Berechne

%%f(x)=\int_0^xt\mathrm{d}t%%

%%f(x)=\int_1^xt\mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=\int_1^x t\mathrm{d}t%%

%%=\left[\frac12t^2\right]_1^x%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

%%=\frac12x^2-\frac12\cdot 1%%

%%=\frac12 x^2-\frac12%%

%%f(x)=\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t%%

%%=\left[\frac13t^3-\frac12t^2-t\right]_0^x%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

%%=\left(\frac13x^3-\frac12x^2-x\right)-\left(\frac130^3-\frac120^2-0\right)%%

 

%%=\frac13x^3-\frac12x^2-x%%

 

%%f(x)=\int_0^x \sin t \ \mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=\int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t%%

%%=[-\cos t]_0^x%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

%%=\left(-\cos x\right)-\left(-\cos0\right)%%

%%\cos0=1%%

%%=-\cos x+1%%

%%f(x)=\int_{1054}^x t^2\ \mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=\int_{1054}^x t^2\ \mathrm{d}t%%

%%=\left[\frac13t^3\right]_{1054}^x%%

In die Klammer wird für %%t%% der rechte Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.

%%=\left(\frac13\cdot x^3\right)-\left(\frac13\cdot1054^3\right)%%

 

%%=\frac13\cdot x^3-\frac{1054^3}3%%

 

%%=\frac13\cdot x^3-\frac{1.170.905.464}3%%

 

%%\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x%%

Bruch in zwei Brüche zerlegen.

%%=\int_1^2\left(\frac1x+\frac xx\right)\ \mathrm{d}x=%%

Bruch mit %%x%% kürzen.

%%=\int_1^2\left(\frac1x+1\right)\ \mathrm{d}x=%%

Integrieren. Die Stammfunktion von %%\frac1x%% ist %%\ln x%%.

%%=\left[\ln x+x\right]_1^2=%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.

%%=\left(\ln2+2\right)-\left(\ln1+1\right)=%%

Klammern auflösen, %%\ln1=0%%.

%%=\ln2+2-1=%%

%%=\ln2+1=%%

%%\approx1,6931%%

%%\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x=%%

Bruch in drei Brüche zerlegen.

%%=\int_1^e\left(\frac{x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac3{2x}\right)\ \mathrm{d}x=%%

%%=\int_1^e\left(\frac12x+1+\frac32\cdot\frac1x\right)\ \mathrm{d}x=%%

Integrieren . Die Stammfunktion von %%\frac1x%% ist %%\ln x%%.

%%=\left[\frac1{2\cdot2}x^2+x+\frac32\ln x\right]_1^e=%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%(e)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.

%%=\left(\frac14e^2+e+\frac32\ln e\right)-\left(\frac141^2+1+\frac32\ln1\right)=%%

Klammern auflösen, %%\ln e=1%%, %%\ln1=0%%.

%%=\frac{e^2}4+e+\frac32-\frac14-1=%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

%%=\frac{e^2}4+e+\frac14=%%

%%\approx4,8155%%

%%\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v%%

Integriere

%%\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v=%%

%%=\left[\frac13\cdot v^3\right]_{-2}^{+2}%%

In die Klammer wird für %%v%% der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.

%%=\left(\frac13\cdot2^3\right)-\left(\frac13\cdot\left(-2\right)^3\right)%%

Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.

%%=\frac83+\frac83%%

%%=\frac{16}3%%

%%\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t%%

Integriere

%%\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t=%%

%%=\left[\frac13t^3\right]_2^3%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.

%%=\left(\frac13\cdot3^3\right)-\left(\frac13\cdot2^3\right)%%

Klammern auflösen.

%%=\frac{27}3-\frac83%%

%%=\frac{19}3%%

%%\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x%%

Integriere

%%\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac13x^3\right]_2^3%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.

%%=\left(\frac13\cdot3^3\right)-\left(\frac13\cdot2^3\right)%%

Klammern auflösen.

%%=\frac{27}3-\frac83%%

%%=\frac{19}3%%

%%\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x%%

Integriere

%%\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac12x^2-\frac13x^3\right]_0^1%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

%%=\left(\frac12\cdot1^2-\frac13\cdot1^3\right)-\left(\frac12\cdot0^2-\frac13\cdot0^3\right)%%

Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.

%%=\frac12-\frac13%%

%%=\frac16%%

%%\int_0^2x\ \mathrm{d}x%%

%%\int_1^3x\ \mathrm{d}x%%

Integriere

%%\int_1^3x\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac{x^2}2\right]_1^3%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

%%=\frac{3^2}2-\frac{1^2}2%%

Zähler berechnen.

%%=\frac92-\frac12%%

%%=\frac82=4%%

%%\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x%%

Integriere

%%\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x%%

%%=\left[-\frac{x^2}2\right]_{-2}^0%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.

%%=\left(-\frac{0^2}{2}\right)-\left(-\frac{(-2)^2}{2}\right)=%%

%%=\frac42=2%%

%%\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x%%

Integriere

%%\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac{x^3}3+\frac{x^2}2\right]_0^1%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

%%=\left(\frac{1^3}3+\frac{1^2}2\right)-\left(\frac{0^3}3+\frac{0^2}2\right)%%

%%=\frac13+\frac12%%

Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.

%%=\frac26+\frac36=\frac56%%

%%\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac13x^3\right]_1^2%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

%%=\frac13\cdot2^3-\frac13\cdot1^3%%

%%=\frac83-\frac13%%

%%=\frac73%%

%%\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x%%

%%=\left[\frac13x^3\right]_{-2}^{-1}%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.

%%=\frac13\cdot\left(-1\right)^3-\frac13\cdot\left(-2\right)^3%%

Potenzen berechen.

%%=-\frac13+\frac83%%

%%=\frac73%%

%%\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac13x^3\right]_{-2}^2%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.

%%=\frac13\cdot2^3-\frac13\cdot\left(-2\right)^3%%

Potenzen berechen.

%%=\frac83+\frac83%%

%%=\frac{16}3%%

%%\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[-\cos x\right]_0^\frac{\mathrm\pi}2%%

In die Klammer wird für x der rechte Wert %%\left(\frac{\mathrm\pi}2\right)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (0) gerechnet.

%%=-\cos\frac{\mathrm\pi}2+\cos0%%

Kosinus im Bogenmaß berechnen.

%%=0+1=1%%

%%\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\sin x\right]_0^\frac{\mathrm\pi}2%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%\left(\frac{\pi}{2}\right)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

%%=\sin\frac{\mathrm\pi}2-\sin0=%%

Kosinus im Bogenmaß berechnen.

%%=1+0=1%%

%%\int_{732}^{2000}1\ \mathrm{d}x%%

Integrieren

%%\int_{732}^{2000}1\mathrm{dx}=%%

Integrieren. (Könnte auch als %%\int_{732}^{2000}\mathrm{dx}%% geschrieben werden.)

%%=\left[x\right]_{732}^{2000}%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.

%%=2000-732=1268%%

%%\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x%%

Integriere

%%\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac13x^3+\frac12x^2\right]_1^2%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

%%=\left(\frac13\cdot2^3+\frac12\cdot2^2\right)-\left(\frac13\cdot1^3+\frac12\cdot1^2\right)%%

%%=\frac83+\frac42-\left(\frac13+\frac12\right)%%

Hauptnenner bilden.

%%=\frac83+\frac63-\left(\frac26+\frac36\right)%%

%%=\frac{14}3-\frac56%%

Hauptnenner bilden.

%%=\frac{28}6-\frac56%%

%%=\frac{23}6%%

%%\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x%%

Integriere

%%\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x%%

%%=\left[\frac13x^3+\frac12x^2\right]_0^2%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

%%=\left(\frac13\cdot2^3+\frac12\cdot2^2\right)-\left(\frac13\cdot0^3+\frac12\cdot0^2\right)%%

%%=\frac83+\frac42%%

Hauptnenner bilden.

%%=\frac{16}{6}+\frac{12}{6}%%

%%=\frac{28}6=\frac{14}{3}%%

%%\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x%%

Integriere

  %%\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x%% =

 %%f (x)%% ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da %%f(x)=f( -x)%%:

%%f(-x)=5\cdot\left(-x\right)^4-3\left(-x\right)^2-7=5x^4-3x^2-7=f(x)%% , weil der Exponent eine gerade Zahl ist

%%\Rightarrow%% Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1

%%=2\cdot\int_{-1}^0\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x=%%

Stammfunktion bilden

%%=2\cdot\left[x^5-x^3-7x\right]_{-1}^0%%

0 und -1 einsetzen

%%=2\cdot\left[0^5-0^3-7\cdot0-\left(\left(-1\right)^5-\left(-1\right)^3-7\cdot\left(-1\right)\right)\right]=%%

 

%%=2\cdot\left(-\left(-1+1+7\right)\right)=2\cdot(-7)=-14%%