Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

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$$\mathbb{D}=?$$

Logarithmus aus negativen Zahlen oder Null ist in %%\mathbb{R}%% nicht definiert. Um die Definitionsmenge der ln-Funktion zu ermitteln, setze den Term in der Klammer gleich Null bzw berechne wann er größer oder gleich Null ist.

%%2013-x>0%%

$$\left|+x\right.$$

%%2013>x%%

$$\mathbb{D}=\rbrack-\infty;2013\lbrack$$

$$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=?$$

Nach %%\mathbb{D}%% musst du den Grenzwert gegen %%+\infty%% nicht untersuchen. Denn der Wert in der Klammer würde wegen %%-x%% gegen %%-\infty%% gehen.

Bestimme den Grenzwert gegen %%-\infty%%.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\ln\underbrace{\left(2013-x\right)}_{+\infty}=+\infty$$

Bestimme den Grenzwert gegen die Asymptote 2013.

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Die zweite Ableitung

Für die Lösung dieser Aufgabe, solltest du die Produktregel beherrschen und die Krümmung eines Funktionsgraphen bestimmen können.

Zunächst bestimmen wir die 1. Ableitung der Funktion f. Wobei f gegeben ist durch %%f:\;x\;\mapsto x\;\cdot\;\sin x%%.

%%f'(x)\;=\;\lbrack x\;\cdot\;\sin x\rbrack'\;=%%

Im ersten Schritt wendest du die Produktregel an.

%%=\;1\;\cdot\;\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x=%%

Nun vereinfachst du.

%%=\;\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x\;%%

Folglich lautet die erste Ableitung von f: %%\;f'(x)\;=\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x%%

Nun bestimmst du die 2. Ableitung.

%%f''(x)\;=\;\lbrack\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x\rbrack'\;=%%

Wende die Produktregel an.

%%=\;\cos x\;+\;1\;\cdot\;(\cos x)\;+\;x\;\cdot\;(-\sin x)\;=%%

Vereinfache.

%%\;=\cos x\;+\;\cos x\;-\;x\;\cdot\;\sin x\;=%%

Fasse die beiden cos(x) zusammen.

%%\;=2\;\cdot\;cosx\;-\;x\;\cdot\;\sin x\;%%

Somit lautet die zweite Ableitung %%\;f''(x)\;=\:2\;\cdot\;\cos x\;-\;x\;\cdot\;\sin x%%

Nun bestimmst du noch %%f''(0)%%, indem du %%0%% in die zweite Ableitung einsetzt.

%%f''(0)\;=\;2\;\cdot\;\cos(0)\;-\;0\;\cdot\;\sin(0)\;=%%

Rechne den Sinus und den Cosinus um.

%%=\;2\;\cdot\;1\;-\;0\;=%%

Berechne.

%%=\;2%%

Im letzten Schritt gibst du das Krümmungsverhalten des Graphen von f in der Nähe des Koordinatenursprungs an.

Da %%f''(0)\;=\;2\;%% und %%f''(x)\;=\:2\;>\;0%% ist f in der unmittelbaren Umgebung von %%0%% linksgekrümmt.

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Teilaufgabe a)

schnittpunkt zweier Graphen

Teilaufgabe b)

Diese Aufgabenstellung sieht zur Bestimmung des Schnittpunktes das Newton-Verfahren vor.

In der Aufgabenstellung ist die Funktion %%d(x)\;=\;g(x)\;-\;h(x)%% und der Startwert %%x_0=1\;%% gegeben.

%%d(x)\;=g(x)\;-\;h(x)=\;e^{-x}\;-\;x^3\;%%

mit der Ableitung %%\;d'(x)\;=\:-\;e^{-x}\;-\;3x^2%%

Nun beginnen wir mit der Interation, indem wir den Startwert einsetzen:

%%x_1\;=\;x_0\;-\frac{d(x_0)}{d'(x_0)}\;=%%

Im ersten Schritt setzt du den Startwert %%x_0%%, die Funktion %%d(x_0)%% und die Ableitung am Startwert %%d'(x_0)%% ein.

%%1\;-\;\frac{e^{-1}-\;1^3}{-e^{-1}-\;3\;\cdot\;1^2} =%%

Nun vereinfachst du alle Potenzen.

%%1\;-\;\frac{{\displaystyle e^{-1}}-\;1}{-{\displaystyle e^{-1}}-\;3\;}=%%

Ziehe %%(-1)\;%% aus dem Nenner heraus.

%%1+\frac{{\displaystyle e^{-1}}-1}{e^{-1}+3}%%

Runde das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners.

%%\Rightarrow x_1\approx\;0,8123%%

%%x_2=x_1-\frac{d(x_1)}{d'(x_1)}= 0,8123-\frac{e^{-0,8123}-(0,8123)^3}{-e^{-0,8123}-3\cdot0,8123^2}\approx0,7743%%

%%x_3\;=0,7743-\frac{e^{-0,7743}-(0,7743)^3}{-e^{-0,7743}-3\cdot0,7743^2}\;\approx0,7729%%

Wir haben nun die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt. Die Nullstelle hat näherungsweise die Koordinaten %%(0,77/0)%%.

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Teilaufgabe a)

Bei dieser Teilaufgabe solltest du wissen was eine Integralfunktion ist und wie man sie berechnet.

%%F(0)=\int_0^xf(t)\;\operatorname dt\;=\int_0^0f(t)\operatorname dt = 0%%

%%\Rightarrow\;F(0)=0%% anschaulich können wir das Ergebnis so bestätigen, dass sich keine Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse befindet, da die obere Integralgrenze mit der unteren Integralgrenze übereinstimmt. Unsere Integralfunktion hat bei 0 eine Nullstelle.

%%F(2)=\int_0^2f(t)\;\operatorname dt\;=\:\frac12\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\;=\:\frac12\cdot\mathrm\pi\;\cdot1\;=\;\frac{\mathrm\pi}2%%

Der Flächeninhalt zwischen der Funktion %%f(t)%% und der x-Achse von %%0%% bis %%2%% entspricht dem Flächeninhalt eines Halbkreises. Also ist der Wert der Integralfunktion %%F(2)=\frac{\mathrm\pi}2%%.

%%F(-2)=\;\int_0^{-2}f(t)\operatorname dt=\lbrack F(t)\rbrack_0^{-2}\;=\:F(-2)\;-F(0)=\;-\;\frac12\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=-\frac12\mathrm\pi\cdot1^2\;=\:-\frac{\mathrm\pi}2%%

Der Flächeninhalt zwischen der Funktion %%f(t)%% und der x-Achse von %%-2%% bis %%0%% entspricht dem Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius %%1%%. Jedoch musst du auf das Vorueichen achten. Die obere Integralgrenze %%-2%% liegt auf dem Zahlenstrahl links von der unteren Integralgrenze %%0%%. Deshalb hast du eine negatives Vorzeichen im Ergebnis.

Teilaufgabe b)

Für die Teilaufgabe b) nutzt du die Ergebnisse aus Teilaufgabe a). Dafür zeichnest du die Punkte %%A(-2|-\frac{\mathrm\pi}2)%% und %%B(0|0)%% und %%C(2\vert\frac{\mathrm\pi}2)%% in die Abbildung ein und verbindest die Punkte durch die Strecke %%[AC]%%.

integralfunktion

Teil 2
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