Eine reelle Funktion (d.h. eine Funktion, deren Definitionsmenge eine Teilmenge von %%\mathbb{R}%% ist und nur Werte in  %%\mathbb{R}%% hat) heißt monoton steigend (oder monoton wachsend), wenn für alle %%x,y%% aus der Definitionsmenge gilt:

$$x<y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$$

Analog heißt eine relle Funktion monoton fallend, wenn für alle %%x,y%% aus der Definitionsmenge gilt:

$$x<y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$$

Anschaulich bedeutet das: Wird der %%x%%-Wert größer, so wird bei einer monoton steigenden Funktion auch der Funktionswert %%f(x)%% größer oder bleibt gleich. Genauso nennt man eine Funktion monoton fallend, wenn die Funktionswerte bei wachsendem %%x%% kleiner werden oder gleich bleiben.

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion. Im Artikel Monotonieverhalten berechnen wird erklärt, wie sich das Monotonieverhalten einer Funktion untersuchen lässt.

Strenge Monotonie

Strenge Monotonie ist eine stärkere Eigenschaft als einfache Monotonie. 

Eine Funktion heißt streng monoton steigend, wenn gilt:

$$x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$$

Sie ist streng monoton fallend, wenn gilt

$$x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$$

Der Unterschied zu der einfachen Monotonie besteht darin, dass keine konstanten Abschnitte mehr erlaubt werden.

Beispiele

streng monoton steigend

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9606_dOzbBGPt1I.xml

streng monoton fallend

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9594_oFfPcXDj8u.xml

monoton steigend

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9608_QmoRwWLbF7.xml

monoton fallend

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9612_XkjX6G4I6f.xml

Bezug zur Ableitung

Ist die Funktion %%f%% differenzierbar, so lässt sich die Monotonie an der Ableitung ablesen:

  • Gilt %%f'(x) \geq 0%% für alle %%x%%, so ist %%f%% monoton steigend. Gilt sogar %%f'(x) > 0%%, so ist %%f%% streng monoton steigend.
  • Gilt %%f'(x) \leq 0%% für alle %%x%%, so ist %%f%% monoton fallend. Gilt sogar %%f'(x) < 0%%, so ist %%f%% streng monoton fallend.

Dies wird beim Vorzeichenkriterium zur Charakterisierung von Extrema ausgenutzt.

Monotonieintervalle

Viele Funktionen sind nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich monoton steigend oder fallend, sondern nur auf bestimmten Intervallen. (so ist z. B. %%f(x)=x^2%% streng monoton fallend im Intervall %%\rbrack-\infty,0\rbrack%% und streng monoton steigend im Intervall %%\lbrack0,\infty\lbrack%% ).

Diese Intervalle heißen Monotonieintervalle von %%f%%.

Beispiel Monotonieintervalle

Die Funktion %%f%% ist im roten Bereich monoton steigend und im blauen Bereich monoton fallend.

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Zu article Monotonie:
Dihydrogenmonoxid 2019-09-21 11:58:44
Eine Funktion hat die Ableitungsfunktion: f'(x)=-x^2*(x-2)*(x+2). Ist sie bei -2<x<2 für f streng monoton steigend? Schließlich hat die Funktion in 0 eine Sattelstelle also wäre sie eigentlich nur monoton steigend oder sehe ich das falsch, weil unsere Lehrerin meinte, dass sie streng monoton steigend ist, da die Funktion in [-2;0] und in [0;2] str. mo. steigend ist.
ClaudiaR 2019-09-23 14:39:07
Hallo Dihydrogenmonoxid,
die Funktion ist tatsächlich streng monoton steigend im Intervall [-2;2]. Der Sattelpunkt ist kein Problem. (Um dir das klar zu machen, könntest du aufschreiben, wie f konkret aussieht. Dann kannst du die Definition nachprüfen, also x<y => f(x)<f(y).) Die strenge Monotonie wäre nur verletzt, wenn die Ableitung f' auf einem Intervall [x;y] in [-2;2] gleich 0 wäre oder das Vorzeichen wechseln würde.
Viele Grüße
Claudia
florian30 2019-09-23 15:03:44
Hi Dihydrogenmonoxid,
wie deine Lehrerin richtig sagt, ist die Funktion streng monoton steigend.
Aber ich verstehe deine Argumentation. Wenn du dir die Definition nochmal anschaust, so sagt sie folgendes aus:
Wenn an jeder Stelle die Ableitung f'(x) > 0 ist, dann ist f zwingend streng monoton steigend.
Die Definition in diesem Artikel sagt jedoch nicht aus:
Wenn f streng monoton steigend ist, dann ist zwingend an jeder Stelle f'(x) > 0.
Du verwendest in deiner Argumentation die zweite, falsche Aussage.
Vielleicht wird es durch ein Alltagsbeispiel deutlicher:
Wenn es regnet, wird der Boden nass.
Aber nur weil der Boden nass ist, muss es nicht zwingend geregnet habe. Du könntest ja auch mit einer Gießkanne den Boden gegossen haben.
Falls noch Fragen offen sind, kannst du gerne weitere Fragen stellen.

Liebe Grüße,
florian30
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