Aufgaben
In das Quadrat ist ein grau gefärbter "Doppelpfeil" eingezeichnet.
Gib den Flächeninhalt des Doppelpfeils in Abhängigkeit von xx und yy an.
Skizze zur Flächenbestimmung im Quadrat

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Quadrats

Funktionen aufstellen

Formel für das Quadrat aufstellen:

A=a2A_\square=a^2
a=x+ya=x+y
A=(x+y)2A_\square=\left(x+y\right)^2

Formel für das Dreieck aufstellen:

A=12ghA_\bigtriangleup=\frac12\cdot g\cdot h
gg und hh entsprechen yy, da es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
A90o=12y2A_{\bigtriangleup\measuredangle90^o}=\frac12y^2
Das ist die Fläche für eines der beiden Dreiecke.

Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:

A=A2A=A_\Leftrightarrow=A_\square-2A_\bigtriangleup=
Substrahiere die Fläche der beiden Dreiecke von der Fläche des Quadrats.
=(x+y)2y2=\left(x+y\right)^2-y^2
1.Binomische Formel anwenden.
=(x2+2xy+y2)y2=(x^2+2\mathrm{xy}+y^2)-y^2
=x2+2xy=x^2+2xy
rechteckige Pizza
Beim Zerschneiden einer rechteckigen Pizza in nn waagrechte und nn senkrechte Streifen entstehen
  • Eckstücke (E),
  • reine Randstücke (R)
  • und Innenstücke (I),
siehe Abbildung für n=4n = 4.
Stelle Terme auf, die die Zahl der Randstücke bzw. die Zahl der Innenstücke in Abhängigkeit von der Streifenzahl nn beschreiben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme aufstellen

Term für Randstücke

TR(n)=4(n2)T_R(n)=4 \cdot (n-2)
n2n-2 ist die Anzahl der Randstücke auf einer Seite des Quadrats. Das musst du dann noch mit 4 multiplizieren, weil das Rechteck 4 Seiten hat.

Term für Innenstücke

TI(n)=(n2)(n2)T_I(n)=(n-2) \cdot (n-2)
(n2)(n-2) ist die Anzahl der Pizzastücke in einer Reihe minus die Rand- oder Endstücke in der Reihe.
Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke (n2)\left(n^2\right) ergeben.
  4(n2)+(n2)2+4=    \;\Rightarrow4\left(n-2\right)+\left(n-2\right)^2+4=\;\;
=4n8+n22n2n+4+4=4n-8+n^2-2n-2n+4+4
=n2=n^2
03_mc: Dreieck im Quadrat
Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a=5cma=5 \mathrm{cm}.Bestimme den Term A(x)A(x) für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

Verlängert man jede Seite eines Dreiecks, so erhält man die Nebenwinkel der Innenwinkel  %%\alpha,\;\beta,\;\gamma%% , die sogenannten Außenwinkel  %%\alpha^\ast,\;\beta^\ast,\;\gamma^\ast%%. Was stellt der Term  %%\left(180^\circ-\alpha\right)+\left(180^\circ-\beta\right)+\left(180^\circ-\gamma\right)%% dar? Dieser Term lässt sich umformen zu  %%540^\circ-\left(\alpha+\beta+\gamma\right)%%. Was kann man daraus folgern?

Verbinde die Zahlen %%-25, -9, 11%% und %%-4%% mit Addition, Subtraktion oder Multiplikation (ohne Klammern zu setzen) und stelle so einen Term auf, dessen Wert …

  1. positiv bzw. negativ ist,

  2. so groß wie möglich ist,

  3. so klein wie möglich ist,

  4. möglichst nahe bei 0 liegt.

Teilaufgabe 1

Term mit positivem Wert: %%\left(-9\right)\cdot\left(-4\right)-\left(-25\right)\cdot11=311%%

Term mit negativem Wert: %%\left(-25\right)+\left(-9\right)+11+\left(-4\right)=-27%%

Teilaufgabe 2

Term mit maximalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11-\left(-4\right)=2479%%

Teilaufgabe 3

Term mit minimalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11\cdot\left(-4\right)=-9900%%

Teilaufgabe 4

Term mit einem Wert, der möglichst nahe bei Null liegt: %%(-25)-11+(-9)\cdot(-4)=0%%

Für ein Festessen sollen Einzeltische für je sechs Personen zu einer großen Tafel zusammengestellt werden. Es werden zwei Möglichkeiten betrachtet, dies zu tun: Die Tische können an den Schmal- oder Längsseiten zusammengestellt werden.

 

  1. Wie viele Personen können bei jeder Tischanordnung insgesamt Platz nehmen, wenn eine bestimmte Anzahl %%(n)%% Tische zusammengestellt werden?

  2. Der Gastgeber hat so viele Gäste eingeladen, dass bei keiner der beiden möglichen Tischanordnungen 5 Tische genügen. Wenn er einen weiteren Tisch hinzufügt, ist die Anzahl der Plätze genau ausreichend. Es wird davon ausgegangen das die Tische so aufgestellt werden,dass möglichst viele an einem Platz haben. Wie viele Personen nehmen am Festessen teil?

Teilaufgabe 1.

%%n=%% Anzahl Tische

%%p=%% Anzahl Personen

Schmalseiten zusammengestellt:

%%p=n\cdot4+2%%

Längsseiten zusammengestellt:

%%p=n\cdot2+4%%

Teilaufgabe 2.

%%p=n\cdot4+2%%

%%n=5+1%%

%%p=6\cdot4+2%%

%%p=26%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es nehmen 26 Leute am dem Festessen teil.

Der Spielfeldrand eines Fußballfeldes der Breite %%b%% und Länge %%l%% soll von den Zuschauern den Abstand %%x%% haben. Christian, Monika und Peter schreiben Terme auf, die den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreiben:

Christian: %%2\cdot\left(l+x\right)\cdot x+2\cdot\left(b+x\right)\cdot x%%

Monika: %%\left(2x+l\right)\cdot\left(2x+b\right)-l\cdot b%%

Peter: %%x\cdot\left(l+x+x\right)\cdot2+x\cdot b\cdot2%%

a) Beschreibe – gegebenenfalls mit Hilfe einer Skizze – wie die drei jeweils ihren Term gefunden haben könnten.

b) Zeige, dass die Terme äquivalent sind.

c) Klaus stellt den Term %%2\cdot l \cdot x+2\cdot b\cdot x%% auf und behauptet, dass dieser auch den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreibt. Was meinst du dazu?

d) In der Münchner Allianz-Arena ist das Spielfeld 105m lang und 68m breit. Der Sicherheitsabstand beträgt 7,5 m. Welchen Flächeninhalt hat die Sicherheitszone?

 

Teilaufgabe a

Terme überprüfen

Skizze Christian:

 7713_EApW4dUObl.png

Skizze Monika:

4645_5tikyqvQvn.png

Skizze Peter:

4644_FnyZAHj4ad.png

Teilaufgabe b

Term aufstellen

Zeige, dass die Terme äquivalent sind, indem du sie gleichsetzt.

Term Christian = Term Monika

%%2\cdot\left(l+x\right)\cdot x+2\cdot\left(b+x\right)\cdot x=\left(2x+l\right)\cdot\left(2x+b\right)-l\cdot b%%

%%2lx+2x^2+2bx+2x^2=4x^2+2xb+2xl+lb-lb%%

Zusammenfassen.

%%2lx+4x^2+2bx=4x^2+2xb+2xl%%

%%\Rightarrow%% Die Terme von Christian und Monika sind also äquivalent.

Term Peter = Term Monika

  %%4x^2+2bx+2xl=x\cdot\left(l+2x\right)\cdot2+x\cdot b\cdot2%%

Beide Seiten ausmultiplizieren.

%%4x^2+2bx+2xl=2lx+4x^2+2bx%%

 

%%\Rightarrow%% Also sind sowohl Christians als auch Monikas und Peters Terme äquivalent zueinander. 

Teilaufgabe c

%%2\cdot l\cdot x+2\cdot b\cdot x\overset?=4x^2+2xb+2lx%%

%%2lx+2bx\neq4x^2+2xb+2lx%%

%%\Rightarrow%% Klaus Term beschreibt nicht den Flächeninhalt der Sicherheitszone da sein Term nicht äquivalent zu den anderen ist. Sein Term beschreibt nur den Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten des Spielfeldes %%l%% bzw. %%b%%

Teilaufgabe d

Term: %%4x^2+2xb+2xl%%

Variablen durch gegebene Zahlen ersetzen.

%%4\cdot7,5^2+2\cdot68\cdot7,5+2\cdot7,5\cdot105=%%

%%=225+1020+1575=2820\;\mathrm{m}^2%%

%%\Rightarrow%% Antwort: Der Flächeninhalt der Sicherheitszone beträgt %%2820\;\mathrm{m}^2%%

In einem Geschäft kostet ein Hammer ee Euro und cc Cent. Dazu kommen noch 19% MWSt.
Wie viel Cent kosten hh Hämmer einschließlich MWSt.? Welche Formel(n) ist /sind richtig?
19h(100c+e)19\cdot h\cdot \left(100c+e\right)
1,19h(100c+e)1,19\cdot h\cdot\left(100c+e\right)
1,19h(100e+c)1,19\cdot h\cdot \left(100e+c\right)
1,19he+c1001,19\cdot \frac{h\cdot e+c}{100}
h(100c+e)+19%h\cdot \left(100c+e\right)+19\%
0,19(100ce+h)0,19\cdot \left(100c\cdot e+h\right)
1,19(100ch+eh)1,19\cdot \left(100c\cdot h+e\cdot h\right)
0,19+100ch+eh0,19+100c\cdot h+e\cdot h
19ceh+100\sqrt{19c\cdot e\cdot h+100}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mit Formeln

Ansatz 3. ist richtig.
In einem Hotel kostet die Übernachtung 70€. Hinzu kommen möglicherweise sonstige Kosten (Restaurant, Telefon, etc.) Auf all das werden noch 16% MWSt erhoben. Gesucht ist eine Formel für den Rechnungsbetrag RR (in €) als Funktion der Zahl der Nächte NN und den sonstigen Kosten SS (in €). Welche Formel ist richtig?
  1. R=0,16(70N+S)R=0,16\cdot\left(70N+S\right)
  2. R=16(70N+S)R=16\cdot\left(70N+S\right)
  3. R=1,16(70N+S)R=1,16\cdot\left(70N+S\right)
  4. R=70N+S+0,16R=70N+S+0,16
  5. R=70N+S+16%R=70N+S+16\% 
  6. R=70NS16πR=70N^S-16\pi

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Ansatz 3 ist Richtg, der Rechnungsbetrag ergibt sich aus den Kosten für die Näche (70N)\left(70€\cdot N\right) und den Sonstigen Kosten (S) multipliziert mit 1,16 (Nettobetrag+16% vom Nettobetrag).
Stelle einen Term auf für den Mittelwert des Preises einer Ware in drei verschiedenen Geschäften:
Preis im ersten Geschäft: xx.
Preis im zweiten Geschäft: 12% 12\% billiger als im ersten.
Preis im ersten Geschäft ist im 25%25\% höher als im dritten Geschäft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme aufstellen

Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  1. Berechne zuerst den Preis im zweiten und dritten Geschäft in Abhängigkeit von xx. Dann hast du drei Terme: Für jedes Geschäft den Term, der den Preis in diesem Geschäft angibt.
  2. Berechne den Mittelwert (auch bekannt als "Durchschnitt") dieser Terme.

1. Berechnung der Preise in Abhängigkeit von xx

Erstes Geschäft

Der Preis im ersten Geschäft beträgt xx.

Zweites Geschäft

Der Preis im zweiten Geschäft ist um 12%12\% niedriger als im ersten Geschäft. Also musst du 12%12\% von xx abziehen, um auf den Preis im zweiten Geschäft zu kommen. 12%12\% von xx sind: 0,12x0,12\cdot x. Also ist der Preis im zweiten Geschäft:
x0,12x=0,88x.\displaystyle x-0,12\cdot x=0,88\cdot x.

Drittes Geschäft

Der Preis im ersten Geschäft ist um 25%\color{ff6600}25\% höher als der Preis im dritten Geschäft. Das kannst du mathematisch so aufschreiben:
x=Preis im ersten Gescha¨ft=1Preis im dritten Gescha¨ft+0,25Preis im dritten Gescha¨ft=1,25Preis im dritten Gescha¨ft\displaystyle \begin{array}{rcr} x = \text{Preis im ersten Geschäft} &=& 1\cdot \text{Preis im dritten Geschäft}\\ &&\color{ff6600} + 0,25 \cdot \text{Preis im dritten Geschäft}\\ &=& 1,25 \cdot \text{Preis im dritten Geschäft} \end{array}
Diese Gleichung kannst du nun nach dem Preis im dritten Geschäft umstellen:
Preis im dritten Gescha¨ft=x1,25\displaystyle \text{Preis im dritten Geschäft} = \dfrac{x}{1,25}
Dabei ist 1,25=541,25 = \frac54. Damit kannst du den Preis im dritten Geschäft nun berechnen:
Preis im dritten Gescha¨ft=x54=x45=0,8x\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{Preis im dritten Geschäft} &=& \dfrac{x}{\frac54}\\ &=& x \cdot\dfrac45 \\ &=& 0,8\cdot x \end{array}
Beim zweiten "=" wird mit dem Kehrbruch multipliziert. Wenn du nicht wusstest, dass man das hier machen muss, dann hilft dir der Artikel zur Division von Brüchen.

2. Berechnung des Mittelwerts

Nun hast du drei Terme, die jeweils den Preis in einem der Geschäfte beschreiben:
  • Preis im ersten Geschäft: x x
  • Preis im zweiten Geschäft: 0,88x0,88x
  • Preis im dritten Geschäft: 0,8x0,8x
Um den Mittelwert dieser drei Terme zu berechnen, musst du sie addieren und anschließend durch 33 (das ist die Anzahl der Terme) teilen:
x+0,88x+0,8x3=2,68x30,893x\displaystyle \dfrac{x + 0,88x + 0,8x}{3} = \dfrac{2,68x}{3} \approx 0,893x
Der Mittelwert der Terme ist also etwa 0,893x0,893x.
Mit diesem Ergebnis kannst du nun ermitteln, ob eines der drei Geschäfte billiger oder teuerer ist, als der Durchschnitt von allen drei Geschäften. Dies kannst du tun, indem du den Mittelwert der Terme mit den einzelnen Termen vergleichst.

Zum Beispiel ist 0,8x 0,8x weniger als 0,893x0,893x. Also ist das zweite Geschäft billiger als der Durchschnitt.

Und, wie sieht es mit den anderen beiden Geschäften aus? Sind sie billiger oder teurer als der Durchschnitt?
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