Verwende nun den Taschenrechner (-Taste).
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Es ist . Bestimme 3 weitere Winkel, die den gleichen Kosinuswert haben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Periode einer Funktion
Gegeben:
Gesucht: Weitere Stellen mit
Zeichne die Kosinusfunktion, um die Periode zu bestimmen.
Betrachtet man den Graphen der Kosinusfunktion, so erkennt man, dass sich der Kosinus alle wiederholt. Das heißt, Kosinus hat die Periode .
Da der Kosinus Periode hat, gilt allgemein
für jede Stelle und damit
Daher findet man weitere Stellen zum Beispiel mit
Alternative Lösung
Jetzt beschreiben wir eine andere Möglichkeit, wie du die Aufgabe lösen kannst.
Hierfür benötigst Du zusätzlich folgendes Grundwissen:
Bisher haben wir den Punkt mit den Koordinaten .
Wir wissen, dass ist.
Daher können wir nehmen, da der Kosinus dort denselben Wert hat (Punkt ).
Wie man in der Skizze sieht, ist der Graph der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur -Achse. Daher erhalten wir die Punkte als Spiegelpunkt zu mit und als Spiegelpunkt zu mit als weitere Lösungen.
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Prüfe, ob folgende Gleichungen für jede Stelle gelten:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion
Prüfe:
Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von und an beispielsweise . Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
und
Damit ist
Und daher im Allgemeinen:
Beachte, dass es durchaus Stellen gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel , denn es ist . Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion
Prüfe:
Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von und an beispielsweise . Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
Damit ist allgemein
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Finde Beispiele für Phänomene in der Realität, die sich durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben lassen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Im allgemeinen lassen sich Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben. Das können zum Beispiel Wasserwellen, Schallwellen, Elektromagnetische Wellen sein. Das heißt, dass diese Funktionen vorallem in der Physik ihre Anwendung finden.
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Prüfe, für welche im Intervall zwischen und die folgenden Gleichungen gelten:
Hinweis: Verwende den trigonometrischen Pythagoras .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Gegeben:
Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.
Subtrahiere auf beiden Seiten und addiere auf beiden Seiten .
Teile durch und ziehe die Wurzel.
Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen und hat.
oder
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.
Verwende den trigonometrischen Pythagoras.
Bringe auf die andere Seite und klammere dann aus.
Diese Gleichung ist erfüllt, falls oder .
, falls oder oder
, falls
Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.
Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen .
Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle erfüllt ist.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Gegeben:
Verwende den trigonometrischen Pythagoras:
Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck "", welcher jedoch nie erfüllt ist.
Lösungsmenge
Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."
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Entscheide, ob die folgenden Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen richtig oder falsch sind.
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Vereinfache den folgenden Term, bis nur noch darin vorkommt:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion
Forme um.
Verwende die dritte binomische Formel.
Bilde den Hauptnenner und führe die Brüche zusammen.
Verwende den trigonometrischen Pythagoras.
Verwende die Definition des Tangens.
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Löse für die folgende Gleichung nach auf:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
↓ Verwende die Definition des Tangens.
↓ Klammere sin(x) aus.
↓ Das Produkt ist , falls einer der beiden Faktoren ist.
↓ oder
↓ Forme die zweite Gleichung um, indem du beiden Seiten mit subtrahierst und mit multiplizierst.
↓ oder
↓ Multipliziere auf beiden Seiten der zweiten Gleichung mit .
↓ oder
↓ Betrachte die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion zur Bestimmung der -Werte in dem vorgeschriebenen Intervall.
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Löse für die folgende Gleichung nach auf:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion
↓ Verwende, dass und subtrahiere auf beiden Seiten mit diesem Term.
↓ Klammere aus.
↓ Verwende, dass .
↓ Bringe den Term in der Klammer auf einen Hauptnenner.
↓ Verwende den trigonometrischen Pythagoras und schreibe die um.
↓ Fasse den Zähler zusammen.
↓ Kürze.
Betrachte die Skizze des Tangens, um zu bestimmen, wann der Tangens in dem gegebenen Intervall ist.
Lösung:
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