Aufgaben
Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen:
f(x)=sin(x)\displaystyle f(x)=-\sin(x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

f(x)=sin(x)\displaystyle f(x)=-\sin(x)
Bilde die Ableitung nach x, beachte hierzu die Ableitungsregeln vom Sinus
f(x)=(sin(x))=cos(x)\begin{array}{rcl} f(x)'&=&(-\sin(x))' \\\\&=&-\cos(x) \end{array}
g(x)=sin(2x)\displaystyle g(x)=\sin(2\cdot x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

g(x)=sin(2x)\displaystyle g(x)=\sin(2\cdot x)
Leite nach x ab, beachte hierbei die Ableitungsregel des Sinus und die Kettenregel, u(v(x))=u(v(x))v(x)u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x) mit u(x)=sin(x)u(x)=\sin(x) und v(x)=2xv(x)=2\cdot x
g(x)=(sin(2x))=(cos(2x))(2x)=2cos(2x)\begin{array}{rcl} g(x)'&=&(\sin(2\cdot x))' \\\\&=& (\cos(2\cdot x)) \cdot (2\cdot x)' \\\\&=& 2\cdot \cos(2\cdot x) \end{array}
h(x)=(cos(2x))2\displaystyle h(x)=\left( \cos(2\cdot x) \right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

h(x)=(cos(2x))2\displaystyle h(x)=(\cos(2\cdot x))^2
Leite die Klammer ab und wende die Kettenregel an: u(v(x))=u(v(x))v(x)u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x) mit u(x)=x2u(x)=x^2 und v(x)=cos(x)v(x)=\cos(x)
h(x)=((cos(2x))2)=2(cos(2x))1(cos(2x))\begin{array}{rcl} h(x)'&=& ((\cos(2\cdot x))^2)' \\\\&=& 2\cdot (\cos(2\cdot x))^1\cdot (\cos(2\cdot x))' \end{array}
Leite cos(2x)\cos(2\cdot x) mit Hilfe der Kettenregel ab, wobei u(x)=cos(x)u(x)=\cos(x) und v(x)=2xv(x)=2\cdot x.
h(x)=2(cos(2x))1(sin(2x))2=4cos(2x)(sin(2x))\begin{array}{rcl} h(x)'&=&2\cdot (\cos(2\cdot x))^1\cdot (-\sin(2\cdot x))\cdot 2 \\\\&=&4\cdot \cos(2\cdot x)\cdot (-\sin(2\cdot x)) \end{array}
i(x)=3cos(2x2)\displaystyle i(x)=3\cdot \cos(2\cdot x^2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

i(x)=3cos(2x2)\displaystyle i(x)=3\cdot \cos(2\cdot x^2)
Leite den Kosinus mit Hilfe der Kettenregel u(v(x))=u(v(x)v(x)u(v(x))=u'(v(x)\cdot v'(x) ab, wobei u(x)=cos(x)u(x)=\cos(x) und v(x)=2x2v(x)=2\cdot x^2.
i(x)=(3cos(2x2))=3(sin(2x2))(2x2)\begin{array}{rcl} i(x)'&=&(3\cdot \cos(2\cdot x^2))' \\\\&=&3\cdot (-\sin(2\cdot x^2))\cdot (2\cdot x^2)' \end{array}
Leite 2x22\cdot x^2 ab.
i(x)=3sin(2x2)4x=12xsin(2x2)\begin{array}{rcl} i(x)'&=&-3\cdot \sin(2\cdot x^2)\cdot 4\cdot x \\\\&=&-12\cdot x\cdot \sin(2\cdot x^2) \end{array}
t(a)=3a2+4sin(3a2)\displaystyle t(a)=3\cdot a^2+4\cdot \sin(3\cdot a^2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

Gegeben: t(a)=3a2+4sin(3a2)t(a)=3\cdot a^2+4\cdot \sin(3\cdot a^2)
Gesucht: t(a)t'(a)
Der vordere Term stellt ein Polynom dar und die Ableitung ist (3a2)=6a(3 \cdot a^2)'=6 \cdot a. Leite den zweiten Term mit der Kettenregel ab.
(4sin(3a2))=4cos(3a2)6a(4 \cdot \sin(3 \cdot a^2))'=4 \cdot \cos(3 \cdot a^2) \cdot 6 \cdot a
Führe die beiden Ergebnisse zusammen und erhalte die Ableitung von t(a)t(a).
t(a)=6a+24acos(3a2)t'(a)=6 \cdot a + 24 \cdot a \cdot \cos(3 \cdot a^2)
j(b)=b2tan(b) fu¨b]π2,π2[\displaystyle j(b)=b^2 \cdot \tan(b) ~\text{für } b \in \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

Gegeben: j(b)=b2tan(b)j(b)=b^2 \cdot \tan(b)
Gesucht: j(b)j'(b)
Da j(b)j(b) das Produkt von b2b^2 und tan(b)\tan(b) ist, verwende die Produktregel, hier: j(b)=u(b)v(b)j(b)=u(b)\cdot v(b) mit u(b)=b2u(b)=b^2 und v(b)=tan(b)v(b)=\tan(b).
j(b)=(b2)tan(b)+b2(tan(b))\begin{array}{rcl} j'(b)&=&(b^2)'\cdot\tan(b)+b^2 \cdot(\tan(b))' \end{array}
j(b)=2btan(b)+b2cos2(b)\begin{array}{rcl} j'(b)&=&2 \cdot b \cdot \tan(b)+\dfrac{b^2}{\cos^2(b)} \end{array}
k(m)=1sin(m) fu¨m]0,π[\displaystyle k(m)=\dfrac{1}{\sin(m)} ~\text{für } m \in ]0,\pi[

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

Gegeben: k(m)=1sin(m)k(m)=\dfrac{1}{\sin(m)}
Gesucht: k(m)k'(m)
Da die Funktion einen Quotient darstellt, nämlich k(m)=u(m)v(m)k(m)=\dfrac{u(m)}{v(m)} mit u(m)=1u(m)=1 und v(m)=sin(m)v(m)=\sin(m), ist die Quotientenregel anwendbar.
k(m)=0sin(m)1cos(m)(sin(m))2=cos(m)sin2(m)\begin{array}{rcl} k'(m)&=&\dfrac{0\cdot \sin(m)-1\cdot \cos(m)}{(\sin(m))^2} \\\\&=& -\dfrac{\cos(m)}{\sin^2(m)} \end{array}
n(x)=sin(cos(x))\displaystyle n(x)=\sin(\cos(x))

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitungen zu trigonometrischen Funktionen

Gegeben: n(x)=sin(cos(x))n(x)=\sin(\cos(x))
Gesucht: n(x)n'(x)
Die Funktion ist verkettet, es gilt nämlich n(x)=u(v(x))n(x)=u(v(x)) für u(y)=sin(y)u(y)=\sin(y) und v(x)=cos(x).v(x)=\cos(x). Wende daher die Kettenregel an.
n(x)=u(v(x))v(x)\begin{array}{rcl} n'(x)&=&u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{array}

Leite u(y)u(y) und v(x)v(x) ab.
u(y)=cos(y)u'(y)=\cos(y) und v(x)=sin(x)v'(x)=-\sin(x)

Setze dies in n(x)=u(v(x))v(x)n'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) ein.
n(x)=cos(v(x))(sin(x))\begin{array}{rcl} n'(x)&=&\cos(v(x)) \cdot (- \sin(x)) \end{array}

Nach oben ist v(x)=cos(x)v(x)=\cos(x), setze dies ein.
n(x)=cos(cos(x))sin(x)\begin{array}{rcl} n'(x)&=&-\cos(\cos(x)) \cdot \sin(x) \end{array}
Prüfe, ob die folgenden Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur yy-Achse sind:
f(x)=2cos(x)+1f(x)=2\cdot \cos(x)+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von trigonometrischen Funktionen

Gegeben:
f(x)=2cos(x)+1f(x)=2\cdot \cos(x)+1
Prüfe die Funktion auf Symmetrie.
f(x)=2cos(x)+1f(-x)=2 \cdot \cos(-x)+1
f(x)=2cos(x)+1=f(x)f(-x)=2 \cdot \cos(x)+1=f(x)
Daher ist f(x)f(x) ebenfalls achsensymmetrisch zur yy-Achse.
g(x)=4sin(x)g(x)=4 \cdot \sin(x)


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von trigonometrischen Funktionen

Gegeben:
g(x)=4sin(x)g(x)=4 \cdot \sin(x)
Prüfe die Funktion auf ihre Symmetrie.
g(x)=4sin(x)g(-x)=4 \cdot \sin(-x)
g(x)=4sin(x)=g(x)g(-x)=-4 \cdot \sin(x)=-g(x)
Das heißt, g(x)g(x) ist punktsymmetrisch.
h(x)=sin(x6π)h(x)=\sin(x-6\pi)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von trigonometrischen Funktionen

Gegeben:
h(x)=sin(x6π)h(x)=\sin(x-6\pi)
Da die Sinusfunktion 2π2\pi-periodisch ist, gilt sin(x6π)=sin(x)\sin(x-6\pi)=\sin(x).
h(x)=sin(x)h(x)=\sin(x)
Das bedeutet, dass h(x)h(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, da der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
Funktionsgraph
f(x)=cos(x)+3f(x)=\cos(x) +3
f(x)=sin(x)+3f(x)=\sin(x)+3
f(x)=cos(x)3f(x)=\cos(x) -3
f(x)=sin(x)3f(x)=\sin(x) -3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrien von trigonometrischen Funktionen

Betrachtet man den Graphen der Funktion, sieht man, dass der Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist. Deshalb kann man die Funktionen sin(x)+3\sin(x)+3 und sin(x)3\sin(x)-3 ausschließen, da die Sinus-Funktion punktsymmetrisch ist.
Es bleiben also die beiden Kosinus-Funktionen, die man sich anschauen muss. Die Funktion cos(x)\cos(x) ist achsensymmetrisch, genau wie der Graph der gegebenen Funktion.Nachdem der Graph der Funktion die y-Achse bei y=4y=4 schneidet, kann man daraus folgern, dass die Funktion cos(x)\cos(x) um 3 nach oben verschoben wurde, also cos(x)+3\cos(x)+3.
Lösungs_Graph
Somit ist f(x)=cos(x)+3f(x)=\cos(x)+3 die gesuchte Funktion.
Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
Gesuchte Funktion
f(x)=sin(x+π)f(x)=\sin(x+\pi)
f(x)=sin(x+π2)f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})
f(x)=cos(2x)+3πf(x)=\cos(2\cdot x)+3\cdot \pi
f(x)=cos(2x)f(x)=\cos(2\cdot x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrien von trigonometrischen Funktionen

Der Graph der gesuchten Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.
Somit kann man die beiden Funktionen cos(2x)\cos(2\cdot x) und cos(2x)+3π\cos(2\cdot x)+3\cdot \pi ausschließen, denn cos(2x)\cos(2\cdot x) ist die Standard Kosinus-Funktion bloß mit einer größeren Periode und cos(2x)+3π\cos(2\cdot x)+3\cdot \pi zusätzlich noch um 3π3\cdot\pi nach oben verschoben.
Graph zu Kosinus
Bleiben also noch die beiden Sinus-Funktionen also Lösungsmöglichkeiten.
Die Funktion sin(x)\sin(x) ist punktsymmetrisch und im Intervall zwischen 00 und π\pi positiv, die Funktion des gegeben Graphen ist punktsymmetrisch und im Intervall von 00 bis π\pi negativ, also suchen wir eine Funktion die sin(x)\sin(x) um eine halbe Periode verschiebt.
Graph zu Sinus
Da die Periode der sin(x)sin(x) Funktion 2π2\cdot \pi lang ist, muss sin(x)\sin(x) um π\pi verschoben werden. Darum ist die richtige Lösung sin(x+π)\sin(x+\pi)
Graph zu einer Sinus Funktion
Graph zu einer Sinus Funktion
Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
Graph zu Aufgabe
f(x)=2+cos(3x)πf(x)=2+\cos(3\cdot x)-\pi
f(x)=3sin(x)f(x)=3\cdot \sin(x)
f(x)=2cos(x+π2)f(x)=2\cdot\cos(x+\frac{\pi}{2})
f(x)=2+2sin(x)f(x)=-2+2\cdot\sin(x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrien von trigonometrischen Funktionen

Für diese Aufgabe ist es hilfreich, nach dem Ausschlussverfahren vorzugehen. (Das heißt, du überlegst dir, welche Antworten nicht richtig sein können und entscheidest dich für die einzige Antwort, die übrig bleibt.)
Überlege dir hierfür:
Welche Symmetrieeigenschaften hat die Funktion?
Inwiefern wurde sie entlang der y-Achse oder der x-Achse verschoben?
Betrachtet man den Graphen der Funktion, dann sieht man, dass der Graph achsensymmetrisch bezüglich der yy-Achse ist.
Betrachten der Sinus-Funktionen:
Weil die Funktion sin(x)\sin(x) punktsymmetrisch ist, kann man die Funktionen 3sin(x)3\cdot\sin(x) und 3+2sin(x)-3+2\cdot\sin(x) als Lösung ausschließen.
Bei 3sin(x)3\cdot\sin(x) wird die sin(x)\sin(x) Funktion in die Höhe gestreckt. Das heißt, die Funktion hat eine größere Amplitude.
Bei der Funktion 3+2sin(x)-3+2\cdot\sin(x) hat die sin(x)\sin(x) Funktion auch eine größere Amplitude und wird zusätzlich um 33 nach unten verschoben.
Graph Sinus
Man betrachtet also nun die beiden Kosinus-Funktionen.
Die Funktion 2cos(x+π2)2\cdot\cos(x+\frac{\pi}{2}) kann man ausschließen (siehe Abbildung unten). Denn sie hat eine größere Amplitude als die gesuchte Funktion des Graphen. Zusätzlich ist sie auch noch um π2\frac{\pi}{2} nach rechts verschoben, die Funktion des Graphen jedoch nicht.
Die gesuchte Funktion ist also 2+cos(3x)π2+\cos(3\cdot x)-\pi, da sie eine veränderte Periode hat und zusätzlich um 2π2-\pi nach unten verschoben ist (2π1,1412-\pi\approx -1,141).
Veranschaulichung der ausgeschlossenen Funktion 2cos(x+π2)2\cdot\cos(x+\frac{\pi}{2})
Kosinus Funktion
Löse die folgenden Gleichungen nach xx auf:
2sin(xπ)=12\cdot\sin(x-\mathrm\pi)=1 für x[π2,π2]x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Umkehrfunktiion

2sin(xπ)=12\cdot\sin(x-\mathrm\pi)=1
Teile auf beiden Seiten der Gleichung durch 22.
sin(xπ)=12\sin(x-\pi)=\frac 12
xπ=sin1(12)x-\pi = \sin^{-1}\left(\frac 12\right)
Löse nach xx auf. Betrachte hierzu den Graphen des Arkussinus und erhalte sin1(12)=π6.\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}.
x=π+sin1(12)=π+π6=7π6\begin{array}{rcl} x &=& \pi+\sin^{-1}\left(\frac12\right) \\&=& \pi + \dfrac{\pi}{6} \\&=&\dfrac{7\mathrm\pi}6 \end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Umkehrfunktionen



cos(xπ2)=1\cos\left( x- \dfrac{\pi}{2} \right) = 1
Wende die Umkehrfunktion des Kosinus an.
xπ2=cos1(1)x-\dfrac{\pi}{2} = \cos^{-1} (1)
Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und lese ab, dass cos1(1)=0\cos^{-1}(1)=0.
xπ2=0x-\dfrac{\pi}{2} = 0
Löse die Gleichung nun nach xx auf.
x=π2x=\dfrac{\pi}{2}
cos(x+π21)=0\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}-1\right)=0 für x[0,π]x \in [0,\pi]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Umkehrfunktionen

cos(x+π21)=0\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}-1\right) = 0
Wende die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion an.
x+π21=cos1(0)x+\dfrac{\pi}{2}-1=\cos^{-1}(0)
Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und erhalte cos1(0)=π2.\cos^{−1}(0)=\frac{\pi}{2}.
x+π21=π2x+\dfrac{\pi}{2}-1=\dfrac{\pi}{2}
Löse die Gleichung nach xx auf.
x+π21=π2π2x1=0+1x=1\begin{array}{rcl} x+\dfrac{\pi}{2}-1&=&\dfrac{\pi}{2}&&|-\dfrac{\pi}{2} \\ \\x-1&=&0&&|+1 \\ \\x&=&1 \end{array}
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In der 6. Aufgabe wurden die Intervalle für die Lösungsmenge nicht berücksichtigt.
Renate 2017-08-16 17:19:43+0200
Hallo Raufutu777,
zunächst mal vielen Dank für deinen Kommentar, der, soweit ich erkennen kann, vom mathematischen Standpunkt her auch völlig berechtigt ist!
Leider weiß ich nicht, ob in nächster Zeit jemand von uns dazu kommt, sich der Sache anzunehmen. Ich habe es jetzt erstmal wenigstens in unser Dokument eingetragen, in dem wir solche noch zu erledigenden Aufgaben sammeln.

Hättest du vielleicht Lust, selbst eine Bearbeitung zu versuchen?

Wenn du dazu Hilfe oder Antworten auf technische Fragen oder Probleme suchst, wirst du vielleicht auf der Seite https://de.serlo.org/hilfe-startseite fündig.
Und wenn nicht, dann zögere bitte nicht, dich an uns zu wenden - zum Beispiel, indem du auf diese Diskussion hier antwortest, oder indem du einen Kommentar auf das Profil von jemanden von uns (https://de.serlo.org/team) schreibst.

Viele Grüße
Renate
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