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Aufgaben zu Längen und Winkeln

  1. 1

    Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors. Runde, falls nötig, auf zwei Nachkommastellen.

    1. u=(215)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}


    2. u=(1234)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}


    3. u=(231)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}


    4. u=(124)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}


    5. u=(340)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}


    6. u=(101)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}


    7. u=(519)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}


    8. u=(539)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}


    9. u=(4230,2)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}

      (mit 2 Nachkommastellen)
  2. 2

    Berechne die Länge des Vektors:

    1. v=(34)\vec v = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}


    2. v=(32)\vec v =\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}

    3. v=(80) \vec v = \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}

    4. v=(55)\vec v = \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}

  3. 3

    Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

    1. a=(22)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}   und   b=(11)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}

    2. a=(64)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} und b=(0.51)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}0.5\\-1\end{pmatrix}

    3. a=(2π7)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} und b=(3.5π)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}

    4. a=(63)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}\sqrt6\\-\sqrt3\end{pmatrix} und b=(22)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix}

  4. 4

    Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren.

    1. u=(215)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}   und   v=(672)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\7\\2\end{pmatrix}

    2. u=(1234)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}   und   v=(608)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}

    3. u=(231)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}   und   v=(112)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}

    4. u=(124)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}   und   v=(331)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}

    5. u=(340)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}   und   v=(8112)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}

    6. u=(101)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}   und   v=(003)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}

    7. u=(519)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}   und   v=(282)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}

    8. u=(539)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}   und   v=(281)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}

    9. u=(0,2535)\overrightarrow u=\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}   und   v=(4230,2)\displaystyle\overrightarrow v=\begin{pmatrix}4\\-\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}

  5. 5

    Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.

    1. u=(215)\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}