Vielfachheit einer Nullstelle (8|8)

Auf dieser Kursseite werden wir nun versuchen, mithilfe von Nullstellen und deren Vielfachheiten, den Graphen einer Polynomfunktion zu skizzieren.

Wir betrachten dazu: %%f(x)= - \frac{1}{50}(x+3)\cdot x^2\cdot(x-3)\cdot(x-5)%%

Schritt 1 - Nullstellen und deren Vielfachheiten bestimmen

Da %%f%% schon in Linearfaktordarstellung ist, kann man die Nullstellen und deren Vielfachheiten einfach ablesen. Bei uns ergibt sich eine…

  • einfache Nullstelle bei %%x=-3%%
  • doppelte Nullstelle bei %%x=0%% (durch das %%x^2%%)
  • einfache Nullstelle bei %%x=3%%
  • einfache Nullstelle bei %%x=5%%.

Schritt 2 - Charakteristischen Verlauf bestimmen

Zuerst bestimmen wir den charakteristischen Verlauf der Polynomfunktion, also das Verhalten im Unendlichen.

Hier nochmal der Funktionsterm: %%f(x)= - \frac{1}{50}(x+3)\cdot x^2\cdot(x-3)\cdot(x-5)%%

Es handelt sich hier um eine Polynomfunktion vom Grad %%5%%, denn der Funktionsterm besteht aus dem Term %%x^2%% und drei Faktoren (jeweils vom Grad %%1%%): %%3\cdot 1+2=5%%.

Weiterhin ist der Koeffizient vor den Faktoren negativ.

Der charakteristische Verlauf ist also gleich dem Verlauf einer Potenzfunktion mit ungeradem Grad und negativem Vorzeichen. Daher ergibt sich der Verlauf "von links oben nach rechts unten".

Zeichne nun alle Nullstellen ein.

Wir wissen, dass der Graph von %%f%% im Negativen von %%+\infty%% kommt ("links oben"). Dies wird rechts in der Skizze durch den blauen Strich angedeutet.

Schritt 3 - Graph mithilfe der Vielfachheiten skizzieren

1. Nullstelle

Bei %%x=-3%% haben wir eine einfache Nullstelle. Es ergibt sich also ein VZW der Funktionswerte. Der Graph überquert die %%x%%-Achse und gelangt in den negativen %%y%%-Bereich.

2. Nullstelle

Der Graph kehrt nun zur %%x%%-Achse zurück. Da wir bei %%x=0%% eine doppelte Nullstelle vorfinden, wechselt die Funktion nicht das Vorzeichen und bleibt im negativen %%y%%-Bereich. Der Graph berührt also nur die %%x%%-Achse.

3. Nullstelle

Bei %%x=3%% gibt es eine einfache Nullstelle. Daher überquert der Graph die %%x%%-Achse und gelangt in den positiven %%y%%-Bereich.

4. Nullstelle

Die letzte Nullstelle ist bei %%x=5%% und hat auch Ordnung %%1%%. Daher findet wieder ein Vorzeichenwechsel statt und der Graph überquert die %%x%%-Achse.

Es gibt keine weiteren Nullstellen. Der Graph bleibt daher im negativen %%y%%-Bereich. Dies entspricht auch den Vorgaben des charakteristischen Verlaufs ("links oben nach rechts unten").

Kommentieren Kommentare