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Aufgaben
Löse folgende Gleichung. (4 Punkte)
18(2x+6)=122x+2+3x+84\frac{1}{8}\cdot(2x+6) = \frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x+8}{4}
Für diese Aufgabe brauchst du das Lösen von linearen Gleichung und die Addition und Multiplikation von Brüchen.

182x+186=122x+2+3x+84\displaystyle \frac{1}{8}\cdot2x + \frac{1}{8} \cdot 6=\frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x+8}{4}
Fasse die linke Seite soweit wie möglich zusammen. Multipliziere hierzu auf der linken Seite der Gleichung den Bruch 18\frac{1}{8} mit dem jeweiligen Faktor. Kürze dabei den entstandenen Bruch auch so weit wie möglich!

14x+34=122x+2+3x+84\displaystyle \frac{1}{4}x+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x+8}{4}
Löse den Bruch rechts auf, indem du 3x3x und 88 durch 44 teilst. Anschließend teilst du den Bruch in 3x8\frac{3x}{8} und 84=2\frac{8}{4}=2 auf.

14x+34=122x+2+3x4+2\displaystyle \frac{1}{4}x+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x}{4}+2
Vereinfache beide Seiten, indem du die Zahlen zusammenfasst und alles was von xx abhängig ist.
Zusätzlich kannst du, um schöner weiterzurechnen, alles in Dezimalzahlen umformen.

0,25x+0,75=4,51,25x+1,25x\displaystyle 0,25x+0,75=4,5-1,25x\qquad \qquad|+1,25x
Addiere als nächstes 1,25x1,25x auf beiden Seiten.
1,5x+0,75=4,50,75\displaystyle 1,5x+0,75=4,5\qquad\qquad|-0,75
Subtrahiere anschließend auf beiden Seiten 0,750,75.

1,5x=3,75:(1,5)\displaystyle 1,5x=3,75 \qquad|:(1,5)
Teile auf beiden Seiten durch 1,51,5.
x=2,5\displaystyle x = 2,5

a) Zeichne in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1cm die Punkte A (7|5) und C (5|7) ein und verbinde sie zur Strecke [AC].

b) Zeichne die Senkrechte zur Strecke [AC] durch den Punkt A.

c) Zeichne den Punkt D (5|3) ein. Wähle den Punkt B so, dass das Parallelogramm ABCD entsteht und zeichne es.

d) Der Punkt D soll die Strecke [AH] halbieren. Zeichne den Punkt H entsprechend ein und gib seine Koordinaten an.

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe benötigst du das Zeichnen eines Koordinatensystems mit dem Einzeichnen von Punkten.

Koordinatensystem mit Punkten

Verbinde die Punkte A und C mit einer Strecke.

Koordinatensystem mit Strecke

Lösung zur Teilaufgabe b)

Zeichne eine Senkrechte zur Strecke AC, die durch den Punkt A läuft.

Koordinatensystem mit senkrechter Strecke

Lösung zur Teilaufgabe c)

Zeichne den Punkt D bei %%(5|3)%%.

Koordinatensystem mit Punkt D

Zeichne die Strecke CD.

Koordinatensystem mit Stecke CD

Zeichne eine Parallele zur Strecke CD durch den Punkt A.

Koordinatensystem mit parallelen Gerade

Zeichne ebenso eine Parallele zur Strecke AC durch den Punkt D. An der Stelle wo sich die beiden Geraden kreuzen, ist der gesuchte Punkt B. Zeichne ihn ein und du erhälst ein Parallelogramm.

Koordinatensystem mit Parallelogramm

Alternativlösung

Zeichne ebenso eine Parallele zur Strecke AD durch den Punkt C. An der Stelle wo sich die beiden Geraden kreuzen, ist der gesuchte Punkt B. Zeichne ihn ein und du erhälst ein Parallelogramm.

Koordinatensystem mit Parallelogramm

Lösung zur Teilaufgabe d)

Messe die Strecke AD und übertrage sie auf die gegenüberliegende Seite von D.
Der Punkt, der von D gleichweit entfernt ist, wie der Punkt A, ist dein neuer Punkt H.

Koordinatensystem mit Punkt H

Alternativlösung mit Koordinatenvergleich

Alternativ kannst du dich auch an der x-Achse orientieren. %%A%% ist bei %%x=7%%, %%D%% ist bei %%5%%. Der Abstand zwischen %%A%% und %%D%% beträgt %%7 - 5 = 2%%. Der Abstand zwischen %%D%% und %%H%% muss genauso groß sein, also muss %%H%% bei %%5 - 2 = 3%% liegen.

Also %%H%% muss bei %%x=3%% sein.

Für die %%y%%-Koordinate kannst du genauso vorgehen:

%%A%% ist bei %%y=5%%, %%D%% ist bei %%3%%. Der Abstand zwischen %%A%% und %%D%% beträgt %%5- 3 = 2%%. Der Abstand zwischen %%D%% und %%H%% muss genauso groß sein, also muss %%H%% bei %%3 - 2 = 1%% liegen.

Also %%H%% muss bei %%y=1%% sein.

Der Punkt %%H%% liegt bei %%(3|1)%%.

In einer Fensterscheibe sind vier gleiche, farbige Glasscheiben eingesetzt.Sie haben jeweils die Form einer Raute (siehe Abbildung).Berechne die Gesamtfläche des farbigen Glases. (4 Punkte)
Hinweis: Skizze nicht Maßstabgetreu.
Maße in cm.
Rautenfigur zur Flächenberechnung

In den Jahren 2012 bis 2014 wurden in jeder Altersgruppe jeweils 1200 Jugendliche befragt, ob sie ein Smartphone besitzen. (4 Punkte)

Statistiken Smartphonebesitzer

a) Berechne den prozentualen Anstieg der Smartphone-Besitzer von 2012 auf 2014 in der Altersgruppe der 14- bis 15-Jährigen.

b) In der Altersgruppe der 18- und 19-Jährigen stieg die Anzahl der Smartphone-Besitzer von 2013 auf 2014 um %%11,25%% %. Ermittle rechnerisch, wie viele Jugendliche dieser Altersgruppe demnach 2014 ein Smartphone besaßen.

c) Im Jahr 2014 wurden zusätzlich %%1200%% Jugendliche im Alter zwischen 12 und 13 Jahren befragt. %%80%% % besaßen ein Smartphone, %%15%% % besaßen keines, der Rest machte keine Angabe. Stelle das Ergebnis dieser Umfrage in einem Kreisdiagramm mit Radius 4cm dar.

Lösung zur Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe solltest du Prozentrechnung mittels Dreisatz beherrschen.

Berechne wie viel mehr Jugendliche im Jahr 2014 ein Smartphone besaßen als im Jahr 2012.

%%1080 - 564 = 516%%

Berechne wie viel Prozent %%516%% von %%564%% sind. Teile dafür zunächst %%516%% durch %%564%%.

%%516 : 564 = 0,91489..%%

Nehme dein Ergebnis mit %%100%% mal, um zu erfahren, wie viele Prozent das sind.

%%0,91489 \cdot 100 = 91,49\% %%
%%\Rightarrow%% Der Anteil der Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, ist von 2012 bis 2014 um %%91,49\% %% gestiegen.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Auch für diese Teilaufgabe solltest du Prozentrechnung mittels Dreisatz beherrschen.

Berechne, wie viele Jugendliche einem Prozent entsprechen, indem du die Anzahl 2013 (%%960%%) durch %%100%% teilst.

%%960:100 = 9,6%%

Ein Prozent sind also %%9,6%% Jugendliche. Multipliziere dies mit der Gesamtprozentzahl: Grundsätzlich sind 2013 %%100\% %% Jugendliche Smartphonebesitzer und 2014 sind es %%11,25\% %% mehr, also sind es insgesamt %%100\%+11,25\%=111,25\% %%.

Multipliziere also %%9,6%% mit %%111,25%%:

%%9,6\cdot 111,25=1068%%

%%\Rightarrow%% Im Jahr 2014 nutzen %%1068%% 18- bis 19- jährige ein Smartphone.

Lösung zur Teilaufgabe c)

Für diese Teilaufgabe solltest du ein Kreisdiagramm zeichnen können, außerdem brauchst du wieder die Prozentrechnung mittels Dreisatz.

Berechne die Winkel für die jeweilige Antwort. Berechne, wie groß der Winkel für %%1\% %% ist, indem du den Vollwinkel %%360°%% durch %%100%% teilst.

%%360°:100=3,6°%%

Ein Prozent ist also ein Winkel von %%3,6°%%. Multipliziere die Prozentangaben aus der Aufgabe mit %%3,6°%%.

Ja %%\Rightarrow%% %%3,6° \cdot 80 = 288°%%
Nein %%\Rightarrow%% %%3,6° \cdot 15 = 54°%%

Berechne die Prozentzahl bei keine Angabe.

Keine Angabe %%\Rightarrow%% %%100 - 80 - 15 = 5%%

Multipliziere die berechnete Prozentangaben mit %%3,6°%%.

%%3,6° \cdot 5 = 18°%%

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 4cm. Trage die oben berechneten Winkel ein.

Kreisdiagramm

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