Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen. Weitere Informationen findest du im Artikel zum Rotationskörper.

Um Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve.  

Bekannte Rotationskörper

Körper

Erzeugende Kurve und Rotationsachse

Kugel mit Radius %%r%%

%%x^2+ y^2= r^2\;\text{bzw.}\; y=\sqrt{ r^2- x^2}%% und Rotation um die %%x%%-Achse

oder %%x=\sqrt{ r^2- y^2}%% und Rotation um die %%y%%-Achse.

Offener Zylinder mit Radius %%r%% und Höhe %%h%%

%%y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack%% (Definitionsbereich zwischen %%0%% und %%h%%) und Rotation um %%x%%-Achse.

%%x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack%% (Wertebereich zwischen %%0%% und %%h%%) und Rotation um %%y%%-Achse.

Offener Kegel mit Radius %%r%% und Höhe %%h%%

%%y=-\frac{ r}{ h} x+ r,\; D=\lbrack0; h\rbrack%% und Rotation um die %%x%%-Achse.

%%x=-\frac{ r}{ h} y+ r,\; D=\lbrack0; r\rbrack%% und Rotation um die %%y%%-Achse.

Grundsätzlich kann man aber alle Kurven um eine Achse rotieren lassen.

Ein anschauliches Beispiel

Sieht die Kurve einer Funktion in der Ebene so aus,

Die Ausgangskurve für den Rotationskörper

dann sieht der Rotationskörper (bei Rotation um die x-Achse der Ebene von oben) so aus:

Rotationskörper in dritten Dimension

Folgt man mit den Augen einer der ungefähr horizontal verlaufenden Linien, so kann man die Ausgangsfunktion wiedererkennen, die zuerst stark steigt und dann langsam abfällt.

Auch die Zeichengrenzen der Kurve sind bei 0 und 50 erhalten geblieben.

 

 

Rechnen mit Rotationskörpern

Im Folgenden findest du die Formeln zur Berechnung des Volumens und der Mantelfläche von Rotationskörpern. Betrachte auch das Beispiel zur Berechnung der Integrale.

Volumen

Hierbei musst du unterscheiden, ob die Rotation um die %%x%%-Achse oder die %%y%%-Achse stattfindet.

Rotation um die x-Achse

 

Für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die %%x%%-Achse rotiert, lautet die Formel  $$V=\pi\cdot\int_ a^ b\left( f\left( x\right)\right)^2\operatorname{d}x$$

%%a%% und %%b%% geben die Grenzen des Definitionsbereichs an und %%f\left( x\right)%% ist die Funktion der rotierenden Kurve, die die %%x%%-Achse nicht schneiden darf.

Rotation um die y-Achse

Für die Volumenberechnung bei einer Rotation um die %%y%%-Achse wird die

Umkehrfunktion benötigt. Diese existiert, wenn die Funktion %%f\left( x\right)%% stetig und streng monoton ist.  Die Formel lautet

 %%\displaystyle V=\pi\cdot\int_{\min\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}^{\max\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}\left( f^{-1}\left( y\right)\right)^2\operatorname{d} y%%,

beziehungsweise $$V=\pi\cdot\int_ a^ b x^2\cdot\left| f'\left( x\right)\right|\operatorname{d} x$$

%%a%% und %%b%% geben die Grenzen des Definitionsbereichs an, %%f(a)%% und %%f(b)%% die Grenzen des Wertebereichs.


Beispiel:

Der Graph der Funktion %%f\left( x\right)= x^2+1,\;\;\;{ D}_ f=\left[-1;2\right]%% rotiere um die %%x%%-Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Körpers.

Eingeschränkter Parabel Graph

 

Lösung

$$V=\pi\cdot\int_ a^ b\left( f\left( x\right)\right)^2\operatorname{d} x$$

Alle Angaben in die Volumenformel einsetzen.

%%\begin{align}V &=\pi\cdot\int_{-1}^2\left( x^2+1\right)^2\operatorname{d} x\\ &=\pi\cdot\int_{-1}^2 x^4+2 x^2+1\operatorname{d} x\end{align}%%

%%\begin{align}V &=\pi \cdot \left[\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3} x^3 + x\right]_{-1}^2\\ &=\pi \cdot \left[\frac{1}{5} \cdot 2^5 + \frac{2}{3} 2^3 + 2 - \\ \left( \frac{1}{5} \cdot (-1)^5 + \frac{2}{3} (-1)^3 -1\right) \right]\\ &=\pi \cdot \left[ \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 - \left( -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} -1\right)\right]\\ &=\frac{78}{5} \pi \end{align}%%

Mantelfläche

Auch für die Mantelfläche ergeben sich unterschiedliche Formeln für die Rotation, um die %%x%%- und %%y%%-Achse.

Rotation um x-Achse

Die Formel für die Mantelfläche M eines Körpers bei Rotation um die %%x%%-Achse lautet

     $$M=2\pi\cdot\int_a^bf\left(x\right)\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}\operatorname{d}x$$

 

Rotation um y-Achse

Für die Rotation um die %%y%%-Achse lautet die Formel der Mantelfläche M

     $$M=2\pi\cdot\int_{min\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}^{max\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}f^{-1}\left(y\right)\sqrt{1+\left(\left(f^{-1}\left(y\right)\right)'\right)^2}\operatorname{d}y$$

Auch hier muss die Umkehrfunktion existieren. %%a%% und %%b%% sind wieder die Grenzen des Definitionsbereiches.

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Zu article Rotationskörper berechnen mittels Integration: Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-07-21 15:53:39
Liebes Serlo-Team,

- Es wird hier von einer sich drehenden Kurve um eine Achse für die Entstehung eines Rotationskörpers geredet. Im Artikel "Rotationskörper" wird aber über die Drehung einer Fläche geredet. Wie könnte man beide Ideen verbinden?

- Auf den Artikel "Rotationskörper" wird hier gar nicht verlinkt.

- Der Abschnitt "Bekannte Rotationskörper" ist etwas zu text-lastig. Dies könnte gelöst werden, indem man die Graphen der erzeugenden Kurven mit angibt.

- Die 3D Graphik im ersten Spoiler ist sehr schön, dennoch zeigt sie einen ausgehöhlten Körper an. Mit den unten genannten Formeln kann man sein Volumen nicht direkt berechnen (man würde das Volumen des gefüllten Körpers rausbekommen). Vielleicht sollte man diese Graphik durch eine andere ersetzen (oder irgendwo erklären wie man das Volumen eines solchen Körpers berechnet).

- Der Text nach der 3D Graphik ist etwas unklar. Kann man eine solche Linie nicht einfach an der Graphik einzeichnen?

- Das Beispiel bei der Volumenberechnung geht meiner Meinung nach ein bisschen unter. Vielleicht kann man den Graphen der Funktion direkt neben der Aufgabenstellung einbinden und dazu (oder am Ende der Rechnung) den entstandenen Rotationskörper einzeichnen.

Viele Grüße
Sebastian
SebSoGa 2016-07-21 16:16:52
Habe die Graphik im Beispiel schonmal umplaziert, sieht meiner Meinung nach viel besser aus :)
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