Aufgaben

Berechne das Gesuchte im gegebenen Parallelogramm.

Gegeben ist die Höhe %%h=5\,cm%% und der Flächeninhalt %%A=15\,cm^2%%. Berechne die Grundlinie %%g%%.

Gegeben ist der Flächeninhalt %%A=25\,cm^2%% und die Grundlinie %%g=7.5\,cm%%. Berechne die Höhe %%h%%.

%%\begin{align} \text{Gegeben:}\;&A=25\,\text{cm}^2\\ &g=7,5\,\text{cm}\end{align}%%

%%\text{gesucht:}\;h%%

Setze in die Flächenformel %%A=g\cdot h%% ein.

%%\begin{align} 25\,\text{cm}^2&=7,5\text{cm} \cdot h\quad |:7,5\,\text{cm}\\ \color{red}{h}&=\color{red}{3\frac{1}{3}\,\text{cm}}\end{align}%%

Gegeben ist die Grundlinie %%g=10\,cm%% und die Höhe %%h=4\,cm%%. Berechne den Flächeninhalt %%A%%.

Gegeben ist die Höhe %%h=11\,cm%% und die Grundlinie %%g=54\,cm%%. Berechne den Flächeninhalt %%A%%.

Berechne die fehlenden Maße eines Parallelogramms.

Gegeben: %%\quad g_1=10\,\text{cm};\quad g_2=5\,\text{cm};\quad h_1=4\,\text{cm}%%

gesucht:%%\quad\;\; h_2;\; A%%

Flächenformel für %%g_1%% und %%h_1%% verwenden.

%%A=10\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}%%

$$\color{red}{A=40\;cm^2}$$

%%A%% und %%g_2%% in die Flächenformel für %%g_2%% und %%h_2%% einsetzen und nach %%h_2%% auflösen.

%%40 \,cm^2 = 5\, cm \cdot h_2\quad|:5\,cm%%

%%\color{red}{h_2=8\,cm}%%

Gegeben: %%\quad g_1=9\,cm;\quad h_1=4\,cm;\quad h_2=8\,cm%%

gesucht:%%\quad \;\;g_2;\quad A%%

Setze %%g_1%% und %%h_1%% in die Flächenformel ein.

%%A=9\,cm\cdot4\,cm%%

%%\color{red}{A=36\,\text{cm}^2}%%

Setze %%A%% und %%h_2%% in die Flächenformel ein und löse nach %%g_2%% auf.

%%36\,\text{cm}^2=g_2\cdot8\,\text{cm}\quad|:8\,\text{cm}%%

%%\color{red}{g_2=4,5\,\text{cm}}%%

Gegeben:%%\quad g_1=4\,\text{cm};\quad g_2=2\,\text{cm};\quad A=4\,\text{cm}^2%%

gesucht:%%\;\quad h_1;\; h_2%%

%%g_1%% und %%A%% in die Flächenformel einsetzen, um %%h_1%% zu berechnen.

%%4\,\text{cm}\cdot h_1=4\,\text{cm}^2\quad|:4\,\text{cm}%%

%%\color{red}{h_1=1\,\text{cm}}%%

%%g_2%% und %%A%% in die Flächenformel einsetzen, um %%h_2%% zu berechnen.

%%2\,\text{cm}\cdot h_2 =4\,\text{cm}^2 \quad|:2 \,\text{cm}%%

%%\color{red}{h_2=2\,\text{cm}}%%

Gegeben: %%\quad g_1=1\,\text{cm};\quad g_2=2\, \text{cm}; \quad h_2= 0,6\,\text{cm}%%

gesucht: %%\;\quad h_1; \;A%%

Mit %%g_2%% und %%h_2%% den Flächeninhalt %%A%% berechnen.

%%A=2\,\text{cm} \cdot 0,6\,\text{cm}%%

%%\color{red}{A=1,2\,\text{cm}^2}%%

%%g_1%% und %%A%% in die Flächenformel einsetzen, um %%h_1%% zu berechnen.

%%1\,\text{cm}\cdot h_1=1,2\,\text{cm}^2 \quad |:1 \,\text{cm}%%

%%\color{red}{h_1=1,2\,\text{cm}}%%

Gegeben: %%\quad g_2=8\,\text{cm}; \quad h_1=7 \,\text{cm}; \quad A= 28\,\text{cm}^2%%

gesucht: %%\; \quad g_1; \;h_2%%

%%g_2%% und %%A%% in die Flächenformel einsetzen, um %%h_2%% zu berechnen.

%%8\,\text{cm} \cdot h_2 = 28\,\text{cm}^2 \quad |:8 \,\text{cm}%%

%%\color{red}{h_2 = 3,5 \,\text{cm}}%%

%%h_1%% und %%A%% in die Flächenformel einsetzen, um %%g_1%% zu berechnen.

%%g_1 \cdot 7 \,\text{cm}= 28\,\text{cm}^2 \quad|:7 \,\text{cm}%%

%%\color{red}{g_1= 4\, \text{cm}^2}%%

Gegeben: %%\quad h_1= 6\,\text{cm}; \quad h_2= 4\,\text{cm}; \quad A= 48 \,\text{cm}^2%%

gesucht: %%\;\quad g_1; \ \; g_2%%

%%h_1%% und %%A%% in die Flächenformel einsetzen, um %%g_1%% zu berechnen.

%%g_1\cdot6\,\text{cm}=48 \,\text{cm}^2\quad |:6 \,\text{cm}%%

%%\color{red}{g_1=8\,\text{cm}}%%

%%h_2%% und %%A%% in die Flächenformel einsetzen, um %%g_2%% zu berechnen.

%%g_2 \cdot 4 \, \text{cm}= 48\,\text{cm}^2 \quad|:4 \,\text{cm}%%

%%\color{red}{g_2 = 12 \,\text{cm}}%%

Wie viele Parallelogramme erkennst du in der gezeichneten Figur?

Experimentiere mit einem Zollstock

Mit einem Zollstock lassen sich leicht verschiedene Parallelogramme formen.

Was passiert mit der Höhe %%h_b%% eines bestimmten "Zollstockparallelogramms", wenn man dieses ohne Veränderung der Seitenlängen so verbiegt, dass die Höhe %%h_a%% nur noch die Hälfte (den dritten Teil; den vierten Teil) beträgt?

So kann man den Flächeninhalt des Paralleolgramms berechnen:

$$\begin{array}{l}A_{Paralleogramm}=a\;\cdot\;h_a\\\\A_{Parallelog ramm}=b\;\cdot\;h_b\end{array}$$

Dann gilt:

$$\begin{array}{l}a\;\cdot\;h_a=b\;\cdot\;h_b\\\Rightarrow\displaystyle h_b=\frac ab\cdot h_a\end{array}$$

Da %%a%% und %%b%% unverändert bleiben, ist %%h_b%% nur noch halb so groß (ein Drittel, ein Viertel), wenn sich %%h_a%% entsprechend ändert.

Wahr oder falsch?

Wird ohne Veränderung der Seitenlängen eine Höhe eines Parallelogramms um %%1\,\text{cm}%% (%%2\,\text{cm}%%, %%3\,\text{cm}%%) kleiner, dann wird auch die andere Höhe um %%1\,\text{cm}%% (%%2\,\text{cm}%%, %%3\,\text{cm}%%) kleiner.

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:

$$\begin{array}{l}A_{Parallelogramm}=\;a\cdot h_a\;\;und\\A_{Parallelogramm}=\;b\cdot h_b\end{array}$$

Also gilt:

$$b\cdot h_b=a\cdot h_a$$

Verkleinere %%h_a%% um %%1\,\text{LE}%% und berechne das zugehörige %%h_b'%%.

Voraussetzung: %%h_a>1\;LE%%

$$b\cdot h_b'=a\cdot(h_a-1)$$

durch %%b%% dividieren

%%\displaystyle h_b'=\frac ab(h_a-1)%%

rechte Seite ausmultiplizieren

$$h_b'=\frac abh_a-\frac ab=h_b-\frac ab$$

Ergebnis:

Die neue Höhe %%h_b'%% wird um %%\displaystyle \frac{a}{b} \;\text{LE}%% kleiner. Nur wenn gilt: %%a=b%%, d.h. wenn das Parallelogramm eine Raute ist, würde auch %%h_b%% gerade um %%1\,\text{LE}%% kleiner werden.

Das gleiche gilt, wenn - falls dies überhaupt möglich ist - %%h_a%% um %%2\,\text{LE}%% oder %%3\,\text{LE}%% kleiner wird.

Schiebetüren

Erkläre den Mechanismus des gezeichneten Schiebetürenmodells.

Wie groß ist die Breite der Türöffnung?

Berechne die Winkel eines Parallelogramms.

wenn einer der vier Winkel %%92^\circ%% beträgt.

Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Innenwinkel gleich groß und die Winkelsumme aller Winkel beträgt %%360°%%.

%%\begin{align}2 \alpha + 2 \beta &= 360°\quad \quad |:2 \\ \alpha + \beta &= 180° \end{align}%%

Setze den gegebenen Wert für %%\alpha%% ein.

%%\begin{align} 92°+ \beta &=180°\quad\quad|-92°\\ \beta &=88°\end{align}%%

Die gesuchten Winkelgrößen des Parallelogramms sind %%88°%% und %%92°%% .

wenn die größeren Winkel gerade doppelt so groß sind wie die Kleineren.

Setze %%\beta%% gleich %%2 \alpha%% und bilde die Winkelsumme.

%%\begin{align} \alpha + 2\alpha + 2\alpha + \alpha &=360° \\ 6\alpha &=360°\quad \quad |:6\\ \alpha &=60°\end{align}%%

Die gesuchten Winkelmaße des Parallelogramms betragen %%60°%% und %%120°%%.

wenn die kleineren Winkel um jeweils %%20°%% kleiner sind als die Größeren.

Setze %%\beta%% gleich %%\alpha+20°%% und bilde die Winkelsumme des Parallelogramms.

%%\begin{align}\alpha+(\alpha + 20°)+ \alpha + (\alpha+20°) &= 360°\\ 4\alpha+40° &=360° \quad |-40°\\ 4\alpha &=320°\quad|:4\\ \alpha &=80°\end{align}%%

Die gesuchten Winkelmaße des Parallelogramms betragen %%80°%% und %%100°%%.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Parallelogramm

So könnte der Satz zu Ende gehen:

"… an der einen Seite ein Dreieck wegschneiden und es an der gegenüber liegenden Seite anlegen, dann erhältst du ein Rechteck"

Am Beispiel der Zeichnung könnte man das Parallelogramm genau dort zerschneiden, wo der Doppelpfeil eingezeichnet ist.

%%\Rightarrow%% Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen, kann man einfach eine Seite a und ihre Höhe h in die  Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks einsetzen.

 

 

%%a=6\mathrm{cm}%%, %%h=4\mathrm{cm}%%

Werte in die Formel einsetzen.

%%A=6\cdot4%%

%%A=24%%

Berechne den Umfang eines Parallelogramms mit den angegebenen Seitenlängen.

%%a=5\,\text{LE}%% , %%b=7\,\text{LE}%%

%%a=5\,\text{LE}%% , %%b=7\,\text{LE}%%

Setze die Werte in die Formel ein.

%%U=2\cdot5\,\text{LE}+2\cdot7\,\text{LE}%%

Berechne den Wert und beachte dabei die Regel "Punkt vor Strich"

%%U=10\,\text{LE}+14\,\text{LE} = 24\, \text{LE}%%

Antwort: Der Umfang des Parallelogramms ist %%24\,\text{LE}%%

Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt 72%%\,\text{cm}^2%% und die Höhe %%h_a = 4,8\,\text{cm}%%. Der Umfang des Parallelogramms beträgt 62%%\,\text{cm}.%% Berechne die Seitenlängen %%a%% und %%b%% und die Höhe %%h_b%%.

%%\begin{align}\text{Gegeben:}\;A_{Parallelogramm} &= 72\,\text{cm}^2\\ U_{Parallelogramm} &=62\,\text{cm}\\ h_a &= 4,8\,\text{cm} \end{align}%%

Gesucht: Die Seitenlängen %%a%% und %%b%%, sowie die Höhe %%h_b%%.

Benutze die Flächenformel für das Parallelogramm.

%%\begin{align}a\cdot4,8\,\text{cm} &=72\,\text{cm}^2\quad|:4,8\,\text{cm}\\ \color{red}{a} &=\color{red}{15\,\text{cm}}\end{align}%%

Benutze die Formel für den Umfang des Parallelogramms.

%%\begin{align}2\cdot15\,\text{cm}+2\cdot b&=62\,\text{cm}\quad|-30\,\text{cm} \\ 2\cdot b&=32\,\text{cm}\quad|:2\\ \color{red}{b} &=\color{red}{16\,\text{cm}}\end{align}%%

Benutze die Flächenformel für das Parallelogramm unter Benutzung von %%b%%.

%%\begin{align} 16\,\text{cm}\cdot h_b &=72\,\text{cm}^2\quad|:16\,\text{cm}\\ \color{red}{h_b} &=\color{red}{4,5\,\text{cm}}\end{align}%%

Formenreichtum

Parallelogramme lassen sich mit anderen Vierecken zu vielfältigen Formen zusammensetzen.

Berechne die Flächeninhalte der angegebenen Buchstaben-Formen.

Berechne die gezeichnete Fläche.

%%\quad\quad%%

Die Figur ist achsensymmetrisch.

Die rechte Hälfte lässt sich in ein Parallelogramm %%ABCD%% mit der Seitenlänge %%2\,\text{LE}%% und der zugehörigen Höhe von %%(10-4)\,\text{LE}%% und in ein rechtwinkliges Dreieck %%ABE%% mit den Katheten %%2\,\text{LE}%% und %%4\,\text{LE}%% zerlegen.

Setze die Gesamtfläche aus diesen Teilflächen zusammen.

$$\begin{array}{l}A_{Parallelog ramm\;ABCD}=2\,cm\cdot6\,cm=12\,cm^2\\A_{Dreieck\;ABE}=\frac12\cdot2\,cm\cdot4\,cm=4\,cm^2\\Gesamtfläche=2\cdot 16\,cm^2=32\,cm^2\end{array}$$

Berechne die gezeichnete Fläche.

%%\quad \quad%%

Berechnung über Parallelogrammflächen

Die Figur ist punktsymmetrisch und setzt sich aus vier kongruenten Parallelogrammen zusammen, die sich in einem Quadrat überschneiden.

Die Parallelogramme haben die Seitenlänge %%5\,\text{LE}%% und die Höhe %%13\,\text{LE}%%.

Das Quadrat hat die Diagonalenlänge %%5\,\text{LE}%%.

Addiere alle vier Parallelogrammflächen und ziehe davon die Fläche des Quadrats ab.

Fläche eines Quadrats mit der Diagonlen %%d\,\text{LE}%%

%%\quad\quad%%

%%\displaystyle A_\square = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot d\cdot\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\cdot d^2%%

Für %%d=5\,\text{LE}%% ergibt sich: %%\quad A_{ABCD} =12,5\,\text{FE}%%

%%A_{Gesamtfigur} = 4\cdot5\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}-12,5\,\text{FE}%%

%%A_{Gesamtfigur} = 247,5\,\text{FE}%%

Anmerkung

Du kannst auch die beiden "Balken" der Buchstabenfigur als jeweils ein Ganzes betrachten: Parallelogramme mit der Seitenlänge %%5\, \text{LE}%% und der Höhe %%26\,\text{LE}%%. Von ihrer Summe musst du dann aber - genauso wie oben - den überschneidenen Anteil eines Quadrats mit der Diagonlenlänge %%5\,\text{LE}%% wieder abziehen.

Berechnung ohne Parallelogrammflächen (Subtraktionsverfahren)

Bei komplizierteren Figuren berechnet man den Flächeninhalt oft nicht dadurch, dass man sie sich aus Teilfiguren zusammengesetzt denkt und deren Flächen addiert, sondern dadurch, dass man "über die Figur hinaus schaut". Man denkt sich dann die Figur in eine größere, aber leicht berechenbare Figur "eingebettet" und subtrahiert von dieser zu großen Fläche die kleineren und oft ebenfalls leicht berechenbaren Restflächen.

Für unsere Figur geht das so:

Denke dir den Buchstaben in ein Rechteck eingebettet und ziehe von dessen Fläche zwei Quadratflächen ab.

Dies ist das Ergebnis:$$\begin{align} A_{Gesamtfläche}&= \underbrace{26\,\text{LE}\cdot31\,\text{LE}}_{Rechtecksfläche}-\underbrace{26\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}}_{Quadrat\, mit\ Diagonale\, 26\,LE} - \underbrace {21\,\text{LE} \cdot 10,5\,\text{LE}}_{Quadrat\,mit\,Diagonale\,21\,LE}\\ A_{Gesamtfläche} &=806\,\text{FE}-338\,\text{FE} -220,5\,\text{FE} \\ A_{Gesamtfläche} &=247,5\,\text{FE}\end{align}$$

Die Lösung kannst du im folgenden Spoiler nachvollziehen.

Lösung im Sutraktionsverfahren

%%\quad \quad%%

Die Buchstabenfigur ist in ein Rechteck mit den Maßen %%26\,\text{LE}%% und %%31\,\text{LE}%% eingebettet.

Die beiden roten gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke ergeben zusammen ein Quadrat mit der Diagonlenlänge von %%21\,\text{LE}%%, die beiden grünen eines mit der Diagonalenlänge von %%26\,\text{LE}%%.

Damit gilt:

%%A_{Buchstabenfläche}= 26\,\text{LE} \cdot 31\,\text{LE}-21\,\text{LE}\cdot 10,5\,\text{LE}-26\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}=247,5\,\text{FE}%%

Berechne die gezeichnete Fläche.

Die gesuchte Fläche ergibt sich als Differenz einer großen Rechtecksfläche und der Summe zweier kongruenter gleichschenklig-rechtwinkliger Dreiecke und eines kleinen Rechtecks.

%%\displaystyle A_{gesuchte\,Fläche} =60\,\text{LE}\cdot 46\,\text{LE}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot36\,\text{LE} \cdot36\,{LE}-10\,\text{LE} \cdot 6\,\text{LE}%%

%%A_{gesuchte \,Fläche} =1404\,\text{FE}%%

Parkettierung eines Parallelogramms

Unter einer Parkettierung einer geometrischen Figur versteht man die vollständige überschneidungsfreie Überdeckung der Figur mit Teilfiguren.

Für das gezeichnete Parallelogramm %%ABCD%% gelte %%\overline{AB}=\;20\;LE%%, die zugehörige Höhe betrage %%10\;LE%%. %%\;M_1%% und %%\;M_2%% seien Mittelpunkte der Parallelogrammseiten.

Berechne die Flächeninhalte der überdeckenden Teilfiguren.

%%\quad\quad\quad\quad%%

Die vier Dreiecke %%AM_1E,\; EM_2D,\;M_1BF,\;CM_2F%% sind paarweise (z.B. nach dem WSW-Satz) kongruent mit dem Flächeninhalt $$\frac{1}{2}\cdot10\,LE\cdot5\,LE=25\,FE.$$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks %%AED%% gilt: $$\frac{1}{2}\cdot10\,LE\cdot10\,LE-25\,FE=25\,FE.$$

Dreieck %%BCF%% ist nach dem WSW-Satz kongruent zu Dreieck %%AED%% mit %%25\,FE%%.

Für den Flächeninhalt des inneren Parallelogramms %%M_1FM_2E%% ergibt sich dann:$$200\,FE-6\cdot25\,FE=50\,FE.$$

Berechne die Flächeninhalte der Parallelogramme %%ABCD%%.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms %%ABCD%%.

Der Schnittpunkt %%H%% des Thaleskreises über %%[AD]%% mit der Diagonalen %%[AC]%% erzeugt einen rechten Winkel.

Damit ist %%\overline{DH}= 8\,\text{cm}%% die Höhe im Dreieck %%ACD%% mit der Grundlinienlänge von %%12\,\text{cm}%%.

$$\begin{array}{l}\displaystyle A_{Parallellogramm\;ABCD}=2\cdot A_{Dreieck\;ACD}=2\cdot\frac12\cdot8\;cm\cdot12\;cm\\A_{Parallelog ramm\;ABCD\;}=96\;cm^2\end{array}$$

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms %%ABCD%%.

Da der Punkt D auf dem Thaleskreis über %%[AB]%% liegt, ist das Dreieck %%ABD%% rechtwinklig.

Die Kathetenlängen sind %%10\, cm%% und %%6\, cm%%.

$$\begin{array}{l}A_{Parallelogramm\;ABCD}=2\cdot A_{ABD}=2\cdot\frac12\cdot6\;cm\cdot10\;cm\\\\A_{Parallelog ramm\;ABCD}=60\;cm^2\end{array}$$

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms %%ABCD%%, wenn %%M%% der Mittelpunkt von %%[DC]%% ist.

%%\triangle BCM%% ist gleichschenklig und rechtwinklig mit der Hypotenusenlänge %%10\,\text{LE}%%.

%%\triangle BCE%% ist ebenfalls gleichschenklig und rechtwinklig mit den Kathetenlängen %%5\,\text{LE}%%.

%%\overline{BE}%% ist die Höhe %%h%% zur Seite %%[AB]%%.

Damit gilt:

$$A_{Parallelogramm\;ABCD}=20\;LE\;\cdot\;5\;LE\;=\;100\;FE$$

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