Aufgaben
Vereinfache und fasse soweit wie möglich zusammen:
1(cos(α))2sin(α)sin(90°α)tan(α)\dfrac{1-(\cos(\alpha))^2}{\sin(\alpha)\cdot \sin(90°-\alpha)}-\tan(\alpha)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen

Gegeben:
1(cos(a))2sin(a)sin(90°a)tan(a)\dfrac{1-(\cos(a))^2}{\sin(a)\cdot\sin(90°-a)}-\tan(a)
sin2(a)+cos2(a)=1\sin^2(a)+\cos^2(a)=1
Damit kannst du den Zähler vereinfachen.
=sin2(a)sin(a)sin(90°a)tan(a)=\dfrac{\sin^2(a)}{\sin(a)\cdot\sin(90°-a)}-\tan(a)
Kürze im Bruch mit sin(a)\sin(a).
=sin(a)sin(90°a)tan(a)=\dfrac{\sin(a)}{\sin(90°-a)}-\tan(a)
Wegen der Komplementbeziehung gilt:
sin(90°a)=cos(a)\sin(90°-a)=\cos(a).
=sin(a)cos(a)tan(a)=\dfrac{\sin(a)}{\cos(a)}-\tan(a)
Benutze die Definition der Tangensfunktion.
=tan(a)tan(a)=0=\tan(a)-\tan(a) = 0
(cos(x+π2))21(sin(x)tan(x))2+sin(x)tan(x)tan(x)\displaystyle \dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)-\tan(x)}{\tan(x)}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen

Gegeben:
(cos(x+π2))21(sin(x)tan(x))2+sin(x)tan(x)tan(x)\displaystyle \dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)-\tan(x)}{\tan(x)}
Ziehe den hinteren Bruch auseinander.
=(cos(x+π2))21(sin(x)tan(x))2+sin(x)tan(x)tan(x)tan(x)\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}-\dfrac{\tan(x)}{\tan(x)}

=(cos(x+π2))21(sin(x)tan(x))2+sin(x)tan(x)1\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}-1
Aus der Formel für den Tangens folgt:
tan(x)=sin(x)cos(x)cos(x)\displaystyle \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\quad |\cdot\cos(x)
tan(x)cos(x)=sin(x):tan(x)\displaystyle \tan(x)\cdot\cos(x)=\sin(x)\quad |:\tan(x)
cos(x)=sin(x)tan(x)\displaystyle \cos(x)=\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}
Ersetze also sin(x)tan(x)\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)} durch cos(x)\cos(x)
=(cos(x+π2))21(sin(x)tan(x))2+cos(x)1\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\cos(x)-1
Ersetze sin(x)tan(x)\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)} im Nenner des Bruches durch cos(x)\cos(x)
=(cos(x+π2))21(cos(x))2+cos(x)1\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-(\cos(x))^2}+\cos(x)-1
Wenn du die Kosinusfunktion um π2\frac{\pi}{2} verschiebt, also cos(x+π2)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right), erhältst du sin(x)-\sin(x).
=(sin(x))21(cos(x))2+cos(x)1\displaystyle =\dfrac{(-\sin(x))^2}{1-(\cos(x))^2}+\cos(x)-1
Es gilt allgemein (x)2=x2(-x)^2=x^2, also auch (sin(x))2=(sin(x))2(-\sin(x))^2=(\sin(x))^2.
=(sin(x))21(cos(x))2+cos(x)1\displaystyle =\dfrac{(\sin(x))^2}{1-(\cos(x))^2}+\cos(x)-1
(sin(x))2+(cos(x))2=1(cos(x))2\displaystyle (\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1\quad |-(\cos(x))^2
(sin(x))2=1(cos(x))2\displaystyle (\sin(x))^2=1-(\cos(x))^2
=(sin(x))2(sin(x))2+cos(x)1\displaystyle =\dfrac{(\sin(x))^2}{(\sin(x))^2}+\cos(x)-1
=1+cos(x)1\displaystyle =1+\cos(x)-1
=cos(x)\displaystyle =\cos(x)
Bestimme die Funktionsgleichung zu folgenden Graphen:
Graphen für Aufgabe

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen

Lösung für die Funktion f(x)f(x):
Aufgrund der Achsensymmertrie muss es sich um eine Kosinus-Funktion handeln.
Du kannst die Kosinus-Funktion cos(x)\cos(x) verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: acos(b(x+c))+da\cdot \cos(b\cdot(x+c))+d.
Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du das diese 11 beträgt, also genau so groß wie bei der normalen Kosinus-Funktion cos(x)\cos(x), dass heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, das aa den Wert 11 haben muss, weil man die Amlitupde der cos(x)\cos(x) Funktion nicht verändert.
Ebenfalls siehst du, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode wie die cos(x)\cos(x) Funktion, das bedeutet, bb aus der allgemeinen Form muss den Wert 11 haben.
Nachdem die gesuchte Funktion auch nicht nach rechts oder links verschoben wurde,muss der Wert von cc aus der allgemeinen Form 00 sein.
Jetzt musst du also nur noch die Verschiebung des Graphen der gesuchten Funktionnach oben betrachten. Der Graph der gesuchten Funktion wurde um 22 nach oben verschoben, das heißt, dd aus der alllgemeinen Form hat den Wert 22.
Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, a=1,b=1,c=0,d=2a=1,b=1,c=0,d=2, erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion f(x)f(x):
f(x)=1cos(1(x+0))+2=cos(x)+2f(x)=1\cdot \cos(1\cdot(x+0))+2 = \cos(x)+2
Funktion
Lösung für die Funktion g(x):
Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (-1|0) muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.
Du kannst die Sinus-Funktion sin(x)\sin(x) verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: asin(b(x+c))+da\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d.
Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese 22 beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass aa den Wert 22 haben muss, weil die Amplitude der gesuchten Funktion doppelt so groß ist wie die der sin(x)\sin(x) Funktion.
Du siehst, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode hat wie die sin(x)\sin(x) Funktion, das bedeutet, bb aus der allgemeinen Form muss den Wert 11 haben.
Die gesuchte Funktion wurde auch nicht nach rechts oder links verschoben ,deshalb muss der Wert von cc aus der allgemeinen Form 00 sein.
Betrachtest du die Verschiebung des Graphen nach unten, stellst du fest, dass die gesuchte Funktion um 11 nach unten verschoben wurde, also hat dd aus der allgemeinen Form den Wert 1-1,
Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, a=2,b=1,c=0,d=1a=2,b=1,c=0,d=-1, erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion g(x)g(x):
g(x)=2sin(1(x+0))1=2sin(x)1g(x)=2\cdot \sin(1\cdot(x+0))-1 = 2\cdot\sin(x)-1
Funktion
Lösung für die Funktion h(x):
Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.
Du kannst die Sinus-Funktion sin(x)\sin(x) verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: asin(b(x+c))+da\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d.
Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese 12\frac{1}{2} beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass aa den Wert 12\frac{1}{2} haben muss, weildie Amlitude der gesuchten Funktion halb so groß ist wie die der sin(x)\sin(x) Funktion.
Betrachtest du die Periode des Graphen der gesuchten Funktion, siehst du, dass diese im Vergleich zur sin(x)\sin(x) nur halb so groß ist(oder auch: der Sinus "läuft" doppelt so schnell). Das heißt, dass bb in unserer allgemeinen Form hat den Wert 22.
Der Graph der Funktion wurde im Vergleich zu sin(x)\sin(x) auch nicht nach rechts oder links verschoben, das heißt der Wert von cc in der allgemeinen Form beträgt 00.
Vergleichst du den Graph mit der sin(x)\sin(x) Funktion, siehst du, dass dieser nicht nach oben oder unten verschoben wurde, deshalb hat dd aus der allgemeinen Form den Wert 00.
Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, a=12,b=2,c=0,d=0a=\frac{1}{2},b=2,c=0,d=0, erhält man folgende Lösung für die gesuchte Funktion h(x)h(x):
h(x)=12sin(2(x+0))+0=12sin(2x)h(x)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2\cdot(x+0))+0 = \frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x)
Funktion
Berechne alle Winkel α\alpha zwischen 0° und 360°360°, die folgende Gleichung erfüllen:
[4sin(2α)(6+2)][(tan(α3))2+255]=0\displaystyle \left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]\cdot\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Umkehrfunktion

[4sin(2α)(6+2)][(tan(α3))2+255]=0\displaystyle \left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]\cdot\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0
Die Gleichung ist 00, wenn einer der beiden Faktoren 00 ist.
[4sin(2α)(6+2)]=0\left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]=0 oder [(tan(α3))2+255]=0\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0
Betrachte zunächst den ersten Faktor:
4sin(2α)(6+2)=0+(6+2)4sin(2α)=6+2÷4sin(2α)=6+24sin1()2α=sin1(6+24)÷2α=sin1(6+24)2\displaystyle \begin{array}{rcll} 4\cdot\sin(2\cdot\alpha) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) &=& 0 &|+(\sqrt{6} + \sqrt{2})\\\\ 4\cdot\sin(2\cdot\alpha) &=& \sqrt{6} + \sqrt{2} &|\div 4 \\\\ \sin(2\cdot\alpha) &=& \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} &|\sin^{-1}(\ldots) \\\\ 2\cdot\alpha &=& \sin^{-1}(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) &|\div 2 \\\\ \alpha &=& \dfrac{\sin^{-1}(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{2} \end{array}
Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.
α=37,5°\displaystyle \alpha = 37,5°
Überprüfe nun, ob außer α=37,5°\alpha=37,5° noch weitere Winkel eine Lösung sein können. Betrachte dazu zum Beispiel den Einheitskreis:
trigonometrische Funktionen Einheitskreis
Hier kannst du sehen, dass der Sinus für zwei Winkel den gleichen Wert annimmt. sin(75°)=sin(180°75°)=sin(105°)\sin(75°)=\sin(180°-75°)=\sin(105°). Daraus folgt 2α=105°2\alpha=105°. Das heißt, α=52,5°\alpha = 52,5° ist eine weitere Lösung.
Betrachte als nächstes den zweiten Faktor.
(tan(α3))2+255=025+5(tan(α3))2=25+5tan(α3)=±25+5tan1()α3=tan1(±25+5)3α=3tan1(±25+5)\displaystyle \begin{array}{rclll} \left( \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2 + 2\cdot \sqrt{5} - 5 &=& 0 \qquad\qquad\qquad| - 2\cdot\sqrt{5} |+5 \\\\ \left( \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2 &=& - 2\cdot\sqrt{5} +5 &|\surd\\\\ \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right) &=& \pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5} &|\tan^{-1}(\ldots) \\\\ \dfrac{\alpha}{3} &=& \tan^{-1}\left(\pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5}\right) &|\cdot 3 \\\\ \alpha &=& 3\cdot \tan^{-1}\left(\pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5}\right) \end{array}

Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.
α=±108°\displaystyle \alpha=\pm108°
Gesucht sind Winkel zwischen 0° und 360°360°. Also ist 108°-108° keine gültige Lösung.
α=108°\displaystyle \alpha=108°
Beachte: Für den Tangens gilt die Supplementbeziehung
tan(α3)=tan(α3+180°).\displaystyle \tan(\frac{\alpha}{3})=\tan(\frac{\alpha}{3}+180°).
Überprüfe damit, ob weitere Winkel eine Lösung sein können. Es folgt daraus, dass auch
tan(108°3+180°)=tan(216°).\displaystyle \tan\left(\frac{108°}{3}+180°\right)=\tan(216°).
Aber α3=216°\frac{\alpha}{3} =216° ergibt α=648°\alpha=648°. Der Winkel ist größer als 360°360° und damit keine Lösung. 108°108° ist also von diesem Teil der Gleichung die einzige Lösung.
Insgesamt wird die Gleichung von allen α{37,5°;52,5°;108°}\alpha\in\{37,5°;52,5°;108°\} gelöst.

Das Wissenschaftsmagazin "I %%\heartsuit%% physics " berichtet über eine herausragende Entdeckung. Zur Berechnung der Lichtwellenlänge %%x%% soll folgende Formel gelten: $$\left(\sin(x)+\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos(x)\right)-\dfrac{\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)}{\sin(x)}=0$$

Ist diese Formel mathematisch allgemein gültig? Begründe deine Antwort rechnerisch!

Um die allgemeine Gültigkeit der Gleichung zu zeigen, vereinfachst du erst mal soweit wie möglich um zu sehen ob am Ende der Vereinfachungen eine allgemeingültige Formel dasteht.

$$\left(\sin(x)+\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos(x+\frac{\pi}{2})-\cos(x)\right)+\dfrac{\cos(x-\frac{3}{2}\cdot\pi)}{\sin(x)}=0$$

Aus der Formel für den Tangens folgt:

$$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\quad |\cdot\cos(x)$$ $$\tan(x)\cdot\cos(x)=\sin(x)\quad |:\tan(x)$$ $$\cos(x)=\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}$$

Ersetze also %%\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}%% durch %%\cos(x)%%

$$\left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\cos(x+\frac{\pi}{2})-\cos(x)\right)+\dfrac{\cos(x-\frac{3}{2}\cdot\pi)}{\sin(x)}=0$$

Wenn du die Kosinus-Funktion um %%\frac{\pi}{2}%% nach rechts verschiebt, also %%\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)%% erhält man die Funktion des Sinus also %%\sin(x)%%.

$$\left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+\dfrac{\cos(x-\frac{3}{2}\cdot\pi)}{\sin(x)}=0$$

Wenn du die Kosinus-Funktion um %%\frac{3}{2}\cdot\pi%% nach links verschiebt, also %%\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)%% erhält man die negative Funktion des Sinus also %%-\sin(x)%%.

$$\left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+\dfrac{-\sin(x)}{\sin(x)}=0$$

$$\left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+(-1)=0$$

$$\left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)-1=0$$

Verwende die dritte binomische Formel

$$(\sin(x))^2-(\cos(x))^2-1=0\quad |+1$$

$$(\sin(x))^2-(\cos(x))^2=1$$

Daraus kannst du direkt folgern,dass die Formel nicht allgemeingültig ist, denn der trigometrischen Pythagoras müsste lauten: $$(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1$$

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