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Aufgaben

Die Eisdiele Abruzzo verkaufte an einem Samstag insgesamt 540 Kugeln Eis. Sie bietet die Sorten Schokolade, Vanille, Zitrone und Erdbeere an.

Vom Vanilleeis wurden 40 Kugeln weniger verkauft als vom Zitroneneis. Von der Sorte Erdbeere wurden viermal so viele Kugeln verkauft wie von der Sorte Vanille. Vom Schokoladeneis wurden 80 Kugeln verkauft.

Wie viele Kugeln Eis wurden von jeder Sorte verkauft? Löse mit Hilfe einer Gleichung. (4 Punkte)

Lösung zur Aufgabe 1

Hier musst du wissen, wie du Gleichungen löst.

Wir führen zunächst folgende Abkürzungen ein:

Schokolade = %%S%%
Erdbeere = %%E%%
Vanille = %%V%%
Zitrone = %%Z%%

Es ist sinnvoll, Abkürzungen zu verwenden, um sich Schreibarbeit zu sparen, es müssen aber natürlich nicht genau die gleichen sein.

Gleichung aufstellen

Schreibe in einer Gleichung auf, was du über die Gesamtheit der Eiskugeln weißt.

%%540 = S + Z + V + E%%

Wähle eine Eissorte aus, deren Kugelanzahl du mit %%x%% bezeichnest, und schreibe die übrigen in Abhängigkeit von %%x%%.

Nehme dabei nicht Schokolade, weil du hier die Anzahl bereits kennst. Wir verwenden in dieser Lösung Zitroneneis als Bezugsgröße.

%%S = 80%%
%%Z = x%%

Übersetze "vom Vanilleeis wurden 40 Kugeln weniger verkauft als vom Zitroneneis" in eine Formel für die Berechnung von der Anzahl der Vanilleeiskugeln.

%%V = x - 40%%

Übersetze "von der Sorte Erdbeere wurden viermal so viele Kugeln verkauft wie von der Sorte Vanille." in eine Formel für die Berechnung von der Anzahl der Erdbeereiskugeln.

%%E = 4\cdot V= 4 \cdot (x- 40)%%

Setze die Ergebnisse in die oberste Gleichung ein.

Gleichung lösen

%%540 = 80 + x + x - 40 + 4 \cdot (x-40)%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%540 = 2x +40 + 4x -160%%

Addiere "gleiches".

%%540 = 6x - 120\qquad \qquad\qquad\qquad\,\,\qquad|+120%%

Sorge dafür, dass %%x%% alleine auf einer Seite steht, indem du den Summanden subtrahierst.

%%660 = 6x \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad | : 6%%

Sorge dafür, dass %%x%% alleine auf einer Seite steht, indem du durch den Faktor teilst.

%%110 = x%%

Jetzt weißt du wie viele Kugeln Vanille verkauft wurden und kannst mit dieser Information die Anzahl der übrigen Sorten berechnen.

Setze dafür dein Ergebnis für x in die am Anfang erarbeiteten Formeln für die einzelnen Sorten.

%%V = 110 -40 = 70%%
%%E = 4 \cdot (110 - 40 ) = 4 \cdot 70 = 280%%

Probe

Falls du dir nicht sicher bist, kannst du am Ende noch die Probe machen, indem du alle Ergebnisse in die Formel für die Gesamtheit aller Kugeln steht.

%%\begin{array}{rcll} 540 &= & S + Z + V + E &\\ 540 &= & 80 + 110 + 70 + 280 &\\ 540 &= & 540 & \end{array}%%

%%\Rightarrow \text{Richtig}%%

Es wurden also 80 Kugeln Schokoladeneis, 110 Kugeln Zitroneneis, 70 Kugeln Vanilleeis und 280 Kugeln Erdbeereis verkauft.

Lösungsalternative: Drücke die Werte in Abhängigkeit des Vanilleeises aus

Führe zunächst folgende Abkürzungen ein:

Schokolade = %%S%%
Erdbeere = %%E%%
Vanille = %%V%%
Zitrone = %%Z%%

Schreibe alle Informationen aus der Angabe als Gleichung. Schreibe %%Z%% und %%E%% in Abhängigkeit von %%V%%.

%%540 = S + Z + E + V%%
%%S = 80%%
%%Z = V + 40%%

%%E = 4 \cdot V%%

Setze alle Informationen in die oberste Gleichung ein.

%%540 = S + Z + E + V%%
%%= 80 + Z + E + V%%
%%= 80 + V + 40 + E + V%%

%%= 80 + V + 40 + 4 \cdot V + V%%

Kürze und löse die Gleichung auf.

%%\begin{array}{rcll} 540 &= &80 + V + 40 + 4 \cdot V + V & \\ 540 &= &120+ V+ 40 +4 \cdot V+V &\\ 540 &= & 120 + 6V &|-120 \\ 420 &= &6V &|:6\\ 70 &= &V \end{array}%%

Übertrage das Ergebnis auf die obigen Gleichungen.

%%S = 80%%
%%V = 70%%
%%Z = V + 40 = 70 + 40= 110%%
%%E = 4 \cdot V = 4 \cdot 70 = 280%%

Überprüfe dein Ergebnis.

%%\begin{array}{rcll} 540 &=& S+Z+E+V &\\ 540 &=& 80+110+280+70 &\\ 540 &=& 190+280+70 &\\ 540 &=& 260+280&\\ 540 &=& 540\end{array}%%

%%\Rightarrow \text{Richtig}%%

Es wurden also 80 Kugeln Schokoladeneis, 70 Kugeln Vanilleeis, 110 Kugeln Zitroneneis und 280 Kugeln Erdbeereis verkauft.

a) Zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 5 cm.

b) Berechne den Flächeninhalt des Secksecks.

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.

Zeichne einen Kreis mit dem Radius %%5cm%%. Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.

Sechseckkonstruktion Schritt 1

Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius %%5cm%%. An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte C und D. Verbinde C und D mit B.

Sechseckkonstruktion Schritt 2

Fahre ebenso mit den Punkten C und D fort.

Sechseckkonstruktion Schritt 3

Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt E oder den Punkt F durch.

Fertige Sechseckkonstruktion

Lösung zur Teilaufgabe b)

Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.

Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.

Skizze Flächeninhaltsberechnung Sechseck

Berechne zunächst die Höhe(h) eines Dreiecks mit Hilfe des Satz des Pythagoras. Dabei ist %%[AC]%% die Hypotenuse und %%[AO]%% und %%[OC]%% (was die Höhe ist, die in Zukunft mit %%h%% abgekürzt wird) sind die Katheten.

Gleichseitiges Dreieck

%%\overline{AO}^2 + \overline{OC}^2 = \overline{AC}^2%%

Schreibe anstelle von %%\overline{AO}%% die Variable %%h%%.

%%h^2 + \overline{OC}^2 = \overline{AC}^2%%

%%\overline{AC}%% ist der Radius. Daher weißt du, dass %%\overline{AC}%% %%5%% cm lang ist.

%%h^2 + \overline{OC}^2 = (5 cm)^2%%

Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. %%\overline{OC}%% ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von %%5%% cm, also %%\frac12 \cdot 5cm=2,5%%cm.

Warum sind die kleinen Dreiecke gleichseitig?

Eine Vollwinkel sind %%360°%%. Damit ist jeder Winkel in der Mitte %%360°:6=60°%% groß. Beide Seiten von der Mitte zum Rand sind gleich lang, weil es sich beide Male um den Radius handelt. Deshalb muss es ein gleichschenkliges Dreieck sein. Die beiden anderen Winkel sind deswegen gleich groß: %%(180°-60°):2=60°%% (Berechnung mit Hilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck). Also sind alle Winkel im Dreieck gleich groß und damit ist es gleichseitig.

%%h^2 + (2,5cm)^2 = (5 cm)^2%%

Stelle nach %%h%% um, indem du %%(2,5cm)^2%% subtrahierst.

%%h^2=(5cm)^2- (2,5cm)^2%%

Berechne die Quadrate.

%%h^2=25cm^2 - 6,25cm^2 \\= 18,75cm^2%%

Ziehe die Wurzel.

%%h=\sqrt{18,75cm^2}=4,33cm%%

Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel %%A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h%% berechnen.

Setze in diese Formel %%5 cm%% für die Länge der Grundseite und %%4,33 cm%% für die Höhe ein.

%%A_D= 0,5\cdot a \cdot h\\= 0,5 \cdot 5cm \cdot 4,33cm%%

Rechne den Wert aus.

%%A_D=10,825cm^2%%

Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.

%%A_G = 6 \cdot A_D%%

Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.

%%=6 \cdot 10,825cm^2%%

%%=64,95cm^2%%

%%\Rightarrow%% Das Sechseck ist insgesamt %%64,95 cm²%% groß.

Charlotte interessiert sich für ein Mountainbike, einen Helm und ein Paar Knieschoner. (4 Punkte)

a) Das Mountainbike kostet 550€. Da es sich um ein Auslaufmodell handelt, erhält sie auf diesen Preis 12% Rabatt. Berechne den neuen Fahrradpreis.

b) Der Helm ist um 20% reduziert und kostet jetzt noch 79€. Ermittle rechnerisch, wie viele Euro sie beim Kauf des Helms spart.

c) Der Preis der Knieschoner beträgt einschließlich Mehrwertsteuer 49,98€. Hier bekommt sie die Mehrwertsteuer von 19% ,,geschenkt''. Gib den Aktionspreis für die Knieschoner an.

d) Charlotte kauft nur den Helm. Bei Barzahlung erhält sie auf ihren Einkauf nochmals 2% Skonto. Berechne wie viel sie bezahlen muss.

Bei allen Teilaufgaben solltest du wissen, wie du Prozentrechnung mittels Dreisatz durchführst.

Lösung zur Teilaufgabe a)

Berechne dazu, wie viel Euro einem Prozent entspricht, indem du den ursprünglichen Preis (%%550 \,€%%) durch %%100%% teilst.

%%550€:100=5,5€%%

Multipliziere dein Ergebnis (%%5,5\,€%%) mit %%12%%, um zu erfahren, wie viel Euro %%12%% Prozent entsprechen.

%%5,5€⋅12=66€%%

Ziehe dein Ergebnis (%%66€%%) vom Anfangspreis (%%550€%%) ab.

%%550€−66€=484€%%

Der neue Preis für das Fahrrad beträgt %%484€%%.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Wie viel spart Charlotte beim Kauf des Helmes?

Der Helm ist um %%20\% %% reduziert, das heißt, der Helm kostet jetzt %%100\%-20\%=80\% %% des ursprünglichen Preises.

Teile den neuen Preis (%%79€%%) durch %%80%%, um zu erfahren, wie viel Euro einem Prozent entsprechen.

%%79€:80=0,9875€%%

Nehme dein Ergebnis mal %%100%%, um dein Anfangspreis zu erhalten.

%%0,9875€⋅100=98,75€%%

Ziehe von deinem Ergebnis (%%98,75€%%) den neuen Preis (%%79€%%) ab.

%%98,75€−79€=19,75€%%

⇒ Sie spart %%19,75€%%.

Teilaufgabe c)

Wie viel kosten die Knieschoner?

Der Preis inklusive der Mehrwertsteuer ist der gesamte Preis, also %%100\% %% und die Mehrwertsteuer %%19\% %%, also zusammen %%100\%+19\%=119\% %%.

Teile den Anfangspreis (%%49,98€%%) durch %%119%%, um dein Preis zu erfahren, der einem Prozent entspricht.

%%49,98€:119=0,42€%%

Nehme das Ergebnis (%%0,42€%%) mit %%100%% mal, um den neuen Preis zu erfahren.

%%0,42€⋅100=42€%%

⇒ Der neue Preis für die Knieschoner beträgt %%42€%%.

Teilaufgabe d)

Wie viel muss Charlotte insgesamt bezahlen?

Skonto ist ein Preisnachlass.

Du weißt, dass der Helm %%79€%% kostet. Charlotte muss aber nur %%100\%-2\%= 98%%% davon zahlen. Teile deinen Anfangspreis %%(79€)%% durch %%100%%.

%%79€:100=0,79€%%

Multipliziere dein Ergebnis %%(0,79€)%% mit %%98%%, um den neuen Preis zu erhalten.

%%0,79€⋅98=77,42€%%

⇒ Charlotte muss insgesamt %%77,42€%% zahlen.

Aus einem Zylinder mit dem Radius r=5 dmr = 5\ \text{dm} und der Körperhöhe hk=12 dmh_k = 12\ \text{dm} wird ein Viertel herausgeschnitten.Berechne die gesamte Oberfläche des entstandenen Körpers. (4 Punkte)
Hinweis: Skizze nicht maßstabgetreu
Zylinderkörper zur Oberflächenberechnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders

Schreibe zunächst die Formel für die allgemeine Berechnung der Oberfläche eines Zylinders auf.
OZylinder=2Grundfla¨che+Mantelfla¨che\displaystyle O_{Zylinder}=2\cdot\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}
Berechne erst den Flächeninhalt einer Grundfläche. Beachte dabei, dass es sich hier nicht um einen Ganzen, sondern um einen Dreiviertel-Kreis handelt. (Ein Viertel wurde herausgeschnitten, wie auf der Skizze oben zu sehen.)
AGrundfla¨che=34r2π\begin{array}{l}A_{Grundfläche}={\textstyle\frac34}\cdot r^2\cdot\mathrm\pi\\\end{array}
Setze für den Radius 5dm5\, dm ein und berechne das Ergebnis.
AG=345  dm  5  dmπ=754π  dm2\textstyle A_G=\frac34\cdot5\;dm\;\cdot5\;dm\cdot\mathrm\pi=\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2
Berechne als Nächstes den Flächeninhalt des Mantels:
AMantelfla¨che=  abA_{Mantelfläche}=\;a\cdot b
Hier die Mantellänge nicht gleich dem Kreisumfang ist, sondern nur gleich einem Dreiviertel des Kreisumfangs (UKreis=2rπU_{Kreis}=2r\pi) und zweimal die Länge der Rechtecke.
Mantelbreite  b  =  12  dmMantella¨nge  a  =  3425  dm    π  +  5  dm  +  5  dm  =152π  dm  +  10  dm\begin{array}{l}\\\text{Mantelbreite}\;b\;=\;12\;dm\\\text{Mantellänge}\;a\;=\;\frac34\cdot 2\cdot 5\;dm\;\cdot\;\mathrm\pi\;+\;5\;\mathrm{dm}\;+\;5\;\mathrm{dm}\;=\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}\;+\;10\;\mathrm{dm}\end{array}
Setze aa und bb in die Formel ein.
AMantelfla¨che=  12  dm    (152π  dm+10  dm)402,74  dm2A_{Mantelfläche}=\;12\;dm\;\cdot\;(\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}+10\;\mathrm{dm})\approx402,74\;dm^2
Setze zum Schluss die Grund- und Mantelfläche in die Oberflächenformel vom ersten Schritt ein, und rechne dabei die gesamte Oberfläche des Zylinders aus.
OZylinder=2Grundfla¨che+Mantelfla¨cheOGesamt  2754π  dm2+402,74  dm2520,55  dm2\begin{array}{l}O_{Zylinder}=2⋅\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}\\O_{Gesamt}\approx\;2\cdot\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2+402,74\;\mathrm{dm}^2\approx520,55\;\mathrm{dm}^2\end{array}
Die Oberfläche des Körpers ist also 520,55  dm2520,55\;\mathrm{dm}^2.
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