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Aufgaben

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Teilaufgabe a)

Aus der Angabe können folgende Werte entnommen werden:

%%P(J)=12\%=0,12%%

%%P(K)=44\%=0,44%%

%%P(\overline K\cap J)=\frac{1}{7}\cdot P(\overline K)%%

Berechne zunächst %%P(\overline K)%% und %%P(\overline J)%%.

%%P(\overline K) = 1-P(K)=1-0,44=0,56%%

%%P(\overline J) = 1-P(J)=1-0,12=0,88%%

%%\Rightarrow P(\overline K \cap J)=\frac{1}{7}\cdot 0,56 = 0,08%%

Nun kannst du die restlichen Werte berechnen und die Ergebnisse in eine Vierfeldertafel eintragen.

%%P(\overline K \cap \overline J)=P(\overline K) - P(K \cap \overline J) = 0,56-0,08=0,48%%

%%P(K \cap \overline J)=P(\overline J) - P(\overline K \cap \overline J) = 0,88-0,48=0,40%%

%%P(K \cap J)=P(K) - P(K \cap \overline J) = 0,44-0,40=0,04%%

%%K%%

%%\overline K%%

%%J%%

%%0,04%%

%%0,08%%

%%0,12%%

%%\overline J%%

%%0,40%%

%%0,48%%

%%0,88%%

%%0,44%%

%%0,56%%

%%1%%

Teilaufgabe b)

Berechne mit Hilfe der Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und der bedingten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit %%P_J(\overline K)%%:

%%P_J(\overline K)=\dfrac{P(J \cap \overline K)}{P(J)}=%%

Setze die Werte ein und vereinfache.

%%=\frac{0,08}{0,12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\approx 0,67%%

Berechne nun die Wahrscheinlichkeit %%P_{\overline J}(\overline K)%%.

%%P_{\overline J}(\overline K)=\dfrac{P(\overline J \cap \overline K)}{P(\overline J)}=%%

Setze die Werte ein und vereinfache.

%%=\frac{0,48}{0,88}=\frac{12}{22}=\frac{6}{11}\approx 0,54%%

Damit folgt die behauptete Ungleichung %%P_J(\overline K) > P_{\overline J}(\overline K)%%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass wenn ein beliebiger Jungwähler angesprochen wird sich dieser noch nicht für einen Kandidaten entschieden hat ist also höher als wenn ein älterer Wähler angesprochen wird. Trotzdem ist es nicht sinnvoll sich im Wahlkampf hauptsächlich auf Jungwähler zu konzentrieren, da ihr Anteil nur %%P(J \cap \overline K)=0,08=8\% %% ist, während der Anteil der unentschlossenen älteren Wähler %%P(\overline J \cap \overline K)=0,48=48\% %% ist.

Teilaufgabe c)

Es werden insgesamt 48 Wahlberechtige angesprochen. Bezeichne mit %%\mathrm X%% die Anzahl der angesprochenen Jungwähler. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 Jungwähler angesprochen werden, kann somit mithilfe der Binomialverteilung bestimmt werden, wobei n=48 und p=0,12.

%%P(\mathrm X=6)=B(48;0,12;6)=\binom{48}{6}\cdot 0,12^6\cdot 0,88^{48-6}%%

Rechne aus.

%%=\binom{48}{6}\cdot 0,12^{6} \cdot 0,88^{42}\approx0,171=17,1\% %%

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also 17,1%.

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Teilaufgabe a)

Gegeben ist die Nullhypothese %%H_0: \mathrm{p\leq 0,5}%% bei einer Stichprobe von n=200. Entsprechend ist die Gegenhypothese %%H_1: p \geq 0,5%%. Die Nullhypothese wird somit bei allen Ergebnissen die kleiner gleich als der Wert k sind, den die Entscheidungsregel angibt angenommen und bei allen Werten die größer als k sind verworfen. Es wird auf einem Signifianzniveau von 5% getestet, dies bedeutet, dass der Fehler 1.Art kleiner gleich als 5% sein soll. Bezeichne mit %%\mathrm X%% die Anzahl der Befragten, die angeben für den Kandidat von Partei A zu stimmen. Die Angaben sind in der folgenden Tabelle nochmal in übersichtlicher Form dargestellt:

%%H_0%% wird angenommen

%%H_1%% wird angenommen(%%H_0%% wird verworfen)

%%0 \dots k%%

%%k+1 \dots 200%%

%%H_0: p\leq 0,5%%

%%Fehler \;1.Art \;\leq 0,05%%

%%H_1: p> 0,5%%

Bestimme nun die Entscheidungsregel. Schreibe dazu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1.Art als Gleichung:

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm{X}> k)\leq 0,05%%

Schreibe die Wahrscheinlichkeit in Form des Gegenereignisses, sodass die Wahrscheinlichkeit aus dem Tafelwerk der Stochastik abgelesen werden kann.

%%1-\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq k) \leq 0,05%%

Stelle die Gleichung um.

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq k)\geq 0,95%%

Bestimme den kleinsten k-Wert, sodass die Wahrscheinlichkeit gerade noch über 0,95 liegt.

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq 111)= 0,94947%%

%%\mathrm P_{0,5}^{200}(\mathrm X \leq 112)= 0,96158%%

%%\Rightarrow k=112%%

Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt: Bei 112 oder weniger Befragten, die den Kandidat von Partei A wählen, wird die Nullhypothese angenommen, bei 113 oder mehr wird sie verworfen.

Teilaufgabe b)

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Teilaufgabe a)

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für 1 bzw. 2 Frauen im Stadtrat, indem du die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten teilst:

%%P(X=1)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{1}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{2}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}%%

%%P(X=2)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{2}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{1}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}%%

Teilaufgabe b)

Bestimme den Erwartungswert:

%%\mathrm{E(X)=\sum_{k \in \Omega} k \cdot P(X=k)}=%%

Setze die Werte aus Teilaufgabe a) ein.

%%=0 \cdot \frac{1}{55}+ 1 \cdot \frac{12}{55}+2 \cdot \frac{28}{55} + 3 \cdot \frac{14}{55}=%%

Schreibe auf einen Bruch.

%%=\frac{12+56+42}{55}=\frac{110}{55}=2%%

Bestimme die Varianz:

%%V(X)=E((X-E(X))^2)=%%

Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und den Erwartungswert ein.

%%=\frac{1}{55}(0-2)^2+\frac{12}{55}(1-2)^2+\frac{28}{55}(2-2)^2+\frac{14}{55}(3-2)^2=%%

Rechne aus.

%%=\frac{4}{55}+\frac{12}{55}+\frac{14}{55}=%%

Schreibe auf einen Bruch und vereinfache.

%%=\frac{30}{55}=\frac{6}{11}%%

Teilaufgabe c)

Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich über die Formel %%E(X)=n\cdot p%% berechnen. Also gilt für die Zufallsgröße Y:

%%E(Y)=n\cdot p = 3 \cdot \frac23 = 2%%

Die Varianz berechnet sich über die Formel %%V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)%%. Also gilt für die Zufallsgröße Y:

%%V(Y)=n\cdot p \cdot (1-p)=3 \cdot \frac23 \cdot \frac13 = \frac23%%

Vergleiche die Varianz von X und Y durch Bildung des Hauptnenners. Dann folgt:

%%V(Y)=\frac23=\frac{22}{33}>\frac{18}{33}=\frac{6}{11}=V(X)%%

Man kann dies auch anhand der Abbildungen erkennen. Die Zufallsgröße Y nimmt die Werte 0,1 und 3 jeweils mit größerer Wahrscheinlichkeit als die Zufallsgröße X an, d.h. bei der Zufallsgröße Y ist die Abweichung vom Erwartungswert 2 größer als bei der Zufallsgröße X. X nimmt hingegen den Erwartungswert 2 mit höherer Wahrscheinlichkeit als Y an.

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