Aufgaben
Wähle die richtige Antwort aus.
In welchem Bild ist der Radius rot markiert?









Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius

  1. Informiere dich genau über die Begriffe: Umfang, Durchmesser, Radius.
  2. Sobald du die Definitionen kennst, weißt du die Antwort.



Der Radius ist die Länge einer Strecke vom Mittelpunkt MM bis zum Rand des Kreises.
Kreis Kreisbegriff
Wie berechnet man den Flächeninhalt AA von einem Kreis mit Radius rr?
A=πr2A=\pi \cdot r^2
A=π2rA=\pi^2 \cdot r
A=r2πA=\dfrac{r}{2}\cdot \pi
A=2πrA = 2\cdot \pi \cdot r

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius

Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.



Die richtige Antwort ist A=πr2A=\pi \cdot r^2. Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit r=1 cmr=1\text{ cm}. Dann erhältst du A=π1 cm23,14 cm2A=\pi \cdot 1 \text{ cm}^2 \approx 3,14 \text{ cm}^2. In den anderen Formeln kommt der Radius rr ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.
Welche Formel stimmt? (Mit AA ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)
Kreis Kreisbegriffe
A=Ur2A =\dfrac{U\cdot r}{2}
A=πrA=\dfrac{\pi}{r}
r=2dr=2 \cdot d
U=πrU=\pi \cdot r

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formeln zum Kreis

Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.



Die richtige Antwort ist A=Ur2A=\dfrac{U\cdot r}{2}.
Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang U=2πrU=2 \cdot \pi \cdot r einsetzen.
A=Ur2=2πrr2A=\dfrac{U\cdot r}{2} =\dfrac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot r}{2}
Kürze den Bruch.
A=πrr=πr2A=\pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2
Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel A=Ur2A=\frac{U \cdot r}{2} richtig.

Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?

Falsch. Das hier hat keinen besonderen Namen.

Leider falsch. Das ist ein Kreissektor.

Falsch. Das ist ein Kreisbogen.

Richtig. Gut gemacht!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

Benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.



Ein Kreissegment ist im nebenstehenden Bild zu sehen.
Kreisteile
Die Grundbegriffe zum Kreis musst du auswendig können.
Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
Kreissektor  mit Mittelpunktswinkel

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel für die Berechnung der Kreissektorfläche

A=r2πα360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Rechne anschließend den Term aus:

A=r2πα360°=102π25°360°=100π57221,82\displaystyle \begin{array}{rl}A&= r^2\cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360°}\\&=10^2\cdot \pi \cdot \frac{25°}{360°}\\&=100\cdot \pi \cdot \frac{5}{72}\\&\approx 21,82\end{array}

Kreissektor mit Bogenlänge

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors

ASektor=br2\displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2
Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
ASektor=br2=5,8262=17,46  \displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{5,82\cdot6}2=17,46\;
Kreissektor mit Mittelpunktswinkel

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors

A=r2πα360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
A=r2πα360=82π60360\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=8^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}
Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
=  64π1633,51\displaystyle =\;64\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{1}{6}\approx33,51
Kreissektor mit Mittelpunktswinkel und Bogenlänge
Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von 20m220\:m^2.
Wie groß ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ=40\varphi=40^\circ und dem gesuchten Radius r.
r2πφ360=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm\varphi}{360^\circ}=20\;m^2
Setze den Wert φ=40\varphi = 40^\circ in die Formel ein.
r2π40360=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm40^\circ}{360^\circ}=20\;m^2
Kürze die Winkel
r2π9=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi}{9}=20\;m^2
Löse die Gleichung nach r auf.
r=180  m2π=180πm7,57 mr=\sqrt{\dfrac{180\;m^2}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{180}{\pi}}m \approx 7,57\ m
Der Rasensprenger reicht also 7,57m7,57\,\text{m} weit.
In einem Kreis mit Radius  r=5cmr=5\mathrm{cm} ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel φ=45\varphi=45^\circ eingezeichnet.
Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
r=5 cmr=5\text{ cm}
φ=45\varphi=45^\circ
Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.
b=π5cm45180=54πcm3,93cmb=\pi\cdot5\text{cm}\cdot\frac{45^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{5}{4}\pi\text{cm}\approx3,93\text{cm}
Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.
Aks=125cm54πcm=258πcm29,82cm2A_{ks}=\frac{1}{2}\cdot5\text{cm}\cdot\frac{5}{4}\pi\text{cm}=\frac{25}{8}\pi\text{cm}^2\approx9,82\text{cm}^2

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 1,20 m. Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils 50 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

 

  1. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

  2. Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens 15 cm überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

 

 

Breite

Länge

Tischdecke A

140 cm

260 cm

Tischdecke B

150 cm

250 cm

Tischdecke C

160 cm

240 cm

Teilaufgabe 1

Berechnungen am Kreis

%%U_{vergrößerte\;Tischplatte}=2\cdot r\cdot\pi+2\cdot2\cdot b%%

Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite %%b%% der zwei gleichen Rechtecke zusammen.

%%=\;2\cdot0,6\cdot\mathrm\pi+4\cdot0,5%%

%%\approx5,77\;m%%

 

%%A_{vergrößerte\;Tischplatte}=\;r^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(b\cdot l\right)%%

Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge %%l%% der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.

%%=\;0,6^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(0,5\cdot1,2\right)%%

 

%%=2,33\;m^2%%

 

Teilaufgabe 2

Tischdecke A

 

Damit die Tischdecke an allen Seiten %%15cm%% übersteht, muss sie um %%30cm%% länger und breiter sein, als der Tisch.

%%b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm%%

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

%%140cm-120cm=20cm%%

 

%%20cm\leq30\;cm%%

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten %%30cm%%.

%%\Rightarrow%% Also fällt Tischdecke A weg.

 

Tischdecke B

 

%%150cm-120cm\;=30\;cm%%

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

%%30cm\geq30cm%%

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

%%l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30cm%%

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

%%250cm-\left(2\cdot60cm+2\cdot50cm\right)=%%

 

%%250cm-220cm\geq30cm%%

 

%%30cm=30cm%%

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um %%30cm%% über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als %%30cm%% über, da der Tisch abgerundet ist.
%%\Rightarrow%% Dass heißt: Tischdecke B ist ideal. 

Prüfe Tischdecke C

 

Zuerst wird die Breite überprüft.

%%160cm-120cm\geq30cm%%

%%40cm\geq30cm%%

%%\Rightarrow%% Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

%%240cm-220cm\geq30cm%%

 

%%20cm\leq30cm%%

%%\Rightarrow%% Jedoch ist sie nicht lang genug, um %%30cm%% über zu stehen.

%%\Rightarrow%% Deshalb ist auch C nicht geeignet. 

A: Tischdecke B eignet sich.

Berechne von den folgenden geometrischen Körpern/Figuren den Radius rr.
Ein Kreis hat den Umfang U=6,283 cmU=6,283 \text{ cm}. Berechne den Radius rr. Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau.
Ein Kreis hat die Fläche A=7,35 m2A=7,35 \text{ m}^2. Berechne den Radius rr in cm\text{cm}, runde dabei auf ganze cm\text{cm}!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius


  1. Stelle die richtige Formel für die Berechnung des Radius' bereit.
  2. Die Fläche ist ja gegeben - das heißt, du musst nach r umstellen.
  3. Setze ein und berechne.
  4. Vergiss nicht auf ganze cm umzuformen!



gegeben: A=7,35 m2A=7,35 \text{ m}^2
gesucht: rr in cm\text{cm}
Um den Radius zu berechnen, wenn die Fläche gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach rr um.
A=πr2A=\pi r^2
:π\mid :\pi
Aπ=r2\dfrac{A}{\pi}=r^2
Ziehe die Wurzel.
±Aπ=r\pm \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}=r
Der Radius kann nur positiv sein. Daher kannst du das negtive Ergebnis ignorieren.
r=Aπr=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}
Setze den Wert für die Fläche AA ein.
r=7,35 m2πr=\sqrt{\dfrac{7,35 \text{ m}^2}{\pi}}
Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
r1,53 mr\approx1,53 \text{ m}
Rechne in cm\text{cm} um.
r153 cmr\approx 153 \text{ cm}

Bei einem Kreisring beträgt der Außenradius 10 cm. Stelle einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A des Kreisrings in Abhängigkeit vom Innenradius r beschreibt. Welche Werte für r ergeben eine sinnvolle Einsetzung?

In dieser Aufgabe geht es um hauptsächlich im die Berechnung des Kreissektors.

r=20cm

%%\varphi%% =108°

ges: %%A_{Segment}%%

Zunächst den Flächeninhalt des Kreissektors berechnen.

%%A_{Kreissektor}=\left(20\text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot\frac{108^\circ}{360^\circ}%%

%%=400cm^2\cdot\pi\cdot\frac3{10}=377\text{cm}^2%%

Die Höhe h berechnen, indem man das geteilte, rechtwinklige Dreieck betrachtet und den Cosinus anwendet.

%%\cos\left(\frac\varphi2\right)=\frac hr%%

%%\mid\cdot r%%

Die Gleichung nach h umstellen.

%%h=\cos\left(54^\circ\right)\cdot20cm=11,8\text{cm}%%

Jetzt mit dem Satz von Pythagoras %%\frac s2%% berechnen.

%%h^2+\left(\frac s2\right)^2=r^2%%

%%\mid -h^2%%

Nach %%\left(\frac s2\right)^2%% umstellen.

%%\left(\frac s2\right)^2=r^2-h^2%%

Werte einsetzen.

%%=400\text{cm}^2-139,24\text{cm}^2%%

Subtrahieren und die Wurzel ziehen.

%%\frac s2=16,1\text{cm}%%

s berechnen, indem man %%\frac s2%% mit 2 multipliziert.

%%s=16,1\text{cm}\cdot2=32,2\text{cm}%%

Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, dessen Seiten r, r und s sind.

%%A_{Dreieck}=\frac12\cdot s\cdot h%%

Werte einsetzen.

%%=\frac12\cdot32,2\text{cm}\cdot11,8\text{cm}=190\text{cm}^2%%

Den Flächeninhalt des Dreiecks von dem, des Kreissektors subtrahieren.

%%A_{Segment}=A_{Kreissektor}-A_{Dreieck}%%

%%=377\text{cm}^2-190\text{cm}^2=187\text{cm}^2%%

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