Aufgaben

Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion %%f(x) = ax^2 + bx + c%%. Die Punkte %%\mathrm{R}(1|2)%%, %%\mathrm{Q}(-1|3)%% und %%\mathrm{S}(0|1)%% liegen auf dem Graphen der Funktion %%f%%.

Du möchtest nun mithilfe dieser Informationen auf die Parameter %%a%%, %%b%% und %%c%% schließen.

Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten %%a%%, %%b%% und %%c%% auf.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Der Funktionsgraph hat die Gleichung %%y = ax^2 + bx + c%%.

Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{R}%% einsetzen

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze den Punkt %%\mathrm{R}(1|2)%% in die Gleichung ein.

%%2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c%%

Du erhältst deine erste Gleichung.

%%\mathrm{I}\quad 2 = a + b + c%%

%%\;%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(-1|3)%% in die Gleichung ein.

%%3 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c%%

Du erhältst deine zweite Gleichung.

%%\mathrm{II}\quad 3 = a - b + c%%

%%\;%%

Punkt %%\mathrm{S}%% einsetzen

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze den Punkt %%\mathrm{S}(0|1)%% in die Gleichung ein.

%%1 = a\cdot (0)^2 + b\cdot 0 + c%%

Du erhältst deine dritte Gleichung.

%%\mathrm{III}\quad 1 = c%%

%%\;%%

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\ \mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\ \mathrm{III} &1& = &&&&&c& \end{array}%%

Löse das Gleichungssystem.

Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\ \mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\ \mathrm{III} &1& = &&&&&c& \end{array}%%

Aus der dritten Gleichung folgt direkt:

%%c = 1%%

Setze %%c = 1%% in die anderen beiden Gleichungen ein:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &2& = &a& + &b& + &1&\\ \mathrm{II'} &3& = &a& - &b& + &1&\\ \end{array}%%

Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%%.

%%\;%%

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable %%b%% mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.

Addiere die Gleichung %%\mathrm{I'}%% zu %%\mathrm{II'}%%. Du erhältst eine neue Gleichung %%\mathrm{I''}%%.

%%\begin{array}{rlrl} \mathrm{I'} + \mathrm{II'} \rightarrow \mathrm{I''} &| &5 &= &2a &+ &2 \\ \end{array}%%

Löse nach der Unbekannten %%a%% auf.

%%a = \frac{3}{2}%%

%%\;%%

Setze %%a = \frac{3}{2}%% in Gleichung %%\mathrm{I'}%% ein, um den Parameter %%b%% zu bestimmen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &2& = &\frac{3}{2}& + &b& + &1&\\ \end{array}%%

Löse nach %%b%% auf.

%%b = -\frac{1}{2}%%

%%\;%%

Gib die Lösungsmenge an:

$$\mathbb{L}=\{(a|b|c) \in \mathbb{R^3}|a=\frac{3}{2}\ ;\ b=-\frac{1}{2} \ ;\ c =1\}$$

Bestimme jeweils eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt.

Die Funktion ist vom Grad 2, besitzt zwei Nullstellen bei %%x_1=1%%, %%x_2=2%% und geht durch den Punkt %%P(3|-2)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 2. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^2+bx+c%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)%%.

Die Funktion besitzt zwei Nullstellen bei %%x_1=1%% und %%x_2=2%%. Somit kann man die Nullstellenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x-1)(x-2)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(3|-2)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%-2=a\cdot(3-1)(3-2)=a\cdot2\cdot1%%

%%-2=2a%%

%%|:2%%

%%-1=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=-1\cdot(x-1)(x-2)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=-1\cdot(x^2-3x+2)%%

%%\phantom{f(x)}=-x^2+3x-2%%

Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-2%%, eine einfache Nullstelle bei %%x_3=0%% und verläuft durch den Punkt %%P(-1|-2)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)%%.

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-2%% und eine einfache Nullstelle bei %%x_3=0%%. Somit kann man die Nullstellenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x+2)(x+2)(x-0)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(-1|-2)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%-2=a\cdot(-1+2)(-1+2)(-1-0)%%

%%\phantom{-2}=a\cdot1\cdot1\cdot(-1)=-a%%

%%|:-1%%

%%2=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=2\cdot(x+2)(x+2)(x-0)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=2x(x^2+4x+4)%%

%%\phantom{f(x)}=2x^3+8x^2+8x%%

Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine einfache Nullstelle bei %%x=-1%% und verläuft durch die Punkte %%P(0|-4)%% und %%Q(2|24)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e%%. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit ungeraden Exponenten und es ergibt sich %%f(x)=ax^4+cx^2+e%%.

Aus den gegebenen Punkten und der der Nullstelle, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{P}%% einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze den Punkt %%\mathrm{P}(0|-4)%% in die Gleichung ein.

%%-4=a\cdot0^4+c\cdot0^2+e=e%%

%%\mathrm{I}\quad -4 = e%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(2|24)%% in die Gleichung ein.

%%24=a\cdot2^4+c\cdot2^2+e=16a+4c+e%%

%%\mathrm{II}\quad 24 = 16a+4c+e%%

Nullstelle einsetzen

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

Setze die Nullstelle %%x=-1%% in die Gleichung ein.

%%0=a\cdot1^4+c\cdot1^2+e=a+c+e%%

%%\mathrm{III}\quad 0= a+c+e%%

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-4& = &&&&&e&\\ \mathrm{II} &24& = &16a& + &4c& + &e\\ \mathrm{III} &0& = &a& + &c& + &e& \end{array}%%

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%e=-4%%

Setze %%e=-4%% in die anderen beiden Gleichungen ein:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &24& = &16a& + &4c& - &4&|:4\\ &6& = &4a& + &c& - &1&\\ \mathrm{III'} &0& = &a& + &c& - &4&\\ \end{array}%%

Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach %%c%% in der Gleichung %%\mathrm{III'}%% auflöst.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &0&&& = &a& + &c& - &4&|+4\\ &4& &&= &a& + &c& &&|-a\\ &4& - &a& = && &c& &&|-a\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=4-a%% in der Gleichung %%\mathrm{II'}%% ersetzen und dann vereinfachen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II''} &6& = &4a& + &4-a& - &1&\\ &6& = &3a& + &3& &&|-3\\ &3& = &3a& && &&|:3\\ &1& = &a& \\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{III'}%% weißt du, dass %%c=4-a%%. Setze %%a=1%% in diese Gleichung ein.

%%c=4-1=3%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=1%%, %%c=3%% und %%e=-4%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=x^4+3x^2-4%%

Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte %%P\left(1|-1,5\right)%% und %%Q\left(3|7,5\right)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%. Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit geraden Exponenten und es ergibt sich %%f(x)=ax^3+cx%%.

Aus den gegebenen Punkten kannst du zwei Gleichungen aufstellen, die beide erfüllt sein müssen.

Punkt %%\mathrm{P}%% einsetzen

%%f(x)=ax^3+cx%%

Setze den Punkt %%\mathrm{P}(1|-1,5)%% in die Gleichung ein.

%%-1,5=a\cdot1^3+c\cdot1=a+c%%

%%\mathrm{I}\quad -1,5 = a+c%%

Punkt %%\mathrm{Q}%% einsetzen

%%f(x)=ax^3+cx%%

Setze den Punkt %%\mathrm{Q}(3|7,5)%% in die Gleichung ein.

%%7,5=a\cdot3^3+c\cdot3=27a+3c%%

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II}&7,5& = &27a& + &3c&|:3\\ &2,5& = &9a& + &c&\\ \end{array}%%

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Das Gleichungssystem lautet also:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-1,5& = &a& + &c&\\ \mathrm{II} &2,5& = &9a& + &c&\\ \end{array}%%

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, indem man z.B. nach %%c%% in der Gleichung %%\mathrm{I}%% auflöst.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-1,5&&& = &a& + &c&|-a\\ &-1,5& - &a& = && &c&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=-1,5-a%% in der Gleichung %%\mathrm{II}%% ersetzen und dann vereinfachen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &2,5& = &9a& - &1,5-a&\\ &2,5& = &8a& - &1,5&|+1,5\\ &4& = &8a& &&|:8\\ &\frac12& = &a& &&|:8\\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{I}%% weißt du, dass %%c=-1,5-a%%. Setze %%a=\frac12%% in diese Gleichung ein.

%%c=-1,5-\frac12=-2%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=\frac12%% und %%c=-2%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=\frac12x^3-2x%%

Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=1%% und geht durch den Punkt %%P(0|3)%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form %%f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e%% bzw. die Nullstellenform %%f(x)=a\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)%%.

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=1%%. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei %%x_{3,4}=-1%%. Somit kann man die Nullstllenform aufstellen:

%%f(x)=a\cdot(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)%%

Außerdem liegt der Punkt %%P(0|3)%% auf der Funktion. Setze %%P%% in die Gleichung ein und löse nach %%a%% auf.

%%3=a\cdot(0-1)(0-1)(0+1)(0+1)%%

%%\phantom{3}=a\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot 1\cdot 1=a%%

Stelle nun den Funktionsterm auf.

%%f(x)=3\cdot(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)%%

Bringe die Funktion in die allgemeine Form. Multipliziere dafür die Klammern aus.

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x-1)(x+1)\cdot(x-1)(x+1)%%

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x^2-1)\cdot(x^2-1)%%

%%\phantom{f(x)}=3\cdot(x^4-2x^2+1)%%

%%\phantom{f(x)}=3x^4-6x^2+3%%

Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der die folgenden Bedingungen erfüllt.

Die Funktion ist vom Grad 3, der %%y%%-Achsenabschnitt liegt bei %%y=\frac83%%, sie besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x=1%% und hat eine Wendestelle bei %%x=-2%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Funktion vom Grad %%3%%

%%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%

%%f'(x)=3ax^2+2bx+c%%

%%f''(x)=6ax+2b%%

%%y%%-Achsenabschnitt bei %%y=\frac83%%

%%\Rightarrow f(0)=\frac83%%

%%a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d=d=\frac83%%

Doppelte Nullstellen bei %%x=1%%

%%\Rightarrow f(1)=0%%

%%\Rightarrow f'(1)=0%%

%%a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d=0%%

%%3a\cdot1^2+2b\cdot1+c=0%%

Wendestelle bei %%x=-2%%

%%\Rightarrow f''(-2)=0%%

%%6a\cdot(-2)+2b=0%%

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac83& = && && && &d&\\ \mathrm{II} &0& = &a& + &b& + &c& + &d&\\ \mathrm{III} &0& = &3a& + &2b& + &c&\\ \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&\\ \end{array}%%

%%\;%%

%%\;%%

%%\;%%

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%d=\frac83%%.

Setze %%d=\frac83%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &a& + &b& + &c& + &\frac83&\\ \mathrm{III} &0& = &3a& + &2b& + &c&\\ \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&\\ \end{array}%%

Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach %%b%% in Gleichung %%\mathrm{IV}%% aufgelöst wird.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&|-2b\\ &-2b& = &-12a& &&|:(-2)\\ &b& = &6a& \\ \end{array}%%

Nun kannst du %%b=6a%% in der Gleichung %%\mathrm{III}%% ersetzen und dann nach %%c%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &0& = &3a& + &2\cdot6a& + &c&\\ &0& = &15a& && + &c&|-15a\\ &-15a& = && &&&c&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=-15a%% in der Gleichung %%\mathrm{II'}%% ersetzen und dann nach %%a%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II''} &0& = &a& + &6a& - &15a& + &\frac83&|-\frac83\\ &-\frac83& = &-8a& && && &&|:(-8)\\ &\frac13& = &a& &&&&\\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{IV}%% weißt du, dass %%b=6a%%. Setze %%a=\frac13%% in diese Gleichung ein.

%%b=6\cdot\frac13=2%%

Aus Gleichung %%\mathrm{III'}%% weißt du, dass %%c=-15a%%. Setze %%a=\frac13%% in diese Gleichung ein.

%%c=-15\cdot\frac13=-5%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=\frac13%%, %%b=2%%, %%c=-5%%, und %%d=\frac83%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=\frac13x^3+2x^2-5x+\frac83%%

Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt waagrechte Tangenten bei %%x=0%% und %%x=1%% und hat im Punkt %%P(2|8)%% eine Steigung von %%m=12%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Funktion vom Grad %%3%%

%%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%

%%f'(x)=3ax^2+2bx+c%%

Waagrechte Tangenten bei %%x=0%% und %%x=1%%

%%\Rightarrow f'(0)=0%%

%%\Rightarrow f'(1)=0%%

%%3a\cdot0^2+2b\cdot0+c=c=0%%

%%3a\cdot1^2+2b\cdot1+c=0%%

Im Punkt %%P(2|8)%% eine Steigung von %%m=12%%

%%\Rightarrow f(2)=8%%

%%\Rightarrow f'(2)=12%%

%%a\cdot2^3+b\cdot2^2+c\cdot2+d=8%%

%%3a\cdot2^2+2b\cdot2+c=12%%

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &0& = && && &c& &&\\ \mathrm{II} &0& = &3a& + &2b& + &c& &&\\ \mathrm{III} &8& = &8a& + &4b& + &2c& + &d&\\ \mathrm{IV} &12& = &12a& + &4b& + &c&\\ \end{array}%%

%%\;%%

%%\;%%

%%\;%%

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%c=0%%.

Setze %%c=0%% in die Gleichungen %%\mathrm{II}%%, %%\mathrm{III}%% und %%\mathrm{IV}%% ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &3a& + &2b& + &0& &&\\ && = &3a& + &2b& && &&\\ \mathrm{III'} &8& = &8a& + &4b& + &2\cdot0& + &d&\\ && = &8a& + &4b& && + &d&\\ \mathrm{IV'} &12& = &12a& + &4b& + &0&&&|:4\\ &3& = &3a& + &b& &&\\ \end{array}%%

Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach %%b%% in Gleichung %%\mathrm{II'}%% aufgelöst wird.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &3a& + &2b&|-3a\\ &-3a& = && &2b& |:2\\ &-\frac32a& = && &b&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%b=-\frac32a%% in der Gleichung %%\mathrm{IV}%% ersetzen und dann nach %%c%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{IV''} &3& = &3a& - &\frac32a& &&\\ && = &\frac32a& &&|:\frac32\\ &2& = &a& \\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{II'}%% weißt du, dass %%b=-\frac32a%%. Setze %%a=2%% in diese Gleichung ein.

%%b=-\frac32\cdot2=-3%%

Nun kannst du %%a=2%% und %%b=-3%% in der Gleichung %%\mathrm{III'}%% ersetzen und dann nach %%d%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &8& = &8a& + &4b& + &d&\\ &8& = &8\cdot2& + &4\cdot(-3)& + &d&\\ && = &16& - &12& + &d&\\ && = &4& && + &d&|-4\\ &4& = && && &d&\\ \end{array}%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=2%%, %%b=-3%%, %%c=0%%, und %%d=4%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=2x^3-3x^2+4%%

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