Aufgaben

B 1.0 Die Funktion %%f_1%% hat eine Gleichung der Form %%y=-\text{log}_3(x+b)+2%% mit %%\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}%% und %%b \in \mathbb{R}%%. Der Graph der Funktion %%f_1%% schneidet die %%x%%-Achse im Punkt %%P(8|0)%%.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion %%f_1%% die Gleichung %%y=-\text{log}_3(x+1)+2%% hat.
Geben Sie sodann die Definitionsmenge der Funktion %%f_1%% an und zeichnen Sie den Graphen zu %%f_1%% für %%x \in [-0,5 ; 9]%% in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit %%1 \, \text{cm}%%; %%-2 \leqq x \leqq 10%%; %%-1 \leqq y \leqq 7%%

(4 Punkte)

B 1.2 Der Graph der Funktion %%f_1%% wird durch orthogonale Affinität mit der %%x%%-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab %%k=2%% und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor %%\vec{v} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right)%% auf den Graphen der Funktion %%f_2%% abgebildet.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion %%f_2%% die Gleichung %%y=-2 \cdot \text{log}_3 (x) + 4,5%% hat %%\left( \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \right)%% und zeichnen Sie sodann den Graphen zu %%f_2%% in das Koordinatensystem zu %%B1.1%% ein.

(4 Punkte)

B 1.3 Punkte %%A_n (x | -\text{log}_3(x+1)+2)%% auf dem Graphen zu %%f_1%% und Punkte %%D_n(x|-2 \cdot \text{log}_3(x)+4,5)%% auf dem Graphen zu %%f_2%% haben dieselbe Abszisse %%x%% und sind zusammen mit den Punkten %%B_n%% und %%C_n%% für %%0 < x <16,53%% die Eckpunkte von Trapezen %%A_nB_nC_nD_n%%.
Es gilt: %%\overline{A_nB_n} = 2 \, \text{LE}%%; %%\sphericalangle B_nA_nD_n = 90^{\circ}%%; %%\sphericalangle A_nD_nC_n = 125^{\circ}%%; %%[A_nD_n]\,||\, [B_nC_n]%%.

Zeichnen Sie die Trapeze %%A_1B_1C_1D_1%% für %%x=1%% und %%A_2B_2C_2D_2%% für %%x=5,5%% in das Koordinatensystem zu %%B1.1%% ein.

(2 Punkte)

B 1.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken %%[B_nC_n]%% in Abhängigkeit von der Abszisse %%x%% der Punkte %%A_n%% gilt: %%\overline{B_nC_n}(x)=\left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +3,90 \right) \, \text{LE}%%.

%%\left[ \text{Teilergebnis}: \overline{A_nD_n}(x) = \left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +2,5 \right) \, \text{LE} \right]%%

(3 Punkte)

B 1.5 Bestätigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze %%A_nB_nC_nD_n%% in Abhängigkeit von der Abszisse %%x%% der Punkte %%A_n%% gilt: %%A(x)=\left(2\cdot{\text{log}}_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6,40\right)\,\text{FE}%%.

(1 Punkt)

B 1.6 Das Trapez %%A_3B_3C_3D_3%% hat einen Flächeninhalt von %%8 \, \text{FE}%%.
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes %%A_3%%.

(3 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe B 1.1

Berechnungen an Funktionen

Über %%f_1%% weißt du, dass sie die Gleichung %%y=-log_3(x+b)+2%% hat und dass der Punkt %%P(8|0)%% auf dem Graphen liegt. Zunächst ist nur zu zeigen, dass %%b=1%%.

Schaue dir bei solchen Aufgaben immer genau die Funktionsgleichung an, dann stellst du fest, dass du drei unbekannte Größen hast, nämlich %%y,x%% und %%b%%. Der Punkt %%P%% besteht aus einer %%x-%% und einer %%y-%%Koordinate, daher ist es naheliegend, den Punkt in die Gleichung einzusetzen.

%%\begin{array}\; 0 &=-log_3(8+b)+2 &|-2 \\ -2 &=-log_3(8+b) &|\cdot (-1) \\ 2 &=log_3(8+b) &|3^{(…)} \\ 9 &=8+b &|-8 \end{array}%%

%%\Rightarrow b=1%%


Definitionsmenge von Funktionen

In den Logarithmus darf man nur positive Zahlen einsetzen. Falls du das nicht mehr weißt, kannst du das im Artikel zum Logarithmus nochmal nachlesen. Unsere Funktion %%y=-log_3(x+1)+2%% ist also genau dann definiert, wenn der Ausdruck in der Klammer %%x+1%% positiv ist. Dafür musst du mit einer Ungleichung arbeiten.

%%x+1 > 0\hspace{2cm}|-1%%

%%x>-1%%

Die Funktion %%f_1%% ist also für alle %%x>-1%% definiert.

Formell: %%\mathbb{D}=\{ {x|x>-1} \}%%


Zeichnen von Funktionen

Um die Funktion zu zeichnen tippst du die Funktion in deinen Taschenrechner ein um eine Wertetabelle zu erhalten und zeichnest anschließend %%f_1%%.

Der Graf von f1 in ein Koordinatensystem eingezeichnet

Lösung zur Teilaufgabe B 1.2

%%\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 2\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ 2 \cdot (-log_3(x+1)+2) \end{pmatrix}%%

%%\Rightarrow y'=-2 \cdot log_3(x+1)+4%%

Die orthogonale Affinität ist eine senkrechte Streckung des Graphen. Da die %%x-%%Achse die Affinitätsachse ist, bleibt diese fest, der Affinitätsfaktor ist %%2%%.

%%\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ -2 \cdot log_3(x'+1)+4 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}%%

Die Parallelverschiebung bildet jeden Punkt der Funktion entlang eines Verschiebungsvektors ab. Gehe dabei wie folgt vor:

%%x''=x'+v_x%%

%%y''=y'+v_y%%

Setze %%y'=-2 \cdot log_3(x'+1)+4%% in das Gleichungssystem ein.

%%x''=x'+v_x%%

%%y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+v_y%%

Setze die Koordinaten des Vektos %%\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}%% in das Gleichungssystem ein.

%%x''=x'+1%%

%%y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+0,5%%

Löse die erste Gleichung nach %%x'%% auf

%%x'=x''-1%%

%%y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4,5%%

Setze das berechnete %%x'=x''-1%% in die zweite Gleichung ein.

%%\Rightarrow y''=-2 \cdot log_3(x''-1+1)+4,5 =-2 \cdot log_3(x'')+4,5%%

%%\Rightarrow f_2: y=-2 \cdot log_3(x)+4,5%%


Zeichne nun den Graphen von %%f_2%% wie in der vorherigen Aufgabe in das Koordinatensystem ein.

Die Grafen der Logarithmusfunktionen f1 und f2 im Koordinatensystem eingezeichnet

Lösung zur Teilaufgabe B 1.3

Einzeichnen der Trapeze

Du kannst das gleiche Schema für %%x=1%% und %%x=5,5%% anwenden.

1.Zeichne zuerst die gegebenen Punkte %%A_n%% und %%D_n%% ein. (%%A_1=(1|1,37), A_2=(5,5|0,30), D_1=(1|4,5), D_2=(5,5|1,40)%%)

2.Zeichne eine parallele Hilfsgerade %%h%% zur %%x%% Achse auf der Höhe von %%A_n%% ein, so entsteht der %%90^\circ%%-Winkel %%\sphericalangle B_nA_nD_n%%.

3.Gehe nun auf der Hilfsgerade %%h%% von %%A_n%% %%2\mathrm{cm}%% nach rechts und zeichne den Punkt %%B_n%% ein.

4.Zeichne den %%125^\circ%%-Winkel %%\sphericalangle A_nD_nC_n%% ein.

5.Konstruiere ein Lot auf die Hilfsgerade %%h%% durch den Punkt %%B_n%%.

6.Der Schnittpunkt mit der Gerade, die durch den %%125^\circ%%-Winkel entstanden ist, ergibt den Punkt %%C_n%%.

Es ergeben sich die Parrallelen %%[A_nD_n]%% und %%[B_nC_n]%%.

Trapeze A1B1C1D1 und A2B2C2D2 eingezeichnet in das Koordinatensystem

Die Abbildung zeigt die Trapeze %%A_1B_1C_1D_1%% und %%A_2B_2C_2D_2%%.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.4

Länge der Strecke %%[B_nC_n]%%

Bestimme die Länge der Strecken %%[B_nC_n]%% in Abhängigkeit von %%x%%.
Zu Veranschaulichungszwecken betrachte das Trapez %%A_1B_1C_1D_1.%%

Trapez 1

In der Abbildung kannst du erkennen, dass du die Strecke %%[B_nC_n]%% aufgeteilt werden kann in %%[B_nG_n]%% und %%[G_nC_n]%%. Du wählst die Strecke %%D_nG_n%%, so dass ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.
Nach der Definition eines Rechtecks ist die Länge Strecke %%[A_nD_n]%% gleich der Strecke %%[B_nG_n]%%.

Berechne die Länge der Strecke %%[A_nD_n]%%.
Ziehe dazu die %%y%%-Koordinate von %%A_n%% von der %%y%%-Koordinate %%D_n%% ab. Benutze dazu die Rechenregeln mit dem Logarithmus.

%%\overline{A_nD_n}(x)=\left[(-2)\cdot\log_3\left(x+4,5\right)-(-\log_3\left(x+1\right)+2\right]LE%%

%%=\left[\log_3\left(x+1\right)-\log_3\left(x^2\right)+2,5\right]LE%%

%%=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2,5\right]LE%%

Dies entspricht der Länge der Strecke %%[B_nG_n]%%.

Berechne die Länge der Strecke %%[G_nC_n]%%.
Der obere Teil deines Trapezes ist ein Rechtwinkliges Dreieck, deshalb kannst du die Länge der Strecke %%[G_nC_n]%% mit dem Tangens berechnen.
Berechne die Größe von %%\alpha_1%%, das heißt von dem Teil von %%\alpha%% der im Dreieck liegt.

%%\alpha_1=\alpha-90^\circ=125^\circ-90^\circ=35^\circ%%

Die Größe von %%\alpha_1%% beträgt %%35^\circ%%.

Stelle die Gleichung von Tangens von %%\alpha_1%% auf.

%%\tan\left(35^\circ\right)=\displaystyle\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{D_nG_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{A_nB_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}2%%

Dass die Länge der Strecke %%[D_nGn]%% gleich der der Strecke %%[A_nB_n]%% ist, folgt aus der Definition eines Rechtecks.

Löse die Gleichung nach der gesuchten Länge auf.

%%\tan\left(35^\circ\right)=\frac{\overline{G_nC_n}}2\;\;\;\left|\cdot2\right.%%

%%\overline{G_nC_n}=2\cdot\tan(35^\circ)%%

Berechne die Länge der Strecke %%[B_nC_n]%%, indem du die Längen der Strecken %%[G_nC_n]%% und %%[B_nG_n]%% addierst.

%%\overline{B_nC_n}(x)=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2,5+2\;\tan(35^\circ)\right]LE=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3,9\right]LE%%

Die Länge der Strecke %%\lbrack B_nC_n\rbrack%% in Abhängigkeit von %%x%% beschreibt %%\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3,9\right]LE%%.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.5

Flächeninhalt des Trapezes

Berechne den Flächeninhaltvon dem Trapez %%A_nB_nC_nD_n%%.
Zu Veranschaulichungzwecken wird die Abbildung des Trapezes %%A_1B_1C_1D_1%% benutzt.

Drehe in Gedanken dein Trapez um %%90°%% nach rechts, um die parallelen Seiten übereinander zu haben.

gedrehtes Trapez

Setze in die Formel für den Trapezflächeninhalt ein und vereinfache anschließend durch Ausklammern.

%%A\left(x\right)=\frac{b+d}2\cdot h%%

%%=\frac12\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2,2+\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3,9\cdot2\;LE%%

%%=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+(2,5+3,9)\;LE%%

%%=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6,4\;LE%%

Lösung zur Teilaufgabe B 1.6

Bestimmung der Koordinaten von %%A_3%%

Setze %%A(x)%% gleich %%8%% und löse nach %%x%% auf.

%%A(x)=8%%

%%2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6,4=8\;\;\;\left|-6,4\right.%%

Ziehe von beiden Seiten %%6,4%% ab.

%%2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)=1,6\;\;\;\left|:2\right.%%

Teile durch 2.

%%\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)=\frac45%%

Löse mit der Definition des Logarithmus.
Stelle demnach um mit der Regel: %%\log_b\left(x\right)=c\;\Leftrightarrow\;x=b^c%%

%%\frac{x+1}{x^2}=3^\frac45\;\;\;\left|\cdot x^2\right.%%

Multipliziere mit %%x^2%%.

%%x+1=3^\frac45\cdot x^2\;\;\;\left|-(x+1)\right.%%

Bringe %%x+1%% auf die andere Seite.

%%0=3^\frac45x^2-x-1%%

Setze in die Mitternachtsformel ein.

%%x_{1,2}=\displaystyle\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3^{\frac45}\cdot(-1)}}{2\cdot3^{\frac45}}%%

%%x_1=-0,47\;\;\;\;\;\;x_2=0,88%%

Da %%x%% gößer %%0%% sein muss, kommt nur %%x_2%% infrage. Der Grund dafür ist, dass du der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist.

Berechne die %%y%%-Koordinate für %%x_2%%. Setze dafür %%x_2%% in %%f_1%% ein.
%%f_1(x_2)=f_1(0,88)=-\log_3\left(0,88+1\right)+2=-\log_3\left(1,88\right)+2=1,43%%

%%A_3%% muss der Punkt %%(0,88\vert 1,43)%% sein.

B 2.0 Das Rechteck %%ABCD%% ist die Grundfläche der Pyramide %%ABCDS%%. Der Punkt %%E%% ist der Mittelpunkt der Strecke %%[AD]%%, der Punkt %%F%% ist der Mittelpunkt der Strecke %%[BC]%%. Die Spitze %%S%% liegt senkrecht über dem Punkt %%E%%.

Es gilt: %%\overline{AB}=6,5 \, \text{cm}; \; \overline{AD}=8 \, \text{cm}; \; \overline{ES}=5,5 \, \text{cm}%%

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide %%ABCDS%%, wobei %%[EF]%% auf der Schrägbildachse und der Punkt %%E%% links vom Punkt %%F%% liegen soll.

Für die Zeichnung: %%q = \dfrac{1}{2}; \; \omega = 45^{\circ}%%

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke %%[FS]%% sowie das Maß des Winkels %%SFE%%.

%%\left[ \text{Ergebnisse:}\; \overline{FS}=8,51 \, \text{cm}; \; \sphericalangle SFE = 40,24 ^{\circ} \right]%%

(4 Punkte)

B 2.2 Punkte %%P_n%% liegen auf der Strecke %%[FS]%% und bilden zusammen mit dem Punkt %%G \in [EF]%% Winkel %%FGP_n%% mit dem Maß %%\varphi \in ]0^{\circ}; 118,61^{\circ}[%%.
Es gilt: %%\overline{EG}=3 \, \text{cm}%%.

Die Punkte %%P_n%% sind die Spitzen von Pyramiden %%BCGP_n%% mit der Grundfläche %%BCG%% und den Höhen %%[P_nL_n]%% mit %%L_n \in [EF]%%.
Zeichnen Sie die Pyramide %%BCGP_1%% für %%\varphi = 110^{\circ}%% und die zugehörige Höhe %%[P_1L_1]%% in das Schrägbild zu %%B2.1%% ein.

(2 Punkte)

B 2.3 Begründen Sie die obere Intervallgrenze für %%\varphi%%.

(2 Punkte)

B 2.4 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken %%[GP_n]%% in Abhängigkeit von %%\varphi%% gilt:

%%\overline{GP_n}(\varphi) = \dfrac{2,26}{\text{sin}(\varphi + 40,24^{\circ})}%%

(2 Punkte)

B 2.5 Berechnen Sie das Volumen %%V%% der Pyramiden %%BCGP_n%% in Abhängigkeit von %%\varphi%%.

%%\left[ \text{Ergebnis:} \; V(\varphi) = \dfrac{10,55 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 40,24^{\circ}} \, \text{cm}^3 \right]%%

(3 Punkte)

B 2.6 Das Dreieck %%GFP_2%% ist gleichschenklig mit der Basis %%[FP_2]%%.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide %%BCGP_2%% am Volumen der Pyramide %%ABCDS%%.

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe B 2.1

Schrägbild der Pyramide

Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke %%[AB]%% und legst an diese Strecke im Punkt %%A%% den Winkel %%\omega=45^\circ%% an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke %%[AD]%% an. Die Strecke %%[AD]%% hat in deiner Zeichnung die Länge %%4\;cm%%, da der Streckungsfaktor %%\displaystyle q=\frac12%% ist.

Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke %%[DC]%% parallel zur Strecke %%[AB]%% und %%[BC]%% parallel zu %%[AD]%% ein. Außerdem zeichnest du %%E%%, den Mittelpunkt der Strecke %%[AD]%%, mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du %%F%%, den Mittelpunkt der Strecke %%[BC]%%, ein.

Danach zeichnest du die Strecke %%\overline{ES}=5,5\;cm%% ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke %%[EF]%% und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche (%%A, B, C, D%%) mit der Spitze %%S%%.

Pyramide ABFCDES

Länge der Strecke %%\overline{FS}%%

Außerdem ist die Länge der Strecke %%\overline{FS}%% gesucht.

Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck %%EFS%%, wobei %%[FS]%% die Hypotenuse ist.

%%a^2+b^2 = c^2%%

%%(\overline{EF})^2+(\overline{ES})^2\;=\:(\overline{FS})^2%%

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, sodass %%[FS]%% ohne Quadrat auf einer Seiten der Gleichung steht.

%%\sqrt{(\overline{EF})^2+(\overline{ES})^2}\;=\:\overline{FS}%%

Setze die Strecken %%[EF]%% und %%[ES]%% ein.

%%\sqrt{(6,5\;cm)^2+(5,5\;cm)^2}\;=\:\overline{FS}%%

Rechne die Quadrate.

%%\overline{FS}\;=\;\sqrt{42,25\;cm^2\;+\;30,25\;cm^2}%%

Addiere die Summanden unter der Wurzel.

%%\overline{FS}\;=\;\sqrt{72,5\;cm^2}%%

Ziehe die Wurzel und runde auf zwei Nachkommastellen.

%%\overline{FS}\;\approx\;8,51\;cm%%

Die Länge der Strecke %%[FS]%% beträgt %%8,51\;cm%%.

Maß des Winkels SFE

Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.

%%\displaystyle tan\;\alpha\;=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\overline{SE}}{\overline{EF}}=\frac{5,5\;cm}{6,5\;cm}\;=\frac{5,5}{6,5}%%

%%\displaystyle \alpha\;=\;\tan^{-1}(\frac{5,5}{6,5})\;\approx\;40,24^\circ%%

Das Maß des Winkel %%SFE%% beträgt also ungefähr %%40,24^\circ%%.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.2

Einzeichnen der Pyramide %%BCGP_1%%

Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass %%G%% auf der Strecke %%[EF]%% liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke %%[EG]%% die Länge %%3\;cm%% hat. Das heißt %%G%% liegt auf %%[EF]%% und hat von %%E%% den Abstand %%3\;cm%%.

Im zweiten Schritt legst du an die Strecke %%[GF]%% im Punkt %%G%% den Winkel %%\varphi\;=\;110^\circ%% an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke %%[GP_1]%%, wobei der Punkt %%P_1%% auf der Strecke %%[FS]%% liegt.

Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten %%BG,\;GC,\;GP_1,\;BP_1,%% und %%\; CP_1%% ein.

Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide %%BCGP_1%% in deine Zeichnung ein.
Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide %%P_1%% auf die Strecke %%[EF]%% und erhältst somit die Höhe %%h_1%%.

kleine Pyramide BCGP1 in der großen Pyramide ABCDS

Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide %%BCGP_1%% dar.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.3

Obere Grenze von %%\varphi%%


Der Winkel %%\varphi%% ist der Winkel %%\sphericalangle FGP_n%% und den größten Winkel %%\varphi%% erhält man, wenn %%P_n\; =\;S\;%% ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel %%\sphericalangle FGS%%. Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.

Nun musst du den Winkel %%\sphericalangle FGS%% bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass %%\varphi\;\in\;\rbrack0^\circ;118,61^\circ\lbrack%%, das heißt %%\varphi\;%% hat die obere Grenze %%118,61^\circ%%. Und da die obere Grenze von %%\varphi%% dem Winkel %%\sphericalangle FGS%% entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass %%\sphericalangle FGS = 118,61^\circ%% ist.

Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Außerdem ist der Winkel %%\sphericalangle FGS%% der Nebenwinkel von %%\sphericalangle SGE%% und deshalb gilt für %%\sphericalangle FGS=180^\circ\;-\sphericalangle SGE%%.
Im Folgenden wird der Winkel %%\sphericalangle SGE%% als %%\beta%% bezeichnet.

Dreiecke EGS und GFS und die Winkel phi und der Nebenwinkel von phi im Koordinatensystem eingetragen

%%\displaystyle tan\beta\;=\;\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\;=\;\frac{5,5\;cm}{3\;cm}=\:\frac{11}6%%

%%\displaystyle \beta\;=\;\tan^{-1}\left(\frac{11}6\right)\;\approx\;61,39^\circ%%

Nun bestimmst du %%\sphericalangle FGS\;%%, den Nebenwinkel von %%\beta%%, indem du %%180°-\beta%% rechnest.

%%\sphericalangle FGS\; = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 61,39^\circ = 118,61^\circ%%

Somit ist die obere Intervallgrenze von %%\varphi = 118,61^\circ%%.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.4

Länge der Strecke %%\overline{GP_n}%%

Zur Bestimmung der Länge der Strecke %%\overline{GP_n}%% nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:

%%\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sphericalangle P_nFG}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}%%

Dreieck GFPn und dessen Winkel

Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach %%\overline{GP_n}%% um.

Der Winkel %%\sphericalangle SFE%% entspricht dem Winkel %%\sphericalangle P_nFG%% und deshalb gilt: %%\sphericalangle SFE = \sphericalangle P_nFG = 40,24^\circ%%.

%%\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40,24^\circ}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}%%

Die Strecke %%\overline{GF}%% ist einfach %%\overline{EF}-\overline{EG} = 6,5\;cm-3\;cm = 3,5\;cm%%.

%%\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40,24^\circ}\;=\;\frac{3,5\;cm}{\sphericalangle GP_nF}%%

Nun bestimmst du noch den Winkel %%\sphericalangle GP_nF%% in Abhängigkeit von %%\varphi%%. Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer %%180°%% ist. Deshalb ist der Winkel %%\sphericalangle GP_nF%% gegeben durch %%\sphericalangle GP_nF\;=\;180^\circ-\;\sphericalangle P_nFG\;-\;\varphi = 180^\circ- 40,24^\circ-\varphi%%.

%%\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sin(40,24^\circ)}\;=\;\frac{3,5\;cm\;}{\sin(180^\circ-40,24^\circ-\varphi)}%%

Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit %%sin(40,24^\circ)%% und rundest auf Zweinachkommastellen .

%%\displaystyle\overline{GP_n}\;=\;\frac{2,26\;cm\;}{\sin(180^\circ-40,24^\circ-\varphi)}%%

Außerdem gilt %%sin(α)=sin(180^\circ -α)%%. Deshalb klammerst du im nächsten Schritt %%180^\circ-\alpha%% aus und erhälst:

%%\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2,26\;cm\;}{\sin(180^\circ-(40,24^\circ+\varphi))}%%

Nun wendest du noch %%sin(α)=sin(180^\circ−α)%% an. Das heißt du kannst das %%180^\circ-%% einfach weglassen.

%%\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2,26\;cm\;}{\sin(40,24^\circ+\varphi)}%%

Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke %%\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2,26\;cm\;}{\sin(40,24^\circ+\varphi)}%% ist.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.5

Volumen der Pyramide %%BCGP_n%%

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch %%\displaystyle V_{Pyramide}=\frac13\cdot\;G\;\cdot h%%

Grundfläche der Pyramide %%BCGP_n%%

Pyramiden ABCDS und GBCPn

Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).


Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck %%BCG%%. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch %%\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h%%

Als Grundlinie %%g%% legst du die Strecke %%\overline{BC}=8\;cm%% fest und als Höhe %%h%% die Strecke %%\overline{GF}=\;3,5\;cm%%. Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:

%%\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h\;=\frac12\;\cdot\;\overline{BC}\;\cdot\;\overline{GF}\;=\:\frac12\;\cdot\;8\;cm\;\cdot\;3,5\;cm\;=\;14\;cm^2%%

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide %%BCGP_n%% ist %%14\;cm^2%%.

Die Höhe der Pyramide %%BCGP_n%%

Die Höhe der Pyramide ist die Strecke %%[P_nL_n]%%. Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.
Die Strecke %%[L_nP_n]%% bestimmst du mit %%\displaystyle sin(\beta)\;=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}%%, wobei die Gegenkathete die Strecke %%[P_nL_n]%% ist und %%[GP_n]%% die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel %%\beta%% Nebenwinkel von %%\varphi%% und somt gilt: %%\beta\;=\;180^\circ-\varphi%%.

%%\displaystyle sin(\beta)\;=\;sin(180-\varphi)\;=\;\frac{\overline{P_nL_n}}{\overline{GP_n}}%%

Nun stellst du die Gleichung so um, dass %%P_nL_n%% auf einer Seite steht und setzt anschleißend ein.

%%\displaystyle sin(180-\varphi)\;=\;\frac{\overline{P_nL_n}}{\overline{GP_n}}%%

Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit %%\overline{GP_n}%%.

%%\overline{P_nL_n}\;=\sin(180^\circ-\varphi)\;\cdot\;\overline{GP_n}%%

%%sin(180^\circ-\;\varphi)= sin(\varphi)%%

%%\overline{P_nL_n}\;=\sin(\varphi)\;\cdot\;\overline{GP_n}%%

Setze %%\;\lbrack GP_n\rbrack%% aus Teilaufgabe d) ein.

%%\displaystyle \overline{P_nL_n}\;=\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2,26}{\sin(\varphi\;+\;40,24^\circ)}\;cm%%

Die Höhe der Pyramide ist %%\displaystyle h\;=\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2,26}{\sin(\varphi\;+\;40,24^\circ)}\;cm%%.

Volumen der Pyramide

Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

%%\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\frac13\cdot\;G\;\cdot h\;%%

%%\displaystyle =\;\frac13\;\cdot\;14\;cm^2\;\cdot\;\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2,26}{\sin(\varphi\;+\;40,24^\circ)}\;cm%%

%%\displaystyle =\;10,55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40,24^\circ)}\;cm^3%%

Das Volumen der Pyramide %%BCGP_n%% in Abhängigkeit von %%\varphi%% ist %%\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\;10,55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40,24^\circ)}\;cm^3%%.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.6

Prozentuale Anteil von %%BCGP_2%% an %%ABCDS%%

Pyramiden ABCDS und BCGP2

Volumen der Pyramide %%ABCDS%%

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

%%\displaystyle V_{ABCDS}\;=\;\frac13\;\cdot\;G\;\cdot\;h%%

%%=\;\frac13\;\cdot\;(\overline{AB}\;\cdot\;\overline{AC})\;\cdot\;\overline{ES}%%

%%\displaystyle =\;\frac13\;\cdot\;(6,5\;cm\;\cdot\;8\;cm)\;\cdot\;5,5\;cm%%

%%\approx\;95,33\;cm^3%%

Das Volumen der Pyramide ABCDS hat das Volumen %%95,33\;cm^3%%.

Volumen der Pyramide %%BCGP_2%%

Gegeben ist, dass das %%GFP_2%% ein gleichschenkliges Dreieck ist. Deshalb ist der Winkel %%\sphericalangle P_2FG\;=\;\sphericalangle GP_2F\;=\;40,24^\circ%%.

Nun berechnest du %%\varphi%% mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck.
%%\varphi\;=\:180^\circ\;-\;\sphericalangle P_2FG\;-\sphericalangle GP_2F\;=\:180^\circ\;-\;40,24^\circ\;-\;40,24^\circ\;=\:99,52^\circ%%

Nun nutzt die Ergebnisse aus Teilaufgabe e). Dort hast du festgestellt, dass das Volumen in Abhängigkeit von %%\varphi%% ist:

%%\displaystyle V(\varphi)=\;\frac{10,55\;\cdot\;\sin(\varphi)}{\sin(\varphi\;+\;40,24^\circ)}\;cm^3%%

%%\displaystyle V_{BCGP_2}\;=\:V(99,52^\circ)=\;\frac{10,55\;\cdot\;\sin(99,52^\circ)}{\sin(99,52^\circ\;+\;40,24^\circ)}\;cm^3\approx\;16,11\;cm^3%%

Das Volumen der Pyramide %%BCGP_2%% beträgt ungefähr %%16,11\;cm^3%%.

Prozentualer Anteil

Gesucht ist der Prozentsatz %%p%%. Diesen erhältst du, indem du den Prozentwert %%W%% durch den Grundwert %%G%% teilst.

%%\displaystyle p=\;\frac WG\;=\;\frac{V_{BCGP_2}}{V_{ABCDS}}\;=\:\frac{16,11\;cm^3}{95,33\;cm^3}\;\approx\;0,1690\;=\;16,90\% %%

Das Volumen der Pyramide %%BCGP_2%% nimmt circa %%16,90\% %% des Volumens der Pyramide %%ABCDS%% ein.

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