Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

%%f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x)%%, wobei %%b\in\mathbb{R}^+%% und %%b\neq 1%% gilt.

%%b%% heißt Basis des Logarithmus.

Eigenschaften

  • Der Definitionsbereich ist %%\mathbb{R}^+%%, d.h. für %%x%% dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.
  • Der Wertebereich ist ganz %%\mathbb{R}%%.
  • Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle %%x_0=1%%.
  • Logarithmusfunktionen haben die %%y%%-Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt:
    • %%b>1:\qquad\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=-\infty%% und %%\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=\infty%%
    • %%0<b<1:\;\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=\hphantom{-}\infty%% und %%\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=-\infty%%
  • Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:
    • %%b>1:\qquad f\;%% ist streng monoton steigend.
    • %%0<b<1:\;f\;%% ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Anhängigkeit von der Basis %%b%% zu beobachten.

Rechenregeln

Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.

  • %%\log_b(x\cdot y)=\log_b(x)+\log_b(y)%%
  • %%\log_b\left(\frac{x}y\right)=\log_b(x)-\log_b(y)%%
  • %%\log_b\left(x^a\right)=a\cdot\log_b(x)%%

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für %%f(x)=\log_b(x)%% ist die Umkehrfunktion gegeben durch: $$f^{-1}(x)=b^x$$

Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schliesslich gibt es für ein b>0 kein x, dass $$f^{-1}(x)=b^x$$ negativ werden lässt.

Natürliche Logarithmusfunktion

Man kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: %%\ln%%-Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis %%e%%, der Eulerschen Zahl, zurückführen: $$f(x)=\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}=\frac1{\ln(b)}\cdot \ln(x)$$

Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der %%\ln%%-Funktion ist.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von %%f(x)=\log_b(x)%% ist gegeben durch: $$f'(x)=\frac1{\ln(b)\cdot x}$$

Herleitung der ersten Ableitung

Wegen %%\log_b(x)=\frac1{\ln(b)}\cdot\ln(x)%% genügt es, die erste Ableitung der %%\ln%%-Funktion (siehe hier) mit dem Vorfaktor %%\frac1{\ln(b)}%% zu multiplizieren:

$$\left(\log_b(x)\right)'=\left(\frac1{\ln(b)}\cdot\ln(x)\right)'=\frac1{\ln(b)}\cdot\left(\ln(x)\right)'=\frac1{\ln(b)\cdot x}$$

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion %%F(x)%% einer Logarithmusfunktion %%f(x)=\log_b(x)%% ist:

$$F(x)=\frac1{\ln(b)}\cdot\left(x\ln(x)-x\right)$$

Herleitung der Stammfunktion

Wegen %%\log_b(x)=\frac1{\ln(b)}\cdot\ln(x)%% genügt es, die Stammfunktion der %%\ln%%-Funktion (siehe hier) mit dem Vorfaktor %%\frac1{\ln(b)}%% zu multiplizieren:

$$\int \log_b(x)dx=\int \frac{\ln(x)}{\ln(b)}dx=\frac1{\ln(b)}\cdot\int\ln(x)dx=\frac1{\ln(b)}\cdot\left(x\ln(x)-x\right)$$

Kommentieren Kommentare

Zu article Logarithmusfunktion:
Hauke 2017-11-30 20:45:53
Ich würde zur Umkehrfunktion ergänzen: "Da f^(-1)(x)=b^x die Umkehrfunktion ist, wird auch deutlich, dass sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schliesslich gibt es für ein b>0 kein x, dass f^(-1)(x)=b^x negativ werden lässt."
Rebi 2017-11-30 22:28:54
Hallo Hauke,
das halte ich für eine sinnvolle Ergänzung, würdest du das direkt selbst einfügen?
Das wäre sehr nett!
Liebe Grüße,
Rebi
Rebi 2018-02-09 10:36:23
Dankeschön!
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