Aufgaben zum Aufstellen von Ebenengleichungen

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
In den folgenden Bildern ist je eine Ebene E dargestellt. Stelle die dargestellte Ebene in Parameterform auf.
1. Aus der Zeichnung kannst du zwei Punkt ablesen, die in der Ebene liegen:
  $A (1; 0; 0)$
  $B (0; 3; 0)$
  Der Vektor $\vec{AB}$ ist einer der Richtungsvektoren der Ebene $E$ .
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
  Der zweite Richtungsvektor ist parallel zur $x_{3} - Achse$ . Wir können also als zweiten Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ nehmen.
  Wähle den Punkt $A$ oder $B$ als Aufpunkt und stelle die Gleichung der Ebene $E$ in Parameter auf.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
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2. Ebene in Parameterform aufstellen
  Lese die gegebenen Punkte ab:
  $A (2; 0; 0)$ , $B (0; 0; 3)$
  Der Vektor $\vec{AB}$ ist einer der Richtungsvektoren der Ebene $E$ .
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
  Der zweite Richtungsvektor $\vec{v}$ ist parallel zur $x_{2} - Achse$ .
  $\Rightarrow \vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
  Wähle den Punkt $A$ oder $B$ als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene $E$ auf.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
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3. Ebene in Parameterform aufstellen
  Lese die gegebenen Punkte ab:
  $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 3; 0)$ , $C (0; 0; 2)$
  Der Vektor $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ sind die Richtungsvektoren der Ebene $E$ .
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
  $\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
  Wähle einen der Punkte $A$ , $B$ oder $C$ als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene $E$ auf.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
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4. Ebene in Parameterform aufstellen
  Lese die gegebenen Punkte ab:
  $A (0; 0; 3)$
  Einer der Richtungsvektoren der Ebene $E$ ist parallel zur $x_{1} - Achse$ .
  $\Rightarrow \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
  Der andere Richtungsvektor ist parallel zur $x_{2} - Achse$ .
  $\Rightarrow \vec{u} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  Wähle den Punkt $A$ als Aufpunkt und Stelle die Gleichung Ebene $E$ auf.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
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Gegeben sind die parallelen Geraden
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
und
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
Bestimme die Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform, in der die beiden Geraden $g$ und $h$ liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus zwei Geraden bestimmen
Wähle den Vektor zwischen den Aufpunkten $A_{g}$ und $A_{h}$ der
beiden Geraden als ersten Richtungsvektor der Ebene.
Berechne $\vec{A_{g} A_{h}}$ .
$\begin{array}{l} \vec{A_{g} A_{h}} \\ = \vec{A_{h}} - \vec{A_{g}} \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) \end{array}$
Wähle einen der Aufpunkte der beiden Geraden, z.b. $A_{g}$ ,
als Aufpunkt der Ebene.
Wähle einen der Richtungsvektoren der beiden Geraden
z.B. $\vec{v_{g}}$ , als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Stelle nun die Ebenengleichung auf.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
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Gegeben ist die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und der Punkt $P (1; - 3; - 3)$ , der nicht auf der Geraden liegt.
Bestimme die Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform, in der der Punkt $P$ und die Gerade $g$ liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus einem Punkt und einer Geraden aufstellen
Wähle den Richtungsvektor der Geraden $\vec{u} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ als ersten Richtungsvektor und den Vektor zwischen dem Punkt $P$ und dem Aufpunkt $A$ der Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene $E$ .
Berechne $\vec{PA}$ .
$\vec{PA} = \vec{A} - \vec{P} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
Wähle $P$ als Aufpunkt der Ebene $E$ .
$\Rightarrow E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
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Gegeben sind die zueinander windschiefen Geraden $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$ . Bestimme die Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform, in der die Gerade $g$ liegt und zu der die Gerade $h$ parallel ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Ebene in Parameterform aufstellen
Wähle den Aufpunkt der Geraden $g$ als Aufpunkt und die beiden Richtungsvektoren $\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$ der Geraden als Richtungsvektor der Ebene $E$ .
Die Gleichung der Ebene lautet dann : $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
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Stelle aus den folgenden drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf.
1. $A (1; 0; 3)$ , $B (0; 2; 1)$ , $C (2; 2; 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$
  $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
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2. $A (0; 1; 2)$ , $B (3, 3; 3)$ , $C (- 1; 1; 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
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3. $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 3)$ , $C (- 1; 2; 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
  $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA} = \vec{O}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{O} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  Den Ortsvektor $\vec{O} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ kann man auch weglassen.
  $E : \vec{x} = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
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4. $A (1; 1; - 1)$ , $B (1; 2; 1)$ , $C (0; 3; 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
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5. $A (3; 1; 2)$ , $B (2; 3; 1)$ , $C (4; 3; 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
  $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
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6. $A (2; 2; 2)$ , $B (5; 2; 1)$ , $C (3; 2; 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
  $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
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7. $A (40; 80; 0)$ , $B (20; 60; 10)$ , $C (55; 90; 20)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 20 \\ 60 \\ 10 \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 20 \\ - 20 \\ 10 \end{array})$
  Da sich die Richtung eines Vektors durch Multiplikation mit einer reellen Zahl nicht ändert, kann man $10$ ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.
  $\Rightarrow \vec{AB} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
  $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 55 \\ 90 \\ 20 \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 15 \\ 10 \\ 20 \end{array})$
  Auch hier kann man $5$ ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.
  $\Rightarrow \vec{AC} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array})$
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6
Stelle aus zwei Punkten und einem Richtungsvektor eine Ebenengleichung in Parameterform auf.
1. $A (1; 3; - 2)$ , $B (3; 7; 5)$ , $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 10 \\ - 7 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Wähle $\vec{v}$ als ersten Richtungsvektor und $\vec{AB}$ als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
  Berechne $\vec{AB}$ .
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{v} + μ \cdot \vec{AB}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 10 \\ - 7 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array})$
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2. $A (2; 1; - 3)$ , $B (1; - 3; - 3)$ , $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Wähle $\vec{v}$ als ersten Richtungsvektor und $\vec{AB}$ als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
  Berechne $\vec{AB}$ .
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{v} + μ \cdot \vec{AB}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
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3. $A (8; 13; 9)$ , $B (4; - 3; - 1)$ , $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Wähle $\vec{v}$ als ersten Richtungsvektor und $\vec{AB}$ als
  zweiten Richtungsvektor der Ebene.
  Berechne $\vec{AB}$ .
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 13 \\ 9 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 16 \\ - 10 \end{array})$
  Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch $- 2$ ausklammern.
  $\Rightarrow \vec{AB} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 5 \end{array})$
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{v} + μ \cdot \vec{AB}$ ein.
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 13 \\ 9 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 5 \end{array})$
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7
Stelle aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebenengleichung in Parameterform auf.
1. $A (1; 3; - 2)$ , $\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 10 \\ - 7 \end{array})$ , $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt und $\vec{u}$ und $\vec{v}$ als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{u} + μ \cdot \vec{v}$ ein:
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 10 \\ - 7 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
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2. $A (1; 1; 1)$ , $\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt und $\vec{u}$ und $\vec{v}$ als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{u} + μ \cdot \vec{v}$ ein:
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
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3. $A (5; 5; - 23)$ , $\vec{u} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ - 17 \end{array})$ , $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1,5 \\ - 2 \\ 8 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Paramterform aufstellen
  Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt und $\vec{u}$ und $\vec{v}$ als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{u} + μ \cdot \vec{v}$ ein:
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ - 23 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ - 17 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1,5 \\ - 2 \\ 8 \end{array})$
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8
Gegeben sind die Geraden $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ , die sich im Punkt $S (2; 2; - 3)$ schneiden. Bestimme die Ebene $E$ in Parameterform, in der beide Geraden liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln
Ebene in Parameterform aufstellen
Wähle den gemeinsamen Schnittpunkt $S$ der Geraden als Aufpunkt und die beiden Richtungsvektoren $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene $E$ .
Die Gleichung der Ebene $E$ lautet dann: $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
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Aufgaben zum Aufstellen von Ebenengleichungen

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