Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfuktionen der Form %%f(x)=x^n%% mit  %%n\in\mathbb{N}%% .

 

Ihre einfachste Form ist:

%%\style{font-size:18px}{f\left(x\right)=\;\sqrt[n]x=x^\frac1n\;\;\mathrm{mit}\;\;n\in ℕ,\;\;\;x\in\mathbb{R}_0^+\;}%%

Die bekanntesten Wurzelfunktionen sind die "zweite" und die "dritte" Wurzel.

 

%%f\left(x\right)=\sqrt[2]x=\sqrt x\;\;\;\;\;\mathrm{und}\;\;\;\;\;g\left(x\right)=\sqrt[3]x%%

(Bei der zweiten Wurzel wird meist die kleine 2 weggelassen.)

Graphen der ersten Wurzelfunktionen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9285_wRU7USKTAS.xml

      

Grenzwerte und Monotonie

Grenzwerte

Auch wenn die Wurzelfunktionen vergleichsweise "klein" sind, sie also weniger stark wachsen, als alle Geraden und Potenzfunktionen , ist ihr Grenzwert im Unendlichen stets unendlich. Beachte dabei, dass hier %%x%% gegen unendlich geht, und nicht %%n%%.

  

%%\style{font-size:18px}{\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]x=\infty}%%

   

Am linken Rand des Definitionsbereichs gehen die Wurzelfunktionen gegen 0:  %%\lim_{x\rightarrow0}\sqrt[n]x=0%% .

    

Monotonie

Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend

      

Ableitungen

Die Ableitungen der Wurzelfunktion lassen sich mit den Ableitungsregeln für Polynome berechnen

 

1. Ableitung

Allgemein:

%%\left(\sqrt[n]x\right)^`=\left(x^\frac1n\right)^`=\frac1nx^{\frac1n-1}=\frac1nx^\frac{1-n}n=\frac1n\sqrt[n]{x^{1-n}}%%

Spezialfall %%n=2%%:

%%\left(\sqrt x\right)^`=\left(x^\frac12\right)^`=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac1{2\sqrt x}%%

 

2. Ableitung

Spezialfall %%n=2%%:

%%\left(\frac1{2\sqrt{\mathrm x}}\right)^`=\left(\frac12\mathrm x^{-\frac12}\right)^`=-\frac14\mathrm x^{-\frac12-1}=-\frac14\mathrm x^{-\frac32}=\frac1{4\sqrt{\mathrm x^3}}%%

 

 

Stammfunktion

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion %%f\left(x\right)=\sqrt[n]x=x^\frac1n%% lautet

%%F\left(x\right)=\frac n{n+1}x^\frac{n+1}n%% .

 

Spezialfall %%n=2%%:

%%\mathrm F\left(\mathrm x\right)=\frac23\mathrm x^\frac32=\frac23\sqrt{\mathrm x^3}%%

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Zu article Wurzelfunktion: Einleitender Satz
SebSoGa 2016-03-02 23:46:15
Ich finde den allerersten Satz etwas ungünstig formuliert. Wurzelfunktionen sind keine Potenzfunktionen. Der Satz gibt mir zu verstehen, dass man sich nur Ausdrucke der Form %%\sqrt{x}^n%% anschaut.
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