Aufgaben zu Längen und Winkeln

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{2^2+(-1{)}^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\approx \mathrm{5,48}\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{2^2+(-1)^2+5^2\}=\backslash sqrt\{4+1+25\}=\backslash sqrt\{30\}\backslash approx\; 5\{,\}48$

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{{12}^2+3^2+4^2}=\sqrt{144+9+16}=13\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{12^2+3^2+4^2\}=\backslash sqrt\{144+9+16\}=13$

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{(-2{)}^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx \mathrm{3,74}\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{(-2)^2+3^2+1^2\}=\backslash sqrt\{4+9+1\}=\backslash sqrt\{14\}\backslash approx\; 3\{,\}74$

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx \mathrm{4,58}\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{1^2+(-2)^2+(-4)^2\}=\backslash sqrt\{1+4+16\}=\backslash sqrt\{21\}\backslash approx\; 4\{,\}58$

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{3^2+(-4{)}^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{3^2+(-4)^2+0^2\}=\backslash sqrt\{9+16\}=5$

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{1^2+0^2+(-1)^2\}=\backslash sqrt2\backslash approx\; 1\{,\}41$

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{5^2+1^2+9^2}=\sqrt{25+1+81}=\sqrt{107}\approx \mathrm{10,34}\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{5^2+1^2+9^2\}=\backslash sqrt\{25+1+81\}=\backslash sqrt\{107\}\backslash approx\; 10\{,\}34$

$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{(-5{)}^2+3^2+9^2}=\sqrt{25+9+81}=\sqrt{115}\approx \mathrm{10,72}\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{(-5)^2+3^2+9^2\}=\backslash sqrt\{25+9+81\}=\backslash sqrt\{115\}\backslash approx\; 10\{,\}72$

${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid =\sqrt{4^2+{(-\frac{2}{3})}^2+{\mathrm{0,2}}^2}=\sqrt{16+\frac{4}{9}+\mathrm{0,04}}\approx \mathrm{4,06}}\backslash displaystyle\backslash left|\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; u\}\backslash right|=\backslash sqrt\{4^2+\backslash left(-\{\backslash frac23\}\backslash right)^2+0\{,\}2^2\}=\backslash sqrt\{16+\{\backslash frac49\}+0\{,\}04\}\backslash approx4\{,\}06$

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $00$ ergibt.

$\vec{a}\circ \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)=(-2)\cdot (-1)+2\cdot (-1)=2-2=0\backslash vec\; a\backslash circ\backslash vec\; b\; =\backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}\; =(-2)\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)+2\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)=2-2=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}\backslash overrightarrow\; a$ und $\overrightarrow{b}\backslash overrightarrow\; b$ ist $00$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $00$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,5}\\ -1\end{array}\right)=6\cdot \mathrm{0,5}+4\cdot (-1)=3-4=-1\backslash overrightarrow\; a\backslash odot\backslash overrightarrow\; b\; =\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}0\{,\}5\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}\; =6\backslash cdot0\{,\}5+4\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)=3-4=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}\backslash overrightarrow\; a$ und $\overrightarrow{b}\backslash overrightarrow\; b$ ist $-1-1$.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $00$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}\backslash overrightarrow\; a\backslash odot\backslash overrightarrow\; b$ $=\left(\begin{array}{c}2\pi \\ 7\end{array}\right)\odot =\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash pi\backslash \backslash 7\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot$ $\left(\begin{array}{c}-3.5\\ \pi \end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}-3.5\backslash \backslash \backslash pi\backslash end\{pmatrix\}$ =$2\pi \cdot (-3.5)+7\cdot \pi 2\backslash pi\backslash cdot\backslash left(-3.5\backslash right)+7\backslash cdot\; \backslash pi$$=7\pi -7\pi =0=7\backslash pi-7\backslash pi=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}\backslash overrightarrow\; a$ und $\overrightarrow{b}\backslash overrightarrow\; b$ ist $00$.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $00$ ergibt.

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{6}\\ -\sqrt{3}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\end{array}\right)=\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+(-\sqrt{3})\cdot 2=\sqrt{12}-2\sqrt{3}\backslash overrightarrow\; a\backslash odot\backslash overrightarrow\; b\; =\backslash begin\{pmatrix\}\backslash sqrt\{6\}\backslash \backslash -\backslash sqrt\{3\}\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\backslash sqrt2\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\; =\backslash sqrt\{6\}\backslash cdot\backslash sqrt2+(-\backslash sqrt3)\backslash cdot2=\backslash sqrt\{12\; \}-2\backslash sqrt3$

Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.

Nebenrechnung: $2\sqrt{3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}2\backslash sqrt3=\; \backslash sqrt4\; \backslash cdot\; \backslash sqrt3=\; \backslash sqrt\{4\backslash cdot3\}=\; \backslash sqrt\{12\}$

Damit ergibt sich insgesamt: $\sqrt{12}-2\sqrt{3}=\sqrt{12}-\sqrt{12}=0\backslash sqrt\{12\}-2\backslash sqrt3=\; \backslash sqrt\{12\}\; -\backslash sqrt\{12\}=\; 0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}\backslash overrightarrow\; a$ und $\overrightarrow{b}\backslash overrightarrow\; b$ ist $00$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi \backslash varphi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{15}{\sqrt{30}\cdot \sqrt{89}}}\right)\approx {\mathrm{73,1}}^{\circ }\backslash Rightarrow\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash dfrac\{15\}\{\backslash sqrt\{30\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{89\}\}\backslash right)\backslash approx73\{,\}1^\backslash circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{13}\right)\approx {\mathrm{72,1}}^{\circ }\backslash Rightarrow\backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac4\{13\}\backslash right)\backslash approx72\{,\}1^\backslash circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi \phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{84}}\right)\approx {\mathrm{70,9}}^{\circ }\backslash Rightarrow\backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac3\{\backslash sqrt\{84\}\}\backslash right)\backslash approx70\{,\}9^\backslash circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi \phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{399}}\right)\approx {\mathrm{104,5}}^{\circ }\backslash Rightarrow\backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{-5\}\{\backslash sqrt\{399\}\}\backslash right)\backslash approx104\{,\}5^\backslash circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi \phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{209}}\right)\approx {\mathrm{73,9}}^{\circ }\backslash Rightarrow\; \backslash varphi=\; \backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{4\}\{\backslash sqrt\{209\}\}\backslash right)\backslash approx\; 73\{,\}9^\backslash circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi \phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)={45}^{\circ }\backslash Rightarrow\backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac1\{\backslash sqrt2\}\backslash right)=45^\backslash circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}(0)={90}^{\circ }\backslash Rightarrow\backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}(0)=90^\{\backslash circ\}$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\phi \phi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{115}\cdot \sqrt{69}}\right)\approx {\mathrm{86,8}}^{\circ }\backslash Rightarrow\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac5\{\backslash sqrt\{115\}\backslash cdot\backslash sqrt\{69\}\}\backslash right)\backslash approx86\{,\}8^\backslash circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left(0\right)={90}^{\circ }\backslash Rightarrow\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(0\backslash right)=90^\backslash circ$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\circ \vec{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=2\cdot 0+(-1)\cdot v_2+5\cdot v_3=-v_2+5v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash circ\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash \; -1\backslash \backslash 5\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 2\backslash cdot\; 0+\; (-1)\backslash cdot\; v\_2\; +\; 5\backslash cdot\; v\_3=-v\_2\; +\; 5v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=5v_{3}v\_2=\; 5v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5v\_2=5$ und $v_3=1v\_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 5\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\circ \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 2+5\cdot (-1)+1\cdot 5=0+(-5)+5=0\backslash vec\{v\}\backslash circ\backslash vec\{u\}=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot2+5\backslash cdot(-1)+1\backslash cdot5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=12\cdot 0+3\cdot v_2+4\cdot v_3=3v_2+4v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 12\backslash \backslash \; 3\backslash \backslash 4\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 12\backslash cdot\; 0+\; 3\backslash cdot\; v\_2\; +\; 4\backslash cdot\; v\_3=3v\_2\; +\; 4v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-4v_{3}3v\_2=\; -4v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4v\_2=4$ und $v_3=-3v\_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0+12-12=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; 12+\; 4\backslash cdot3\; +\; (-3)\backslash cdot\; 4\; =0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=(-2)\cdot 0+3\cdot v_2+1\cdot v_3=3v_2+v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -2\backslash \backslash \; 3\backslash \backslash 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; (-2)\backslash cdot\; 0+\; 3\backslash cdot\; v\_2\; +\; 1\backslash cdot\; v\_3=3v\_2\; +\; v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2=-v_{3}3v\_2=\; -v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1v\_2=1$ und $v_3=-3v\_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+1\cdot 3+1\cdot (-3)=0+3+(-3)=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; (-2)+\; 1\backslash cdot3\; +\; 1\backslash cdot\; (-3)\; =0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -4\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot 0+(-2)\cdot v_2+(-4)\cdot v_3=-2v_2-4v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash \; -2\backslash \backslash -4\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; 0+\; (-2)\backslash cdot\; v\_2\; +\; (-4)\backslash cdot\; v\_3=-2v\_2\; -4v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2=-4v_{3}2v\_2=\; -4v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4v\_2=-4$ und $v_3=2v\_3=2$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; -4\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+(-4)\cdot (-2)+2\cdot (-4)=0+8+(-8)=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; 1+\; (-4)\backslash cdot(-2)\; +\; 2\backslash cdot\; (-4)\; =0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_3=0v\_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0u\_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ 0\end{array}\right)=3\cdot v_1+(-4)\cdot v_2+0\cdot 0=3v_1+(-4)v_{2}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 3\backslash \backslash \; -4\backslash \backslash 0\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; v\_1\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 3\backslash cdot\; v\_1+\; (-4)\backslash cdot\; v\_2\; +\; 0\backslash cdot\; 0=3v\_1\; +\; (-4)v\_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=4v_{2}3v\_1=\; 4v\_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4v\_1=-4$ und $v_2=-3v\_2=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; -4\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+(-3)\cdot (-4)+0\cdot 0=(-12)+12+0=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=(-4)\backslash cdot\; 3+\; (-3)\backslash cdot(-4)\; +\; 0\backslash cdot\; 0\; =(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_2=0v\_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0u\_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ v_3\end{array}\right)=1\cdot v_1+0\cdot 0+(-1)\cdot v_3=v_1-v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash \; 0\backslash \backslash -1\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; v\_1\backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; v\_1+\; 0\backslash cdot\; 0\; +\; (-1)\backslash cdot\; v\_3=v\_1\; -\; v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1=v_{3}3v\_1=\; v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1v\_1=1$ und $v_2=1v\_2=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-1)=1-1=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=1\backslash cdot\; 1+\; 0\backslash cdot\; 0\; +\; 1\backslash cdot\; (-1)\; =1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec{v}\backslash vec\; v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ $00$ ist.

Es lässt sich $v_1=0v\_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec{u}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 9\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}0\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=5\cdot 0+1\cdot v_2+9\cdot v_3=v_2+9v_{3}0=\backslash vec\; u\; \backslash odot\; \backslash vec\; v=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 5\backslash \backslash \; 1\backslash \backslash 9\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}=\; 5\backslash cdot\; 0+\; 1\backslash cdot\; v\_2\; +\; 9\backslash cdot\; v\_3=v\_2\; +\; 9v\_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2=-9v_{3}v\_2=\; -9v\_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9v\_2=-9$ und $v_3=1v\_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; -9\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{pmatrix\}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\odot \vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+(-9)\cdot 1+1\cdot 9=0+(-9)+9=0\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; u=v\_1\backslash cdot\; u\_1+v\_2\backslash cdot\; u\_2+v\_3\backslash cdot\; u\_3=0\backslash cdot\; 5+\; (-9)\backslash cdot\; 1\; +\; 1\backslash cdot\; 9\; =0+(-9)+9=0$