Wurzelfunktionen, die Quadratwurzeln oder n-te Wurzeln höherer Ordnung beinhalten, besitzen die folgenden Ableitungen:

%%\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}%%

%%\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}%%

Ableitung der Wurzelfunktion über die h-Methode

Die Funktion %%f(x) = \sqrt{x}%% soll mithilfe der h-Methode abgeleitet werden. Ohne die Verwendung der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen wirst du den Differenzenquotienten aufstellen und daraus den Differentialquotienten bilden, den du mit der h-Methode zur Ableitung umformst.

%%\displaystyle f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}%%

Setze für %%f%% die Wurzelfunktion ein.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}%%

Erweitere den Bruch mit %%\sqrt{x+h}+\sqrt{x}%%.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}%%

Multipliziere den Zähler aus, indem du die 3. binomische Formel anwendest.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}%%

Vereinfache die Quadrate im Zähler.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)-x}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}%%

Vereinfache den Zähler.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \lim_{h\to 0} \frac{h}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}%%

Kürze den Faktor %%h%%.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}%%

Bestimme den Grenzwert.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}%%

Fasse die Wurzeln im Nenner zusammen.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)} = \frac{1}{2\sqrt{x}}%%

Mit dieser Rechnung konntest du dich überzeugen, dass die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen auch bei Quadratwurzeln die gleiche Ableitung liefert. Das bedeutet auch, dass Wurzelfunktionen einfacher abgeleitet werden können, wenn diese zunächst mit der Regel für allgemeine Brüche in Exponenten in eine Potenz umgeschrieben werden.

Kann man auch andere n-te Wurzeln mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ableiten?

Ja!

Im zweiten Umformungsschritt hat es sich angeboten, den Bruch mit dem Term %%(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})%% zu erweitern. Für Wurzeln höherer Ordnung muss man an dieser Stelle den Bruch mehrmals erweitern. Dabei gibt es aber einiges zu beachten, weshalb man sich diese Rechnung meist spart.

Kommentieren Kommentare