Aufgaben zu Längen und Winkeln

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\approx 5{,}48$

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{12^2+3^2+4^2}=\sqrt{144+9+16}=13$

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3{,}74$

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx 4{,}58$

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5$

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2\approx 1{,}41$

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{5^2+1^2+9^2}=\sqrt{25+1+81}=\sqrt{107}\approx 10{,}34$

$\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-5)^2+3^2+9^2}=\sqrt{25+9+81}=\sqrt{115}\approx 10{,}72$

$\displaystyle\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-{\frac23}\right)^2+0{,}2^2}=\sqrt{16+{\frac49}+0{,}04}\approx4{,}06$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{3^2+4^2} \\&=& \sqrt{9+16} \\&=& \sqrt{25} \\&=&5 \end{array}$

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\vec a\circ\vec b =\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} =(-2)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)=2-2=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0{,}5\\-1\end{pmatrix} =6\cdot0{,}5+4\cdot\left(-1\right)=3-4=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $-1$.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b$ $=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} \odot$ $\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}$ =$2\pi\cdot\left(-3.5\right)+7\cdot \pi$$=7\pi-7\pi=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}\sqrt{6}\\-\sqrt{3}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix} =\sqrt{6}\cdot\sqrt2+(-\sqrt3)\cdot2=\sqrt{12 }-2\sqrt3$

Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.

Nebenrechnung: $2\sqrt3= \sqrt4 \cdot \sqrt3= \sqrt{4\cdot3}= \sqrt{12}$

Damit ergibt sich insgesamt: $\sqrt{12}-2\sqrt3= \sqrt{12} -\sqrt{12}= 0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\varphi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{89}}\right)\approx73{,}1^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac4{13}\right)\approx72{,}1^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac3{\sqrt{84}}\right)\approx70{,}9^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{399}}\right)\approx104{,}5^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \varphi= \cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{209}}\right)\approx 73{,}9^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac1{\sqrt2}\right)=45^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}(0)=90^{\circ}$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \varphi=\cos^{-1}\left(\frac5{\sqrt{115}\cdot\sqrt{69}}\right)\approx86{,}8^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \varphi=\cos^{-1}\left(0\right)=90^\circ$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \circ \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= 5v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\circ\vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot2+5\cdot(-1)+1\cdot5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4$ und $v_3=2$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= 4v_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4$ und $v_2=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0$