Exponentielles Wachstum (bzw. exponentieller Zerfall) beschreibt Änderungsprozesse, bei denen sich ein Wert in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor ändert.

Exponentielles Wachstum kann mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden:

$$N\left(t\right)=N_0\cdot a^t.$$

Dabei ist:

  • %%N(t):%% die Anzahl bzw. Größe von einem Wert %%N%% nach der Zeit %%t%% bzw. nach %%t%% Schritten,
  • %%N_0:\;\;%% die Anzahl bzw. Größe von einem Wert %%N%% zur Zeit "%%0%%" (oder vor dem ersten Schritt), also der Startwert,
  • %%a:\quad\;%% den Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor. Es gilt %%a\in\mathbb{R}^+\backslash\{1\},\;a%% ist also eine positive, reelle Zahl und ungleich %%1%%.

Diese Wachstumsfunktion %%N%% gehört zu der Familie der Exponentialfunktionen. Sie besitzt daher alle Eigenschaften, die eine allgemeine Exponentialfunktion hat.

Einführungsbeispiel

Plötzlich bricht die Zombieapokalypse aus! Es beginnt mit einem einzigen Zombie, der pro Stunde zwei weitere Menschen infiziert. Jeder neue Zombie tut es ihm gleich.

1. Frage: Wie viele Menschen sind nach 5 Stunden bereits zu Zombies geworden?

Zombie 1

Zombie 2

Nach einer Stunde hat der erste Zombie zwei Menschen infiziert.

%%\to%% Nach einer Stunde gibt es drei Zombies.

In der nächsten Stunde greift jeder der drei Zombies zwei weitere Menschen an. Insgesamt sind das %%3\cdot2=6%% weitere Menschen.

%%\to%% Nach zwei Stunden gibt es neun Zombies.

Nach drei Stunden wird es folglich %%9\cdot2=18%% weitere Zombies und insgesamt %%27%% Zombies geben.

Man erkennt, dass die Anzahlen (3, 9, 27) Dreierpotenzen sind. Es liegt daher nahe, dass die Funktionsgleichung %%N(t)=3^t%% heißt, wobei %%N%% die Anzahl der Zombies ist und %%t%% in Stunden angegeben wird.

Das Ergebnis lautet also:

Innerhalb von 5 Stunden gibt es %%N(5)=3^5=243%% Zombies.

2. Frage: Wie lange dauert es, bis ganz Europa (742,5 Millionen Menschen) zu Zombies wurde?

Um dies beantworten zu können, muss man Exponentialgleichungen mit Hilfe des Logarithmus lösen können.

Gesucht ist der Zeitpunkt %%t%%, bei dem %%N(t)=742\; 500\; 000%% gilt. Man setzt also den Funktionsterm gleich dem gegebenen %%N(t)%% und löst nach %%t%% auf:

$$\begin{array}{rcll} 742\;500\;000&=&3^t&|\ln()\\ \ln(742\;500\;000)&=&\ln(3^t)\\ \ln(742\;500\;000)&=&t\cdot\ln(3)&|:\ln(3)\\ \frac{\ln(742\;500\;000)}{\ln(3)}&=&t \end{array}$$

%%\,%%

Mit den Logarithmusregeln folgt damit:

$$\qquad\qquad\;\;\quad18,59\approx t$$

Auf eine ganze Zahl gerundet, lautet das Ergebnis:

Ganz Europa ist bereits nach 19 Stunden zombifiziert.

Halbwerts- und Verdoppelungszeit

Die Begriffe Halbwerts- und Verdoppelungszeit tauchen bei sehr vielen Vorgängen auf.
Bei radioaktiven Materialien interessiert man sich ganz häufig für deren Halbwertszeiten, bei Geldanlagen will man dagegen die Verdoppelungszeit wissen.

Wie ihre Namen schon verraten, geben sie den Zeitpunkt %%T%% an, zu dem sich ein Startwert (wie die Startmenge eines Stoffes) halbiert bzw. verdoppelt hat.

Bestimmung des Wachstums- bzw. Zerfallsfaktors

Beim exponentiellen Wachstum

Der Wachstumsfaktor ergibt sich aus der Änderungsrate %%p%% (%%p>0%%). Im Einführungsbeispiel war %%p=2%%, da immer zwei neue Zombies dazukamen.

%%a=1+p%%      (also ist  %%a>1%%)

Damit wird die Formel für das exponentielle Wachstum zu:

$$N\left(t\right)=N_0\cdot(1+p)^t$$

Beim exponentiellen Zerfall

Der Zerfallsfaktor ergibt sich aus der Änderungsrate %%p%%. Man sagt Zerfallsfaktor und nicht Wachstumsfaktor, wenn %%0<p<1%%.

%%a=1-p%%     (also ist %%a<1%%)

Damit wird die Formel für den exponentiellen Zerfall zu:

$$N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$$

Wachstumsgeschwindigkeit

Die Wachstumsgeschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit %%t%% ist definiert als die Ableitung %%N'(t)%% zu dieser Zeit.

Die Ableitung der Wachstumsfunktion %%N\left(t\right)=N_0\cdot a^t%% ist also:

%%N'(t)=N_0\cdot\left(a^t\right)'=N_0\cdot\ln(a)\cdot a^t%%

Hier zeigt sich ein Vorteil der Beschreibung von Wachstumsprozessen mit der %%e%%-Funktion. Denn damit lässt sich die Ableitung sehr leicht und schnell berechnen.

Mit der Zeit wird die Wachstumsgeschwindigkeit immer größer. Dies sieht man einmal am Graphen von monoton steigenden Exponentialfunktionen, der immer steiler wird. Man kann es sich auch mit Punktmengen veranschaulichen. Siehe dazu unten im Beispiel zum Bakterienwachstum.

Umgekehrt ist es bei Zerfallsprozessen. Die Zerfallsgeschwindigkeit ist zunächst sehr hoch und wird mit der Zeit schwächer.

Wichtige Beispiele

Bakterienwachstum

Ein Bakterium teilt sich nach jeder Stunde in zwei neue Bakterien. Jedes weitere Bakterium teilt sich auch wieder jede Stunde. Wieviele Bakterien sind es nach einem Tag?

%%N_0=1%%

%%p=1%%

%%t_1=24%%

Man schreibt zunächst die gegebenen Werte auf. Gesucht ist %%N(t_1)=N(24)%%.

Dann setzt man in die Funktionsgleichung ein und berechnet den Wert.

%%\begin{array}{rl} N(24)&=1\cdot(1+1)^{24}\\ &=2^{24}=16\;777\;216 \end{array}%%

Nach einem Tag sind es also %%16\;777\;216%% Bakterien.

Graphische Veranschaulichung

Im nebenstehenden Bild wird die steigende Wachstumsgeschwindigkeit anhand der zu den Bakterien gehörenden Funktionsgleichung %%N(t)=2^t%% verdeutlicht.

Bakterienwachstum

Zinseszinsrechnung

Man legt 500€ bei einer jährlichen Verzinsung von 3% an. Wieviel Geld hat man nach 5 Jahren?

%%N_0=500 \;€%%

%%p=3\%= 0,03%%

%%t_1=5 \;\mathrm{Jahre}%%

Man schreibt zunächst die gegebenen Werte auf. Gesucht ist %%N(t_1)=N(5)%%.

Dann setzt man in die Funktionsgleichung ein und berechnet den Wert.

%%\begin{array}{rl} N(5)&=500\cdot(1+0,03)^5\\ &=579,64 \end{array}%%

Nach 5 Jahren hat man also %%579,64€%%.

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Sogari 2018-03-10 22:36:09
Müsste bei der Definition von p beim exponentiellen Wachstum nicht gelten "..p(p>0).."? Im Satz danach definiert ihr ja auch a>1 und nicht >2.
Bestes Beispiel, dass p auch <1 sein kann ist ja der unten auch aufgeführte Zinseszins.
Oder sehe ich da was falsch?
Rebi 2018-03-12 19:04:26
Hallo Sogari,
du hast recht! Sehr gut, dass du diesen Fehler gefunden hast. Könntest du ihn vielleicht direkt selbst verbessern?
Das würde mich sehr freuen, wenn nicht kümmer ich mich in wenigen Tagen selbst darum.
Liebe Grüße,
Rebi
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Bernhard-Strauss 2017-12-13 10:58:47
Beim Thema "Beim exponentiellen Wachstum" wird dargestellt wie die Formel umgeschrieben werden kann. Ich finde für einen Schüler der mit so einem Thema Probleme hat, ist es nicht ganz nachvollziehbar, warum auf einmal a=1+p sein soll...wäre schöne wenn man da noch was zum aufklappen einbauen könnte :-)
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Zu article Exponentielles Wachstum: toller Artikel
SebSoGa 2016-06-27 13:18:08
Hallo Serlo-Team,

ich habe heute diesen Artikel entdeckt und finde ihn super! Das Beispiel mit der Zombie-Apokalypse finde ich besonders gut, da es den Artikel sehr interessant und einfach zu verstehen macht.
Genau solche kreativen Inhalte suchen wir um Serlo nach außen zu präsentieren.

Um diesen Artikel für unsere Startseite zu optimieren hätte folgende Anmerkungen:

1. Verwandte Inhalte ausbauen
2. Aufgaben einbauen
3. Passende Videos suchen

Nochmal Komplimente für diese mega Arbeit!
LG
Sebastian
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Zu article Exponentielles Wachstum: Begriffe Änderungsrate und Wachstumsfaktor bzw. Zerfallsfaktor
Renate 2015-11-28 21:42:54
Ich habe den Eindruck, dass hier in diesem Artikel die Begriffe "Änderungsrate" und "Wachstumsfaktor" (bzw. Zerfallsfaktor) falsch oder zumindest unüblich verwendet werden.

- Ich denke, dass nicht p, sondern a - also das, was hier als "Änderungsrate" bezeichnet wird - der "WACHSTUMSFAKTOR" ist (oder meinetwegen ggf. auch Zerfallsfaktor, aber darum soll es mir jetzt nicht gehen).

- p dagegen müsste meiner Auffassung nach "WACHSTUMSRATE" heißen,
[bzw. bei negativem p vielleicht Zerfallsrate, oder dann besser |p| Zerfallsrate und p nach wie vor Wachstumsfaktor?].

- Der Begriff "Änderungsrate" gehört meinem Empfinden nach zum linearen Wachstum (oder in die Differentialrechnung) und bezeichnet in der Regel den Quotienten Delta y durch Delta x. Im Zusammenhang exponentiellen Wachstums würde ich ihn daher nicht synonym zum Wachstumsfaktor verwenden.

Was meint ihr?

Gruß
Renate
Nessa 2015-12-08 13:14:25
Hallo Renate,
habe ein wenig recherchiert und du hast Recht, es wird durchweg a als Wachstums (Zerfalls)faktor bezeichnet.
Der Begriff "Änderungsrate" wird allerdings nicht nur bei linearem sondern auch bei exponentiellem Wachstum als Überbegriff für Wachstums- oder Zerfallsrate verwendet.

Ich habe den Artikel entsprechend abgeändert, danke für den Hinweis!

Liebe Grüße,
Nessa
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Zu article Exponentielles Wachstum: Visualisierung
Tinsaye 2015-11-05 17:54:16
Ein oder zwei Bildchen (Grafen ) könnten nicht schaden....
Und hier noch ein schönes Video: https://www.youtube.com/watch?v=VN1dNLgJOGY
Das wäre ein so idealer Artikel den man schön Visuell und Beispielhaft gestalten könnte. Und bald auch mit schönen Verlinkungen zur Serlo-Physik.
Schönen Gruß
Tinsaye
Nessa 2015-11-27 15:30:44
Hallo Tinsaye,

habe den Artikel nun aufgesplittet. Es werden demnächst noch die Artikel "Halbwerts- und Verdoppelungszeit" und "Wachstums- und Zerfallsprozesse mit der e-Funktion" aufgearbeitet.

Ich kann mir gut vorstellen, diesen Artikel noch weiter zu kürzen, die Inhalte aber nicht verschwinden zu lassen oder zu verschieben, sondern einen Kurs zu exponentiellem Wachstum/Zerfall aufzubauen.
Bis dahin bleibt der Artikel etwas länger.

Ich habe auf den Graphen der Exponentialfunktion verwiesen und anschauliche Grafiken eingefügt. Würde auch gerne das Video einbinden, aber da muss ich nochmal nachfragen, wie ich das ordentlich machen kann.
Würde mich über Feedback zum Artikel und den langfristigen Ideen freuen!

Liebe Grüße,
Nessa
Tinsaye 2015-11-30 12:57:16
Finde der Artikel ist deutlich ansprechender geworden. Persönlich empfinde ich den Artikel jetzt nicht zu lange aber einen Kurs zum Thema zu erstellen finde ich trotzdem sinnvoll.