Aufgaben

Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen:

$$h(x)=\left( \cos(2\cdot x) \right)^2$$

$$h(x)=(\cos(2\cdot x))^2$$

Leite die Klammer ab und wende die Kettenregel an: %%u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x)%% mit %%u(x)=x^2%% und %%v(x)=\cos(x)%%

$$((\cos(2\cdot x))^2)'=2\cdot (\cos(2\cdot x))^1\cdot (\cos(2\cdot x))'$$

Leite %%\cos(2\cdot x)%% mit Hilfe der Kettenregel ab, wobei %%u(x)=\cos(x)%% und %%v(x)=2\cdot x%%

%%=2\cdot (\cos(2\cdot x))^1\cdot (-\sin(2\cdot x))\cdot 2%%

%%=4\cdot \cos(2\cdot x)\cdot (-\sin(2\cdot x))%%

%%=-4\cdot \cos(2\cdot x)\cdot \sin(2\cdot x)%%

$$t(a)=3\cdot a^2+4\cdot \sin(3\cdot a^2)$$

Gegeben: %%t(a)=3\cdot a^2+4\cdot \sin(3\cdot a^2)%%

Gesucht: %%t'(a)%%

Der vordere Term stellt ein Polynom dar und die Ableitung ist %%(3 \cdot a^2)'=6 \cdot a%%. Leite den zweiten Term mit der Kettenregel ab.

%%\left(4 \cdot \sin(3 \cdot a^2)\right)'=4 \cdot \cos(3 \cdot a^2) \cdot 6 \cdot a% %%

Führe die beiden Ergebnisse zusammen und erhalte die Ableitung von %%t(a)%%.

%%t'(a)=6 \cdot a + 24 \cdot a \cdot \cos(3 \cdot a^2)%%

$$j(b)=b^2 \cdot \tan(b) ~\text{für } b \in \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[$$

Gegeben: %%j(b)=b^2 \cdot \tan(b)%%

Gesucht: %%j'(b)%%

Da %%j(b)%% das Produkt von %%b^2%% und %%\tan(b)%% ist, verwende die Produktregel, hier: %%j(b)=u(b)\cdot v(b)%% mit %%u(b)=b^2%% und %%v(b)=\tan(b)%%.

%%j'(b)=(b^2)'\cdot\tan(b)+b^2 \cdot(\tan(b))'%%

%%j'(b)=2 \cdot b \cdot \tan(b)+\dfrac{b^2}{\cos^2(b)}%%

$$k(m)=\dfrac{1}{\sin(m)} ~\text{für } m \in ]0,\pi[$$

Gegeben: %%k(m)=\dfrac{1}{\sin(m)}%%

Gesucht: %%k'(m)%%

Da die Funktion einen Quotient darstellt, nämlich %%k(m)=\dfrac{u(m)}{v(m)}%% mit %%u(m)=1%% und %%v(m)=\sin(m)%%, ist die Quotientenregel anwendbar.

%%k'(m)=\dfrac{0\cdot \sin(m)-1\cdot \cos(m)}{(\sin(m))^2}%% %%k'(m)=-\dfrac{\cos(m)}{\sin^2(m)}%%

$$n(x)=\sin(\cos(x))$$

Gegeben: %%n(x)=\sin(\cos(x))%%

Gesucht: %%n'(x)%%

Die Funktion ist verkettet, es gilt nämlich %%n(x)=u(v(x))%% für %%u(y)=\sin(y)%% und %%v(x)=\cos(x).%% Wende daher die Kettenregel an.

%%n'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x)%%

Leite %%u(y)%% und %%v(x)%% ab.

%%u'(y)=\cos(y)%% und %%v'(x)=-\sin(x)%%

Setze dies in %%n'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x)%% ein.

%%n'(x)=\cos(v(x)) \cdot (- \sin(x))%%

Nach oben ist %%v(x)=\cos(x)%%, setze dies ein.

%%n'(x)=-\cos(\cos(x)) \cdot \sin(x)%%

Prüfe, ob die folgenden Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse sind:

Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:

Funktionsgraph

Leider falsch. Aber du bist auf dem richtigen Weg!

Owei! Da solltest du noch einmal nachdenken! Achte auf Symmetrie und die Verschiebung auf der y-Achse.

Diese Antwort ist leider falsch. Achte auf die Symmetrie der Funktion

Sehr gut! Dein Mathelehrer wird blass vor Neid ;-)

Betrachtet man den Graphen der Funktion, sieht man, dass der Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist. Deshalb kann man die Funktionen %%\sin(x)+3%% und %%\sin(x)-3%% ausschließen, da die Sinus-Funktion punktsymmetrisch ist.

Es bleiben also die beiden Kosinus-Funktionen, die man sich anschauen muss. Die Funktion %%\cos(x)%% ist achsensymmetrisch, genau wie der Graph der gegebenen Funktion. Nachdem der Graph der Funktion die y-Achse bei %%y=4%% schneidet, kann man daraus folgern, dass die Funktion %%\cos(x)%% um 3 nach oben verschoben wurde, also %%\cos(x)+3%%.

Lösungs_Graph

Somit ist %%f(x)=\cos(x)+3%% die gesuchte Funktion.

Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:

Gesuchte Funktion

Leider falsch! Der Sinus wurde hier verschoben.

Du bist der richtigen Funktion auf der Spur! Aber leider ist diese Funktion falsch, vergleiche die Periode dieser Funktion mit dem Graphen der gesuchten Funktion.

Hm… Leider falsch! Vielleicht denkst du nocheinmal über die Verschiebung von Funktionen nach.

Richtig! Du bist ein wahrer Meister der Symmetrie ;-)

Der Graph der gesuchten Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse. Somit kann man direkt die beiden Funktionen %%\cos(2\cdot x)%% und %%\cos(2\cdot x)+3\cdot \pi%% ausschließen, denn %%\cos(2\cdot x)%% ist die Standard Kosinus-Funktion bloß mit einer größeren Periode und %%\cos(2\cdot x)+3\cdot \pi%% zusätzlich noch um %%3\cdot\pi%% nach oben verschoben.

Graph zu Kosinus

Bleiben also noch die beiden Sinus-Funktionen also Lösungsmöglichkeiten. Die Funktion %%\sin(x)%% ist punktsymmetrisch und im Intervall zwischen %%0%% und %%\pi%% positiv, die Funktion des gegeben Graphen ist punktsymmetrisch und im Intervall von %%0%% bis %%\pi%% negativ, also suchen wir eine Funktion die %%\sin(x)%% um eine halbe Periode verschiebt.

Graph zu Sinus

Da die Periode der %%sin(x)%% Funktion %%2\cdot \pi%% lang ist, muss %%\sin(x)%% um %%\pi%% verschoben werden. Darum ist die richtige Lösung %%\sin(x+\pi)%%

Graph zu einer Sinus Funktion

Graph zu einer Sinus Funktion

Ordne dem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:

Graph zu Aufgabe

Falsch. Beachte die Symmetrieeigenschaften der Sinus-Funktion.

Leider falsch! Diese Funktion erfüllt keine der gesuchten Eigenschaften. Überlege noch einmal was die Eigenschaften der Sinus- beziehungsweise Kosinus-Funktion sind.

Leider falsch! Du hast aber wahrscheinlich den richtigen Grundgedanken, beachte aber das diese Kosinus-Funtion auf der x-Achse verschoben wurde.

Richtig! Albert Einstein könnte noch was von dir lernen ;-)

Betrachtet man den Graphen der Funktion, sieht man das der Graph achsensymmetrisch bezüglich der %%y%%-Achse. Nachdem die Funktion %%\sin(x)%% punktsymmetrisch ist, kann man die Funktionen %%3\cdot\sin(x)%% und %%-3+2\cdot\sin(x)%% als Lösung ausschließen. Bei %%3\cdot\sin(x)%% wird die %%\sin(x)%% Funktion in die Höhe gestreckt, heißt die Funktion hat eine größere Amplitude. Bei der Funktion %%-3+2\cdot\sin(x)%% hat die %%\sin(x)%% Funktion auch eine größere Amplitude und wird zusätzlich um %%3%% nach unten verschoben.

Graph Sinus

Man betrachtet also nun die beiden Kosinus Funktionen. Die Funktion %%2\cdot\cos(x+\frac{pi}{2})%% kann man ausschließen, weil sie sowohl eine größere Amplitude als die gesuchte Funktion des Graphen hat und zusätzlich auch noch um %%\frac{\pi}{2}%% nach rechts verschoben, die Funktion des Graphen jedoch nicht. Die gesuchte Funktion ist also %%2+\cos(3\cdot x)-\pi%%, da sie eine manipulierte Periode hat und zusätzlich um %%2-\pi%% nach unten verschoben ist (%%2-\pi\approx -1,141%%).

Kosinus Funktion

Löse die folgenden Gleichungen nach %%x%% auf:

%%2\cdot\sin(x-\mathrm\pi)=1%% für %%x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]%%

$$2\cdot\sin(x-\mathrm\pi)=1$$

Teile auf beiden Seiten der Gleichung durch %%2%%.

$$\sin(x-\pi)=\frac 12$$

$$x-\pi = \sin^{-1}\left(\frac 12\right)$$

Löse nach %%x%% auf. Betrachte hierzu den Graphen des Arkussinus und erhalte %%\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}.%%

$$x=\pi+\sin^{-1}\left(\frac12\right)=\frac{7\mathrm\pi}6$$

%%\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=1%% für %%x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]%%

%%\cos\left( x- \dfrac{\pi}{2} \right) = 1%%

Wende die Umkehrfunktion des Kosinus an.

%%x-\dfrac{\pi}{2} = \cos^{-1} (1)%%

Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und lese ab, dass %%\cos^{-1}(1)=0%%. Löse die Gleichung nun nach %%x%% auf.

%%x=\dfrac{\pi}{2}%%

%%\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}-1\right)=0%% für %%x \in [0,\pi]%%

%%\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}-1\right) = 0%%

Wende die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion an.

%%x+\dfrac{\pi}{2}-1=\cos^{-1}(0)%%

Betrachte den Graphen des [Arkuskosinus] und erhalte %%\cos^{−1}(0)=\frac{\pi}{2}.%%

%%x+\dfrac{\pi}{2}-1=\dfrac{\pi}{2}%%

Löse die Gleichung nach %%x%% auf.

%%x=1%%

Kommentieren Kommentare

In der 6. Aufgabe wurden die Intervalle für die Lösungsmenge nicht berücksichtigt.
Renate 2017-08-16 17:19:43
Hallo Raufutu777,
zunächst mal vielen Dank für deinen Kommentar, der, soweit ich erkennen kann, vom mathematischen Standpunkt her auch völlig berechtigt ist!
Leider weiß ich nicht, ob in nächster Zeit jemand von uns dazu kommt, sich der Sache anzunehmen. Ich habe es jetzt erstmal wenigstens in unser Dokument eingetragen, in dem wir solche noch zu erledigenden Aufgaben sammeln.

Hättest du vielleicht Lust, selbst eine Bearbeitung zu versuchen?

Wenn du dazu Hilfe oder Antworten auf technische Fragen oder Probleme suchst, wirst du vielleicht auf der Seite https://de.serlo.org/hilfe-startseite fündig.
Und wenn nicht, dann zögere bitte nicht, dich an uns zu wenden - zum Beispiel, indem du auf diese Diskussion hier antwortest, oder indem du einen Kommentar auf das Profil von jemanden von uns (https://de.serlo.org/team) schreibst.

Viele Grüße
Renate
Antwort abschicken