Aufgaben
Bei welchen der folgenden Funktionen kann man das Substitutionsverfahren anwenden?
Klicke auf die richtigen Funktionen.
g(x)=2x4+2x224g(x)=2x^4+2x^2-24
l(x)=3x8+3x46l(x)=3x^8+3x^4-6
f(x)=4x3+2x+1f(x)=4x^3+2x+1
h(x)=4x84x6+1h(x)=4x^8-4x^6+1
k(x)=x4+2x33x2+x7k(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Substitutionsverfahren

Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.

Richtige Antwortmöglichkeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind g(x)g(x) und l(x)l(x).
  • Bei g(x)=2x44x224g(x)=2x^\color{#ff6600}{4}-4x^\color{#009999}{2}-24 hast du die Exponenten 4\color{#ff6600}{4} und 2\color{#009999}{2}. Da 4\color{#ff6600}{4} das Doppelte von 2\color{#009999}{2} ist, kannst du folgende Substitution machen:
    g(x)=2x44x224=2(x2)24x224g(x)=2x^4-4x^2-24=2{(x^2)}^2-4x^2-24
    Setze u=x2u=x^2,
    dann folgt g(u)=2u24u24g(u)=2u^2-4u-24.
  • Bei l(x)=3x8+3x46l(x)=3x^\color{#ff6600}{8}+3x^\color{#009999}{4}-6 hast du die Exponenten 8\color{#ff6600}{8} und 4\color{#009999}{4}. Da 8\color{#ff6600}{8} das Doppelte von 4\color{#009999}{4} ist, kannst du folgende Substitution machen:
    l(x)=3x8+3x46=3(x4)2+3x46l(x)=3x^8+3x^4-6=3{(x^4)}^2+3x^4-6
    Setze u=x4u=x^4,
    dann folgt l(u)=3u2+3u6l(u)=3u^2+3u-6.

Falsche Antwortmöglickeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind f(x)f(x), h(x)h(x) und k(x)k(x).
  • Bei f(x)=4x3+2x+1f(x)=4x^\color{#ff6600}{3}+2x+1 hast du die Exponenten 3\color{#ff6600}{3} und 1\color{#009999}{1}. (Die 1\color{#009999}{1} kommt von 2x=2x12x=2x^\color{#009999}{1}.) Da 3\color{#ff6600}{3} nicht das Doppelte von 1\color{#009999}{1} ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.
  • Bei h(x)=4x84x6+1h(x)=4x^\color{#ff6600}{8}-4x^\color{#009999}{6}+1 hast du die Exponenten 8\color{#ff6600}{8} und 6\color{#009999}{6}. Da 8\color{#ff6600}{8} nicht das Doppelte von 6\color{#009999}{6} ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.
  • Bei k(x)=x4+2x33x2+x7k(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-7 kannst du die Substitution auch nicht anwenden, da die Exponenten jeweils um 11 größer werden und sich somit nicht immer verdoppeln.

Zusammenfassung

Insgesamt kannst du also bei g(x)g(x) und l(x)l(x) die Substitution anwenden und bei f(x)f(x), h(x)h(x) und l(x)l(x) nicht.
Klicke auf die richtigen Funktionen.
f(z)=z4+z212f(z)=z^4+z^2-12
g(a)=a10a5+1g(a)=a^{10}-a^5+1
k(u)=14u612u3+4k(u)=\frac{1}{4}u^6-\frac{1}{2}u^3+4
h(x)=4x52x3+1h(x)=4x^5-2x^3+1
l(s)=s4+3s3+3l(s)=s^4+3s^3+3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Substitutionsverfahren

Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.

Richtige Antwortmöglichkeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind f(z)f(z), g(a)g(a) und k(u)k(u).
  • Bei f(z)=z4+z212f(z)=z\color{#ff6600}{^4}+z\color{#009999}{^2}-12 hast du die Exponenten 4\color{#ff6600}{4} und 2\color{#009999}{2}. Da 4\color{#ff6600}{4} das Doppelte von 2\color{#009999}{2} ist, kannst du folgende Substitution machen:
    f(z)=z4+z212=(z2)2+z212f(z)=z^4+z^2-12={(z^2)}^2+z^2-12
    Setze u=z2u=z^2,
    dann folgt f(u)=u2+u12f(u)=u^2+u-12.
  • Bei g(a)=a10a5+1g(a)=a^\color{#ff6600}{10}-a^\color{#009999}{5}+1 hast du die Exponenten 10\color{#ff6600}{10} und 5\color{#009999}{5}. Da 10\color{#ff6600}{10} das Doppelte von 5\color{#009999}{5} ist, kannst du folgende Substitution machen:
    g(a)=a10a5+1=(a5)2a5+1g(a)=a^{10}-a^5+1={(a^5)}^2-a^5+1
    Setze u=a5u=a^5,
    dann folgt g(u)=u2u+1g(u)=u^2-u+1.
  • Bei k(u)=14u612u3+4k(u)=\frac14u^\color{#ff6600}{6}-\frac12u^\color{#009999}{3}+4 hast du die Exponenten 6\color{#ff6600}{6} und 3\color{#009999}{3}. Da 6\color{#ff6600}{6} das Doppelte von 3\color{#009999}{3} ist, kannst du folgende Substitution machen:
    k(u)=14u612u3+4=14(u3)212u3+4k(u)=\frac14u^6-\frac12u^3+4=\frac14{(u^3)}^2-\frac12u^3+4
    Setze x=u3x=u^3,
    dann folgt k(x)=14x212x+4k(x)=\frac14x^2-\frac12x+4.

Falsche Antwortmöglickeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind h(x)h(x) und l(s)l(s).
  • Bei h(x)=4x52x3+1h(x)=4x^\color{#ff6600}{5}-2x\color{#009999}{^3}+1 hast du die Exponenten 5\color{#ff6600}{5} und 3\color{#009999}{3}. Da 5\color{#ff6600}{5} nicht das Doppelte von 3\color{#009999}{3} ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.
  • Bei l(s)=s4+3s3+3l(s)=s^\color{#ff6600}{4}+3s^\color{#009999}{3}+3 hast du die Exponenten 4\color{#ff6600}{4} und 3\color{#009999}{3}. Da 4\color{#ff6600}{4} nicht das Doppelte von 3\color{#009999}{3} ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.

Zusammenfassung

Insgesamt kannst du also bei f(z)f(z), g(a)g(a) und k(u)k(u) die Substitution anwenden und bei h(x)h(x) und l(s)l(s) nicht.

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Substitution.

%%f(x)=x^4-5x^2+4%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%f(x)=x^4-5x^2+4%%

In %%f(x)%% wird %%x^2%% durch %%u%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%f(u)%% erhält.

%%f(u)=u^2-5u+4%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}%%

Unter der Wurzel subtrahieren.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{5\pm3}2%%

%%u_1=4%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=1%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=u_1=4%%

Wurzel ziehen.

%%x_{1,2}=\pm2%%

%%x_{3,4}^2=u_2=1%%

%%x_{3,4}=\pm1%%

Die Funktion %%f(x)%% hat vier Nullstellen bei %%x_1=2%%, %%x_2=-2%%, %%x_3=1%%, %%x_4=-1%% .

%%g(x)=2x^4-34x^2+32%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%g(x)=2x^4-34x^2+32%%

In %%g(x)%% wird %%x^2%% durch %%u%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%g(u)%% erhält.

%%g(u)=2u^2-34u+32%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{34\pm\sqrt{(-34)^2-4\cdot2\cdot32}}{2\cdot 2}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{34\pm\sqrt{1156-256}}{2}%%

Unter der Wurzel subtrahieren.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{34\pm\sqrt{900}}{4}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{34\pm30}4%%

%%u_1=16%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=1%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=u_{1}=16%%

Wurzel ziehen.

%%x_{1,2}=\pm4%%

%%x_{3,4}^2=u_{2}=1%%

%%x_{3,4}=\pm1%%

Die Funktion %%g(x)%% hat vier Nullstellen bei %%x_1=4%%, %%x_2=-4%%, %%x_3=1%%, %%x_4=-1%% .

%%h(u)=-u^4+24u^2+25%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%h(u)=-u^4+24u^2+25%%

In %%h(u)%% wird %%u^2%% durch %%x%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%h(x)%% erhält.

%%h(x)=-x^2+24x+25%%

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-24\pm\sqrt{24^2-4\cdot(-1)\cdot25}}{2\cdot(-1)}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{x_{1,2}}=\frac{-24\pm\sqrt{576+100}}{2}%%

Unter der Wurzel addieren.

%%\displaystyle \phantom{x_{1,2}}=\frac{-24\pm\sqrt{676}}{-2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle\phantom{x_{1,2}}=\frac{-24\pm26}{-2}%%

%%x_1=-1%%

Fall 1: %%+%%

%%x_2=25%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%u_{1,2}^2=x_1=-1%%

Für %%\sqrt{-1}%% gibt es keine reelle Lösung.

%%u_{3,4}^2=x_2=25%%

Wurzel ziehen.

%%u_{3,4}=\pm5%%

Da es für %%u_{1,2}%% keine reelle Lösung gibt, sind %%u_{3,4}%% die einzigen Nullstellen von %%h(u)%%.

Die Funktion %%h(u)%% hat zwei Nullstellen bei %%u_3=5%%, %%u_4=-5%%.

%%i(x)=x^6+\frac{37}{8}x^3-27%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%i(x)=x^6+\frac{37}{8}x^3-27%%

In %%i(x)%% wird %%x^3%% durch %%u%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%i(u)%% erhält.

%%i(u)=u^2+\frac{37}{8}u-27%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{{-\frac{37}{8}}\pm\sqrt{\left({-\frac{37}{8}}\right)^2-4\cdot1\cdot(-27)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{{-\frac{37}{8}}\pm\sqrt{\frac{8281}{64}}}2%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{{-\frac{37}{8}}\pm\frac{91}{8}}2%%

%%u_{1}=3{,}375%%

Fall 1: %%+%%

%%u_{2}=-8%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1}^3=u_1=3{,}375%%

%%x_1=\sqrt[3]{3{,}375}=1{,}5%%

%%x_{2}^3=u_2=-8%%

Dritte Wurzel ziehen.

%%x_2=-\sqrt[3]{8}=-2%%

Die Funktion %%i(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_1=1{,}5%%, %%x_2=-2%% .

%%k(x)=x^6+5x^3-36%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%k(x)=x^6+5x^3−36%%

In %%k(x)%% wird %%x^3%% durch %%u%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%k(u)%% erhält.

%%k(u)=u^2+5u-36%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(-36)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{-5\pm\sqrt{25+144}}{2}%%

Unter der Wurzel addieren.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{-5\pm\sqrt{169}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{-5\pm13}2%%

%%u_1=4%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=-9%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_1^3=u_1=4%%

%%x_1=\sqrt[3]{4}%%

%%x_2^3=u_2=-9%%

Dritte Wurzel ziehen.

%%x_2=-\sqrt[3]{9}%%

Die Funktion %%k(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_1=\sqrt[3]{4}%%, %%x_2=-\sqrt[3]{9}%% .

%%l(x)=x^8-18x^4+32%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%l(x)=x^8−18x^4+32%%

In %%l(x)%% wird %%x^4%% durch %%u%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%l(u)%% erhält.

%%l(u)=u^2-18u+32%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{18\pm\sqrt{(-18)^2-4\cdot1\cdot32}}{2\cdot1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{18\pm\sqrt{324-128}}{2}%%

Unter der Wurzel subtrahieren.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{18\pm\sqrt{196}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{18\pm14}2%%

%%u_1=16%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=2%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^4=u_1=16%%

%%x_{1,2}=\pm2%%

%%x_{3,4}^4=u_2=2%%

Vierte Wurzel ziehen.

%%x_{3,4}=\pm\sqrt[4]{2}%%

Die Funktion %%l(x)%% hat vier Nullstellen bei %%x_1=2%%, %%x_2=-2%%, %%x_3=\sqrt[4]{2}%%, %%x_4=-\sqrt[4]{2}%% .

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen.

%%f(x)=\frac{1}{4}x^5-3x^3+8x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=\frac{1}{4}x^5−3x^3+8x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=\frac{1}{4}x^5−3x^3+8x%%

%%\phantom{0}=x\cdot\left(\frac{1}{4}x^4−3x^2+8\right)%%

%%x_1=0%%

%%\left(\frac{1}{4}x^4−3x^2+8\right)=0%%

Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%\frac{1}{4}x^4−3x^2+8=0%%

%%x^2%% wird durch %%u%% ersetzt.

%%\frac{1}{4}u^2-3u+8=0%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot\frac{1}{4}\cdot8}}{2\cdot\frac{1}{4}}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{0{,}5}%%

Unter der Wurzel subtrahieren.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{3\pm\sqrt{1}}{0{,}5}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{3\pm1}{0{,}5}%%

%%u_1=8%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=4%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{2,3}^2=u_1=8%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt2%%

%%x_{4,5}^2=u_2=4%%

Radizieren.

%%x_{4,5}=\pm\sqrt{4}=\pm2%%

Die Funktion %%f(x)%% hat fünf Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=2\sqrt2%%, %%x_3=-2\sqrt2%%, %%x_4=2%%, %%x_5=-2%% .

%%g(x)=x^7-7x^4-8x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%g(x)=x^7-7x^4-8x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=x^7-7x^4-8x%%

%%\phantom{0}=x\cdot\left(x^6-7x^3-8\right)%%

%%x_1=0%%

%%\left(x^6-7x^3-8\right)=0%%

Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%x^6-7x^3-8=0%%

%%x^3% %% wird durch %%u%% ersetzt.

%%u^2-7u-8=0%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{7\pm\sqrt{49+32}}{2}%%

Unter der Wurzel addieren.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{7\pm\sqrt{81}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{7\pm9}{2}%%

%%u_1=8%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=-1%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{2}^3=u_1=8%%

%%x_{2}=\sqrt[3]{8}=2%%

%%x_{3}^3=u_2=-1%%

Dritte Wurzel ziehen.

%%x_{3}=-\sqrt[3]{1}=-1%%

Die Funktion %%g(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=2%%, %%x_3=-1%% .

%%h(u)=u^5-13u^3+36u%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%h(u)=u^5-13u^3+36u%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=u^5-13u^3+36u%%

%%\phantom{0}=u\cdot\left(u^4-13u^2+36\right)%%

%%u_1=0%%

%%\left(u^4-13u^2+36\right)=0%%

Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u^4-13u^2+36=0%%

%%u^2%% wird durch %%x%% ersetzt.

%%x^2-13x+36=0%%

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{13\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot1\cdot36}}{2\cdot1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle \phantom{x_{1,2}}=\frac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}%%

Unter der Wurzel subtrahieren.

%%\displaystyle \phantom{x_{1,2}}=\frac{13\pm\sqrt{25}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle\phantom{x_{1,2}}=\frac{13\pm5}{2}%%

%%x_1=9%%

Fall 1: %%+%%

%%x_2=4%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%u_{2,3}^2=x_1=9%%

%%u_{2,3}=\pm\sqrt{9}=\pm3%%

%%u_{4,5}^2=x_2=4%%

Radizieren.

%%u_{4,5}=\pm\sqrt{4}=\pm2%%

Die Funktion %%h(u)%% hat fünf Nullstellen bei %%u_1=0%%, %%u_2=3%%, %%u_3=-3%%, %%u_4=2%%, %%u_5=-2%% .

%%k(z)=2z^7+14z^4-16z%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%k(z)=2z^7+14z^4-16z%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=2z^7+14z^4-16z%%

%%\phantom{0}=z\cdot\left(2z^6+14z^3-16\right)%%

%%z_1=0%%

%%\left(2z^6+14z^3-16\right)=0%%

Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%2z^6+14z^3-16=0%%

%%z^3%% wird durch %%u%% ersetzt.

%%2u^2+14u-16=0%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot2\cdot(-16)}}{2\cdot2}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{-14\pm\sqrt{196+128}}{4}%%

Unter der Wurzel addieren.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{-14\pm\sqrt{324}}{4}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{-14\pm18}{4}%%

%%u_1=1%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=-8%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%z_{2}^3=u_1=1%%

%%z_{2}=\sqrt[3]{1}=1%%

%%z_{3}^3=u_2=-8%%

Dritte Wurzel ziehen.

%%z_{3}=-\sqrt[3]{8}=-2%%

Die Funktion %%k(z)%% hat drei Nullstellen bei %%z_1=0%%, %%z_2=1%%, %%z_3=-2%% .

Finde und begründe den Fehler bei den folgenden Nullstellenbestimmungen.
Nullstellenbestimmung mittels Substitution

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen einer Funktion ff sind die xx-Werte, für die f(x)=0f(x)=0 wird.
f(x)=x46x2+8f(x)=x^4-6x^2+8
Man wollte mithilfe der Substitution und des Satzes von Vieta die Nullstellen von f(x)f(x) bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch der Satz von Vieta richtig angewandt.
Zur Bestimmung von u1,2u_{1,2} wäre natürlich auch das Anwenden der Mitternachtsformel möglich und richtig gewesen.
Die angegebenen Nullstellen 22 und 44 sind allerdings nicht die Nullstellen von f(x)f(x), sondern die Nullstellen der substituierten Funktion f(u)=u26u+8f(u)=u^2-6u+8.
Grund: Es wurde nicht resubstituiert. Da nämlich x2=ux^2=u gilt, muss für die Lösung der Nullstellen noch die Wurzel aus 22 und 44 gezogen werden.
Somit hat f(x)f(x) eigentlich die vier Nullstellen:
x1,2=±2x_{1,2}=\pm\sqrt{2}
x3,4=±4=±2x_{3,4}=\pm\sqrt{4}=\pm2
Nullstellenbestimmung mittels Substitution

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen einer Funktion ff sind die xx-Werte, für die f(x)=0f(x)=0 wird.
g(x)=x412x2+27g(x)=x^4-12x^2+27
Man wollte mithilfe der Substitution und der Mitternachtsformel die Nullstellen von g(x)g(x) bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch die Mitternachtsformel richtig angewandt.
Jedoch sind die angegebenen Nullstellen zu wenige.
Grund: Bei der Resubstitution werden s1s_1 sowie s2s_2 radiziert. Dabei kann die Lösung sowohl negativ als auch positiv sein.
Somit hat g(x)g(x) eigentlich die vier Nullstellen:
x1,2=±9=±3x_{1,2}=\pm\sqrt9=\pm3
x3,4=±3x_{3,4}=\pm\sqrt3

Begründe mithilfe des Substitutionsverfahrens, warum die Funktion %%f(x)=x^4-8x^2-9%% nur zwei Nullstellen besitzt.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%f(x)=x^4−8x^2−9%%

In %%f(x)%% wird %%x^2%% durch %%u%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%f(u)%% erhält.

%%f(u)=u^2-8u-9%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot(-9)}}{2\cdot1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}%%

Unter der Wurzel addieren.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{8\pm\sqrt{100}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle\phantom{u_{1,2}}=\frac{8\pm10}{2}%%

%%u_1=9%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=-1%%

Fall 2: %%-%%

Da noch resubstituiert werden muss, gilt für die Nullstellen von %%f(x)%%:

%%x_{1,2}=\pm\sqrt{u_1}%% und %%x_{3,4}=\pm\sqrt{u_2}%%

Jedoch gibt es für %%x_{3,4}%% keine reelle Lösung, da %%u_2%% negativ ist.

Somit hat %%f(x)%% nur die zwei Nullstellen %%x_{1}=\sqrt9=3%% und %%x_2=-\sqrt9=-3%% .

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