Aufgaben

Wie lautet das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen:

5 und 25

5 und 25

Bestimme das kgV von 5 und 25 als Produkt von 5 und 25 geteilt durch %%\operatorname{ggT}(5,25)%%.

Nutze dabei, dass der ggT von 25 und 5 gleich 5 ist. Dies gilt, da %%25=5^2%% ist.

%%\operatorname{kgV}(5,25)=\frac{5\cdot25}{\operatorname{ggT}(5,25)}=\frac{5\cdot25}5=25%%

14, 7, 25

14, 7, 25

%%7%% ist eine Primzahl.

%%14=2\cdot7%%

%%25=5\cdot5%%

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl %%2%% hat Vielfachheit 1, %%5%% hat Vielfachheit 2 und %%7%% hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: %%\operatorname{kgV}(14,7,25)=2\cdot5^2\cdot7=350.%%

15, 22, 121

15, 22, 121

%%15=3\cdot5%%

%%22=2\cdot11%%

%%121=11^2%%

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl %%2%% hat Vielfachheit 1, %%3%% hat Vielfachheit 1, %%5%% hat Vielfachheit 1 und %%11%% hat Vielfachheit 2.

Somit gilt: %%\operatorname{kgV}(15,22,121)=2\cdot3\cdot5\cdot11^2=3630.%%

444, 753, 280

444, 753 und 280

 

%%444=2\cdot2\cdot3\cdot37%%

 

%%753=3\cdot251%%

 

%%280=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7%%

Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung.

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl %%2%% hat Vielfachheit 3, %%3%% hat Vielfachheit 1, %%5%% hat Vielfachheit 1, %%7%% hat Vielfachheit 1, %%37%% hat Vielfachheit 1 und %%251%% hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: %%\operatorname{kgV}(444,753,280)=2^3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot37\cdot251=7\,801\,080%%.

21, 32, 16, 4, 7

21, 32, 16, 4, 7

%%21=3\cdot7%%

%%32=2^5%%

%%16=2^4%%

%%4=2^2%%

%%7%% ist eine Primzahl.

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl %%2%% hat Vielfachheit 5, %%3%% hat Vielfachheit 1 und %%7%% hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: %%\operatorname{kgV}(21,32,16,4,7)=2^5\cdot3\cdot7=672.%%

Wie lautet der größte gemeinsame Teiler der Zahlen:

984, 1002, 382

%%984=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot41%%

%%1002=2\cdot3\cdot167%%

%%382=2\cdot191%%

Bestimme nun den größten Primfaktor bzw. das größte Produkt von Primfaktoren, das in allen drei Zahlen vorkommt.

Dieses ist gerade der größte gemeinsame Teiler.

%%\operatorname{ggT}(984,1002,382)=2%%

Berechne die Teilermenge T(819)\text{T}(819) und den ggT(819,1001)\text{ggT}(819,1001).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:größter gemeinsamer Teiler und Teilermenge

Primfaktorzerlegung

819=33713819=3\cdot3\cdot7\cdot13
1001=711131001=7\cdot11\cdot13
ggT(819,  1001)  =  7    13  =  91\Rightarrow\mathrm{ggT}(819,\;1001)\;=\;7\;\cdot\;13\;=\;91

Teilermenge

Die Teilermenge ist die Menge aller Zahlen, die die Zahl teilen, also alle Kombinationen beliebig vieler Primfaktoren inklusive der 1.
T(819)={1,3,7,9,13,21,39,63,91,117,273,819}T(819)=\left\{1,3,7,9,13,21,39,63,91,117,273,819\right\}
Primzahlzwillinge und Primzahldrilling

  1. Ein Primzahlzwilling besteht aus zwei Primzahlen, deren Differenz zwei ist z.B. (5,7). Gib alle Primzahlzwillinge zwischen 1 und 100 an.
    
  2. Primzahldrillinge werden entsprechend den Primzahlzwillingen festgelegt, z. B. (3,5,7). Gib alle Primzahldrillinge zwischen 0 und 100 an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Primzahlen

  1. (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (71,73)
  2. (3,5,7)
Wie viele verschiedene Produkte lassen sich aus den Primfaktoren der Zahl 425 bilden, wenn jeder Faktor höchstens so oft auftreten darf, wie in der Zerlegung der Zahl 425? Es ist auch erlaubt, dass ein Primfaktor nicht vorkommt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Primfaktorzerlegung

Wir zerlegen zunächst 425425 in Primfaktoren:
425=5217=5517425=5^2 \cdot 17 = 5\cdot5\cdot17
Non wollen wir aus diesen drei Faktoren Produkte bilden. Dabei können für jeden Primfator wählen, wie oft er verwendet werden soll. Der Faktor 5 kann insgesamt 0,1 oder 2-mal verwendet werden. Das sind 3 Möglichkeiten. Für den Faktor 17 haben wir nur die Wahl, ob wir ihn 0 oder 1-mal benutzen (2 Möglichkeiten). Insgesamt sind das
32=63 \cdot 2 = 6
also 6 mögliche Produktkombinationen, die sich aus den Primfaktoren bilden lassen.
  • 11
  • 55
  • 55=255\cdot5=25
  • 1717
  • 517=855 \cdot 17 = 85
  • 5517=4255 \cdot 5 \cdot 17 = 425

Berechne die Primfaktorzerlegungen folgender Zahlen:

456

Primfaktorzerlegung

Hier geht es um die Primfaktorzerlegung.

%%456%%

Erster möglicher Primfaktor ist 2.

%%456:2=228%%

Nächster möglicher Primfaktor ist 2.

%%228:2=114%%

Nächster möglicher Primfaktor ist 2.

%%114:2=57%%

Nächster möglicher Primfaktor ist 3.

%%57:3=19%%

Die Primfaktorzerlegung ist abgeschlossen.

%%\Rightarrow456=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot19%%

Zerlege die Zahl in Primfaktoren.

96

Primfaktorzerlegung Durchführen

Hier findest du die Erklärung zum Thema: Primfaktorzerlegung

Da die gegebene Zahl 96 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:

$$96:2=48$$

Ein nächster passender Pramfaktor ist die 4:

$$48:4=12$$

Ein nächster passender Pramfaktor ist die 6:

$$12:6=2$$

So ergibt folgende Primfaktorzerlegung für 96:

$$96=2×4×6$$

$$96:2=48$$

Ein nächster passender Pramfaktor ist die 4.

$$48:4=12$$

Ein nächster passender Pramfaktor ist die 6.

$$12:6=2$$

Jetzt musst du noch die 6 zerlegen.

%%6=3\cdot 2%%

So ergibt sich folgende Zerlegung für 96:

$$96=2\cdot4\cdot2\cdot3$$

Jetzt musst du noch die %%4%% zerlegen.

Die Primfaktorzerlegung für 96 ist %%96=2\cdot2\cdot 2\cdot2\cdot3%%.

126

Primfaktorzerlegung

Hier geht es um die Primfaktorzerlegung.

%%126%%

Da die gegebene Zahl 126 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:

%%126\div2=63%%

%%63\div3=21%%

%%21\div3=7%%

Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.

$$126=2\cdot3^2\cdot7$$

250

Primfaktorzerlegung Durchführen

Hier findest du die Erklärung zum Thema: Primfaktorzerlegung

Da die gegebene Zahl 250 ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 5 als erstem Primfaktor beginnen denn die Zahl endet mit einer Null. Alle Zahlen die mit der Null enden kann man durch 5 rechnen, Aber du kannst auch mit deinen gewälten Faktor anfangen.

$$250:5=50$$

Ein nächster passender Pramfaktor ist die 5:

$$50:5=10$$

Ein nächster passender Pramfaktor ist die 2:

$$10:2=5$$

So ergibt folgende Primfaktorzerlegung für 250:

$$=>250=5\cdot5\cdot5\cdot2$$

Zerlege 3059 in Primfaktoren und bilde die Teilermenge T(3059).

Primfaktorzerlegung und Teilermenge

Hier geht es um die Primfaktorzerlegung und die Teilermenge.

Primfaktorzerlegung

%%3059%%

Erster möglicher Primfaktor ist 7.

%%3059:7=437%%

Nächster möglicher Primfaktor ist 19.

%%437:19=23%%

Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.

%%3059=7\cdot19\cdot23%%

Teilermenge

Multipliere alle Primfaktoren untereinander: $$7\cdot19=133$$ $$7\cdot23=161$$ $$19\cdot23=437$$ $$7\cdot19\cdot23=3059$$ Stelle dann die Teilermenge auf. Nimm die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.

%%T(3059)=\left\{1;7;19;23;133;161;437;3059\right\}%%

Zerlege in Primfaktoren: 945252000

 

Primfaktorzerlegung

%%945252000%%

Erster möglicher Primfaktor ist 2.

%%945252000:2=472626000%%

Möglicher Primfaktor ist 2.

%%472626000:2=236313000%%

Möglicher Primfaktor ist 2.

%%236313000:2=118156500%%

Möglicher Primfaktor ist 2.

%%118156500:2=59078250%%

Möglicher Primfaktor ist 2.

%%59078250:2=29539125%%

Möglicher Primfaktor ist 3.

%%29539125:3=9846375%%

Möglicher Primfaktor ist 3.

%%9846375:3=3282125%%

Möglicher Primfaktor ist 5.

%%3282125:5=656425%%

Möglicher Primfaktor ist 5.

%%656425:5=131285%%

Möglicher Primfaktor ist 5.

%%131285:5=26257%%

Möglicher Primfaktor ist 7.

%%26257:7=3751%%

Möglicher Primfaktor ist 11.

%%3751:11=341%%

Möglicher Primfaktor ist 11.

%%341:11=31%%

%%\Rightarrow2^5\cdot3^2\cdot5^3\cdot7\cdot11^2\cdot31%%

Zerlege 11011 in Primfaktoren und bestimme die Teilermenge T(11011).

Primfaktorzerlegung und Teilermenge

Hier geht es um die Primfaktorzerlegung und die Teilermenge.

Primfaktorzerlegung

%%11011%%

Erster möglicher Primfaktor ist 7.

%%11011:7=1573%%

Nächster möglicher Primfaktor ist 11.

%%1573:11=143%%

Nächster möglicher Primfaktor ist 11.

%%143:11=13%%

Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlosssen.

%%\Rightarrow11011=7\cdot11\cdot11\cdot13%%

Teilermenge

Multipliere alle Primfaktoren untereinander: $$7\cdot11=77$$ $$7\cdot13=91$$ $$11\cdot11=121$$ $$11\cdot13=143$$ $$7\cdot11\cdot11=847$$ $$7\cdot11\cdot13=1001$$ $$11\cdot11\cdot13=1573$$ $$7\cdot11\cdot11\cdot13=11011$$ Stelle dann die Teilermenge auf. Nimm die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.

%%T(11011)=\{1;7;11;13;77;91;121;143;847;1001;1573;11011\}%%

Zerlege 931 in Primfaktoren und bestimme mit Hilfe dieser Primfaktoren die Teilermenge T(931).

Primfaktorzerlegung und Teilermenge

Hier geht es um die Primfaktorzerlegung und die Teilermenge.

Primfaktorzerlegung

%%931%%

Erster möglicher Primfaktor ist 7.

%%931:7=133%%

Nächster möglicher Primfaktor ist 7.

%%133:7=19%%

Die Primfaktorzerlegung ist abgeschlossen.

%%\Rightarrow931=7\cdot7\cdot19%%

Teilermenge

Multipliere alle Primfaktoren untereinander: $$7\cdot7=49$$ $$7\cdot19=133$$ $$7\cdot7\cdot19=931$$ Stelle dann die Teilermenge auf. Nehme die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.

%%T(931)=\{1;7;19;49;133;931\}%%

Zerlege in Primfaktoren: 377208

%%377208=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot13\cdot13\cdot31%%

Primfaktorzerlegung

%%377208%%

Erster möglicher Primfaktor ist 2.

%%377208:2=188604%%

Möglicher Primfaktor ist 2.

%%188604:2=94302%%

Möglicher Primfaktor ist 2.

%%94302:2=47151%%

Möglicher Primfaktor ist 3.

%%47151:3=15717%%

Möglicher Primfaktor ist 3.

%%15717:3=5239%%

Möglicher Primfaktor ist 13.

%%5239:13=403%%

Möglicher Primfaktor ist 13.

%%403:13=31%%

%%377208=2^3\cdot3^2\cdot13^2\cdot31%%

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