Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

1
Wähle die richtige Antwort aus.
1. In welchem Bild ist der Radius rot markiert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
  Der Radius ist die Länge einer Strecke vom Mittelpunkt $M$ bis zum Rand des Kreises.
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  Informiere dich genau über die Begriffe: Umfang, Durchmesser, Radius.
  Sobald du die Definitionen kennst, weißt du die Antwort.
2. Wie berechnet man den Flächeninhalt $A$ von einem Kreis mit Radius $r$ ?
  $A = π \cdot r^{2}$
  $A = π^{2} \cdot r$
  $A = \frac{r}{2} \cdot π$
  $A = 2 \cdot π \cdot r$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
  Die richtige Antwort ist $A = π \cdot r^{2}$ . Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit $r = 1 cm$ . Dann erhältst du $A = π \cdot 1 {cm}^{2} \approx 3,14 {cm}^{2}$ . In den anderen Formeln kommt der Radius $r$ ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.
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  Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
3. Welche Formel stimmt? (Mit $A$ ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)
  $A = \frac{U \cdot r}{2}$
  $A = \frac{π}{r}$
  $r = 2 \cdot d$
  $U = π \cdot r$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formeln zum Kreis
  Die richtige Antwort ist $A = \frac{U \cdot r}{2}$ .
  Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang $U = 2 \cdot π \cdot r$ einsetzen.
  $A = \frac{U \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot π \cdot r \cdot r}{2}$
  Kürze den Bruch.
  $A = π \cdot r \cdot r = π \cdot r^{2}$
  Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel $A = \frac{U \cdot r}{2}$ richtig.
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  Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
4. Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  
  Ein Kreissegment ist im nebenstehenden Bild zu sehen.
  Die Grundbegriffe zum Kreis musst du auswendig können.
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  Benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
2
Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel für die Berechnung der Kreissektorfläche
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Rechne anschließend den Term aus:
  $\begin{aligned} A & = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} \\ = 10^{2} \cdot π \cdot \frac{25 °}{360 °} \\ = 100 \cdot π \cdot \frac{5}{72} \\ \approx 21,82 \end{aligned}$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2}$
  Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2} = \frac{5,82 \cdot 6}{2} = 17,46$
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}} = 8^{2} \cdot π \cdot \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}$
  Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
  $= 64 \cdot π \cdot \frac{1}{6} \approx 33,51$
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4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel
  Benutze die Formel, in der $α$ und $r$ vorkommen:
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}} = 8^{2} \cdot π \cdot \frac{125^{\circ}}{360^{\circ}}$
  Berechne.
  $= 64 \cdot π \cdot \frac{25}{72} \approx 69,81$
  2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens
  Benutze die Formel, in der $b$ und $r$ vorkommen:
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2}$
  Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2} = \frac{17,44 \cdot 8}{2} = 69,76$
  Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebnis kommt vom Runden der Länge des Kreisbogens.
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3
Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von $20 m^{2}$ .
Wie groß ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
Quelle: Sebastian & Kari, CC BY-SA 2.0, Wikimedia Commons
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 40^{\circ}$ und dem gesuchten Radius r.
$\frac{r^{2} \cdot π \cdot φ}{360^{\circ}} = 20 m^{2}$
Setze den Wert $φ = 40^{\circ}$ in die Formel ein.
$\frac{r^{2} \cdot π \cdot 40^{\circ}}{360^{\circ}} = 20 m^{2}$
Kürze die Winkel
$\frac{r^{2} \cdot π}{9} = 20 m^{2}$
Löse die Gleichung nach r auf.
$r = \sqrt{\frac{180 m^{2}}{π}} = \sqrt{\frac{180}{π}} m \approx 7,57 m$
Der Rasensprenger reicht also $7,57 m$ weit.
4
Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich auch der Umfang.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Umfang.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.
$U_{1} = 2 \cdot r_{1} \cdot π$
Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:
$U_{2} = 2 \cdot r_{2} \cdot π$
$r_{1}$ wird um den neuen Umfang $U_{2}$ zu erhalten vervielfacht: $r_{2} = n \cdot r_{1}$ . Setze ein.
$U_{2} = 2 \cdot (r_{1} \cdot n) \cdot π = n \cdot 2 \cdot r_{1} \cdot π$
Benutze $2 \cdot r_{1} \cdot π = U_{1}$ um den Ausdruck zu vereinfachen.
$U_{2} = n \cdot U_{1}$
$\Rightarrow$ Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor $n$ .
Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.
Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.
$A_{1} = r_{1}^{2} π$
Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:
$A_{2} = r_{2}^{2} π$
$r_{1}$ wird um den neuen Flächeinhalt $A_{2}$ zu erhalten vervielfacht: $r_{2} = n \cdot r_{1}$
$A_{2} = {(n \cdot r_{1})}^{2} π = n^{2} \cdot r_{1}^{2} \cdot π$
Benutze $r_{1}^{2} π = A_{1}$ , um den Zusammenhang zu vereinfachen.
$A_{2} = n^{2} \cdot A_{1}$
$\Rightarrow$ Multipliziert man den Radius $r$ mit $n$ , so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit $n^{2}$ vervielfacht. Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.
5
In einem Kreis mit Radius $r = 5 cm$ ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel $φ = 45^{\circ}$ eingezeichnet.
Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
$r = 5 cm$
$φ = 45^{\circ}$
Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.
$b$ $=$ $2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{5}{4} π cm$
$\approx$ $3,93 cm$
Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.
$A_{S}$ $=$ $π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
$\approx$ $9,82 {cm}^{2}$
Alternativ kann auch mit der Gleichung $A_{S} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot b$ gerechnet werden.
$A_{S} = \frac{1}{2} \cdot 5 cm \cdot \frac{5}{4} π cm = \frac{25}{8} π {cm}^{2} \approx 9,82 {cm}^{2}$
6
Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A und den Umfang U eines Viertelkreises in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang, Kreisfläche
$A = \frac{1}{4} \cdot A_{K r e i s} = \frac{1}{4} \cdot π r^{2} = \frac{π r^{2}}{4}$
$U = \frac{1}{4} \cdot U_{K r e i s} + r + r = \frac{2 π r}{4} + 2 r = \frac{π r}{2} + 2 r$
Achtung: Zum Umfang eines Kreissektors wie einem Viertelkreis gehört nicht nur der Kreisbogen, sondern auch die begrenzenden Radien.

Berechne von den folgenden geometrischen Körpern/Figuren den Radius $r$ .

Ein Kreis hat den Umfang $U = 6,283 cm$ . Berechne den Radius $r$ . Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius

gegeben: $U = 6,283 cm$
gesucht: $r$
Um den Radius zu berechnen, wenn der Umfang gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach $r$ um.
$U$ $=$ $2 π r$ $: 2 π$
$\frac{U}{2 π}$ $=$ $r$
↓
Setze den Wert für den Umfang $U$ ein.
$r$ $=$ $\frac{6,283 cm}{2 π}$
↓
Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$r$ $\approx$ $1,000 cm$
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Stelle die richtige Formel für die Berechnung des Radius' bereit.
Der Umfang ist ja gegeben - das heißt, du musst nach r umstellen.
Setze ein und berechne.
Runde dann am Ende auf drei Dezimalstellen.

Ein Kreis hat die Fläche $A = 7,35 m^{2}$ . Berechne den Radius $r$ in $cm$ , runde dabei auf ganze $cm$ !

8
Bei einem Kreisring beträgt der Außenradius 10 cm. Stelle einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A des Kreisrings in Abhängigkeit vom Innenradius r beschreibt. Welche Werte für r ergeben eine sinnvolle Einsetzung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Ein Kreisring kann man sich vorstellen als einen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde, der denselben Mittelpunkt hat wie der große Kreis. Damit ist der Flächeninhalt:
$A = A_{K r e i s} - A_{k l e i n e r K r e i s}$
Der Radius des größeren Kreises ist $R = 10 cm$ .
$A = π \cdot R^{2} - π \cdot r^{2} = π \cdot 10^{2} - π \cdot r^{2} = π \cdot (100 - r^{2})$
Es ist nur sinnvoll, dass der Radius des kleineren Kreises kleiner ist als der des größeren Kreises, d.h. $r \in$ ]0;10[ .

Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius $r = 20 c m$ und $φ = 108 °$ . Runde deine Lösung auf ganze ${cm}^{2}$ .

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1,20 m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50 c m$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite $b$ der zwei gleichen Rechtecke zusammen.
$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
$=$ $5,77 m$
Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge $l$ der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.
$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
$=$ ${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
$=$ $2,33 m^{2}$
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Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15 c m$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$𝐁 𝐫 𝐞 𝐢 𝐭 𝐞$	$𝐋 \ddot{𝐚} 𝐧 𝐠 𝐞$
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐀$	140 cm	260 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐁$	150 cm	250 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐂$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\cos (\frac{φ}{2})$	$=$	$\frac{h}{r}$	$\cdot r$
	↓	Die Gleichung nach h umstellen.
$h$	$=$	$\cos (54^{\circ}) \cdot 20 c m = 11,8 cm$
	↓	Jetzt mit dem Satz von Pythagoras $\frac{s}{2}$ berechnen.
$h^{2} + {(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$r^{2}$	$- h^{2}$
	↓	Nach ${(\frac{s}{2})}^{2}$ umstellen.
${(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$r^{2} - h^{2}$
	↓	Werte einsetzen.
${(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$400 {cm}^{2} - 139,24 {cm}^{2}$
	↓	Subtrahieren und die Wurzel ziehen.
$\frac{s}{2}$	$=$	$16,1 cm$
	↓	s berechnen, indem man $\frac{s}{2}$ mit 2 multipliziert.
$s$	$=$	$16,1 cm \cdot 2$
$s$	$=$	$32,2 cm$

$A_{D r e i e c k}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot s \cdot h$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 32,2 cm \cdot 11,8 cm$
	$=$	$190 {cm}^{2}$

$b$	$=$	$2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{5}{4} π cm$
	$\approx$	$3,93 cm$

$A_{S}$	$=$	$π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
	$\approx$	$9,82 {cm}^{2}$

$U$	$=$	$2 π r$	$: 2 π$
$\frac{U}{2 π}$	$=$	$r$
	↓	Setze den Wert für den Umfang $U$ ein.
$r$	$=$	$\frac{6,283 cm}{2 π}$
	↓	Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$r$	$\approx$	$1,000 cm$

$A$	$=$	$π r^{2}$	$: π$
$\frac{A}{π}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\pm \sqrt{\frac{A}{π}}$	$=$	$r$
	↓	Der Radius kann nur positiv sein. Daher kannst du das negtive Ergebnis ignorieren.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{A}{π}}$
	↓	Setze den Wert für die Fläche $A$ ein.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{7,35 m^{2}}{π}}$
	↓	Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$r$	$\approx$	$1,53 m$
	↓	Rechne in $cm$ um.
$r$	$\approx$	$153 cm$

$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
	$=$	$2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
	$=$	$5,77 m$

$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
	$=$	${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
	$=$	$2,33 m^{2}$

Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

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1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel

2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens

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Tischdecke A

Tischdecke B

Prüfe Tischdecke C

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