Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

1
Wähle die richtige Antwort aus.
1. In welchem Bild ist der Radius rot markiert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
  Der Radius ist die Länge einer Strecke vom Mittelpunkt $M$ bis zum Rand des Kreises.
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  Informiere dich genau über die Begriffe: Umfang, Durchmesser, Radius.
  Sobald du die Definitionen kennst, weißt du die Antwort.
2. Wie berechnet man den Flächeninhalt $A$ von einem Kreis mit Radius $r$ ?
  $A=\pi \cdot r^2$
  $A=\pi^2 \cdot r$
  $A=\dfrac{r}{2}\cdot \pi$
  $A = 2\cdot \pi \cdot r$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
  Die richtige Antwort ist $A=\pi \cdot r^2$ . Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit $r=1\text{ cm}$ . Dann erhältst du $A=\pi \cdot 1 \text{ cm}^2 \approx 3{,}14 \text{ cm}^2$ . In den anderen Formeln kommt der Radius $r$ ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.
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  Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
3. Welche Formel stimmt? (Mit $A$ ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)
  $A =\dfrac{U\cdot r}{2}$
  $A=\dfrac{\pi}{r}$
  $r=2 \cdot d$
  $U=\pi \cdot r$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formeln zum Kreis
  Die richtige Antwort ist $A=\dfrac{U\cdot r}{2}$ .
  Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang $U=2 \cdot \pi \cdot r$ einsetzen.
  $A=\dfrac{U\cdot r}{2} =\dfrac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot r}{2}$
  Kürze den Bruch.
  $A=\pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2$
  Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel $A=\frac{U \cdot r}{2}$ richtig.
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  Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
4. Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  
  Ein Kreissegment ist im nebenstehenden Bild zu sehen.
  Die Grundbegriffe zum Kreis musst du auswendig können.
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  Benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
2
Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel für die Berechnung der Kreissektorfläche
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Rechne anschließend den Term aus:
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
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4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel
  Benutze die Formel, in der $\alpha$ und $r$ vorkommen:
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  Berechne.
  2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens
  Benutze die Formel, in der $b$ und $r$ vorkommen:
  Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebnis kommt vom Runden der Länge des Kreisbogens.
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3
Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von $20\:m^2$ .
Wie groß ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
Quelle: Sebastian & Kari, CC BY-SA 2.0, Wikimedia Commons
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $\varphi=40^\circ$ und dem gesuchten Radius r.
$\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm\varphi}{360^\circ}=20\;m^2$
Setze den Wert $\varphi = 40^\circ$ in die Formel ein.
$\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm40^\circ}{360^\circ}=20\;m^2$
Kürze die Winkel
$\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi}{9}=20\;m^2$
Löse die Gleichung nach r auf.
$r=\sqrt{\dfrac{180\;m^2}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{180}{\pi}}m \approx 7{,}57\ m$
Der Rasensprenger reicht also $7{,}57\,\text{m}$ weit.
4
Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich auch der Umfang.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Umfang.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.
$U_1=2\cdot r_1\cdot\pi$
Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:
$U_2=2\cdot r_2\cdot\pi$
$r_1$ wird um den neuen Umfang $U_2$ zu erhalten vervielfacht: $r_2=n\cdot r_1$ . Setze ein.
$U_2=2\cdot\left(r_1\cdot n\right)\cdot\pi=n\cdot2\cdot r_1\cdot\pi$
Benutze $2\cdot r_1\cdot\pi=U_1$ um den Ausdruck zu vereinfachen.
$U_2=n\cdot U_1$
$\Rightarrow$ Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor $n$ .
Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.
Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.
$A_1=r_1^2\pi$
Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:
$A_2=r_2^2\pi$
$r_1$ wird um den neuen Flächeinhalt $A_2$ zu erhalten vervielfacht: $r_2=n\cdot r_1$
$A_2=\left(n\cdot r_1\right)^2\pi=n^2\cdot r_1^2\cdot\pi$
Benutze $r_1^2\pi=A_1$ , um den Zusammenhang zu vereinfachen.
$A_2=n^2\cdot{A}_1$
$\Rightarrow$ Multipliziert man den Radius $r$ mit $n$ , so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit $n^2$ vervielfacht. Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.

In einem Kreis mit Radius $r=5\mathrm{\cm}$ ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel $\varphi=45^\circ$ eingezeichnet.

Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

6
Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A und den Umfang U eines Viertelkreises in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang, Kreisfläche
Achtung: Zum Umfang eines Kreissektors wie einem Viertelkreis gehört nicht nur der Kreisbogen, sondern auch die begrenzenden Radien.

Berechne von den folgenden geometrischen Körpern/Figuren den Radius $r$ .

Ein Kreis hat den Umfang $U=6{,}283 \text{ cm}$ . Berechne den Radius $r$ . Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau.

Ein Kreis hat die Fläche $A=7{,}35 \text{ m}^2$ . Berechne den Radius $r$ in $\text{cm}$ , runde dabei auf ganze $\text{cm}$ !

8
Bei einem Kreisring beträgt der Außenradius 10 cm. Stelle einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A des Kreisrings in Abhängigkeit vom Innenradius r beschreibt. Welche Werte für r ergeben eine sinnvolle Einsetzung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Ein Kreisring kann man sich vorstellen als einen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde, der denselben Mittelpunkt hat wie der große Kreis. Damit ist der Flächeninhalt:
$A=A_{Kreis}-A_{kleiner\;Kreis}$
Der Radius des größeren Kreises ist $R=10\text{ cm}$ .
$A=\pi\cdot R^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot10^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot\left(100-r^2\right)$
Es ist nur sinnvoll, dass der Radius des kleineren Kreises kleiner ist als der des größeren Kreises, d.h. $r\in$ ]0;10[ .

Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius $r=20cm$ und $\varphi = 108°$ . Runde deine Lösung auf ganze $\text{cm}^2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

r=20cm

$\varphi$ =108°

ges: $A_{Segment}$

Zunächst den Flächeninhalt des Kreissektors berechnen.

$A_{Kreissektor}=\left(20\text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot\frac{108^\circ}{360^\circ}$

$=400cm^2\cdot\pi\cdot\frac3{10}=377\text{cm}^2$

Die Höhe h berechnen, indem man das geteilte, rechtwinklige Dreieck betrachtet und den Cosinus anwendet.

$\displaystyle \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{r}$	$\displaystyle \cdot r$
	↓	Die Gleichung nach h umstellen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \cos\left(54^\circ\right)\cdot20cm=11{,}8\text{cm}$
	↓	Jetzt mit dem Satz von Pythagoras $\frac s2$ berechnen.
$\displaystyle h^2+\left(\frac s2\right)^2$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle -h^2$
	↓	Nach $\left(\frac s2\right)^2$ umstellen.
$\displaystyle \left(\frac s2\right)^2$	$=$	$\displaystyle r^2-h^2$
	↓	Werte einsetzen.
$\displaystyle \left(\frac s2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 400\text{cm}^2-139{,}24\text{cm}^2$
	↓	Subtrahieren und die Wurzel ziehen.
$\displaystyle \frac s2$	$=$	$\displaystyle 16{,}1\text{cm}$
	↓	s berechnen, indem man $\frac s2$ mit 2 multipliziert.
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 16{,}1\text{cm}\cdot2$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 32{,}2\text{cm}$

Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, dessen Seiten r, r und s sind.

$\displaystyle A_{Dreieck}$	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot s\cdot h$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot32{,}2\text{cm}\cdot11{,}8\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 190\text{cm}^2$

Den Flächeninhalt des Dreiecks vom Kreissektor subtrahieren.

$A_{Segment}=A_{Kreissektor}-A_{Dreieck}$

$=377\text{cm}^2-190\text{cm}^2=187\text{cm}^2$

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Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1{,}20\ m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50\ cm$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15\ cm$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$\mathbf{Breite}$	$\mathbf{Länge}$
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{A}$	140 cm	260 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{B}$	150 cm	250 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{C}$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Tischdecke A

Damit die Tischdecke an allen Seiten $15\ cm$ übersteht, muss sie um $30\ cm$ länger und breiter sein, als der Tisch.

$b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm$

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

$140\ cm-120\ cm=20\ cm$

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten $30\ cm$ .

$20~cm\leq30\;cm$

⇒ Also fällt Tischdecke A weg.

Tischdecke B

$150~cm-120~cm\;=30\;cm$

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

$30\ cm\ge30\ cm$

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

$l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30~cm$

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

$250\ cm-\left(2\cdot60\ cm+2\cdot50\ cm\right)=$ $250\ cm-220\ cm\ge30\ cm\$

$30\ cm=30\ cm$

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um $30\ cm$ über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als $30\ cm$ über, da der Tisch abgerundet ist. $\Rightarrow$ Das heißt: Tischdecke B ist ideal.

Prüfe Tischdecke C

Zuerst wird die Breite überprüft.

$160\ cm-120\ cm\ge30\ cm$

$40\ cm\ge30\ cm$

⇒ Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

$240\ cm-220\ cm\ge30\ cm$

$20\ cm\le30\ cm$

⇒ Jedoch ist sie nicht lang genug, um $30\ cm$ überzustehen.

$\Rightarrow$ Deshalb ist auch C nicht geeignet.

A: Tischdecke B eignet sich.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot r\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r=5\;\text{cm}$ und $\varphi =45^\circ$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot5\;\text{cm}\cdot\frac{45^\circ}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\pi\;\text{cm}$
	$≈$	$\displaystyle 3{,}93\;\text{cm}$

$\displaystyle A_S$	$=$	$\displaystyle \pi\cdot r^2\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r=5\;\text{cm}$ und $\varphi =45^\circ$ ein.
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot \left(5\;\text{cm}\right)^2\cdot\frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{8}\pi\;\text{cm}^2$
	$≈$	$\displaystyle 9{,}82\;\text{cm}^2$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2\pi r$	$\displaystyle :2\pi$
$\displaystyle \frac{U}{2\pi}$	$=$	$\displaystyle r$
	↓	Setze den Wert für den Umfang $U$ ein.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{6{,}283\text{ cm}}{2\pi}$
	↓	Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$\displaystyle r$	$≈$	$\displaystyle 1{,}000\text{ cm}$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \pi r^2$	$\displaystyle :\pi$
$\displaystyle \frac{A}{\pi}$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}}$	$=$	$\displaystyle r$
	↓	Der Radius kann nur positiv sein. Daher kannst du das negtive Ergebnis ignorieren.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
	↓	Setze den Wert für die Fläche $A$ ein.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{7{,}35\text{ m}^2}{\pi}}$
	↓	Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$\displaystyle r$	$≈$	$\displaystyle 1{,}53\text{ m}$
	↓	Rechne in $\text{cm}$ um.
$\displaystyle r$	$≈$	$\displaystyle 153\text{ cm}$

$\displaystyle U_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r\cdot \pi +2\cdot 2\cdot b$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0{,}6\cdot \mathrm{\pi }+4\cdot 0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 5{,}77\ \text{m}$

$\displaystyle A_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(b\cdot l\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(0{,}5\cdot 1{,}2\right)$
	$=$	$\displaystyle 2{,}33\ \text{m}^2$

Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

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1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel

2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens

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Tischdecke A

Tischdecke B

Prüfe Tischdecke C

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