Aufgaben
Pyramide
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche.Der Punkt C halbiert die Höhe h. 

Die Winkel im Dreieck ABC hängen nicht von a ab.

Berechne jeweils in Abhängigkeit von a
(1) das Volumen der Pyramide, 
(2) den Oberflächeninhalt der Pyramide.
(3) die drei Seitenlängen im Dreieck ABC.
(4) die Winkel im Dreieck ABC. 
(5) den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge a als Grundfläche. Die Seitenkanten haben ebenfalls die Länge a.
  1. Zeichne ein Netz der Pyramide für a = 4cm.
  2. Berechne die Höhe h der Pyramide in Vielfachen von a.
  3. Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide.
Pyramide


Pyramide

Teilaufgabe b

Dreieck
h2+(22a)2=a2    h=22ah^2+\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h=\frac{\sqrt2}2a
Satz des Pythagoras  anwenden



Teilaufgabe c

(h)2+(12a)2=a2    h=32a\left(h_\bigtriangleup\right)^2+\left(\frac12a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}2a

Die Höhe innerhalb der Dreiecks-Seitenfläche bestimmen.
Satz des Pythagoras  anwenden.
A=12ah=34a2A_\bigtriangleup=\frac12\cdot a\cdot h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}4a^2
Flächeninhalt des  Dreiecks bestimmen.
O=4A+a2=a2+434a2=(1+3)a2O=4\cdot A_\bigtriangleup+a^2=a^2+4\cdot\frac{\sqrt3}4a^2=\left(1+\sqrt3\right)\cdot a^2
Oberflächeninhalt bestimmen.

Pyramide
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge a als Grundfläche. Die Höhe der Pyramide ist 2a.
  1. Berechne die Länge der Seitenkanten k in Vielfachen von a.
  2. Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide in Vielfachen von  a2a^2
  3. Bestimme a auf Millimeter genau, wenn der Oberflächeninhalt genau 400cm2400cm^2  betragen soll.
Pyramide+Würfel
Ein Würfel und eine gerade Pyramide haben jeweils ein Quadrat der Kantenlange a als Grundfläche. Beide Körper sollen den gleichenOberflächeninhalt haben.
Wie lang müssen dann die Seitenkanten der Pyramide sein?
Berechne auch die Höhe der Pyramide.

Würfel und Pyramide

Dreieck

5a2=a2+4A5a^2=a^2+4\cdot A_\bigtriangleup
Gleichsetzung des Oberflächeninhalts des  Würfels  und der  Pyramide .
a2\left|-a^2\right. ( Gleichung umformen )
5a2=4A5a^2=4\cdot A_\bigtriangleup
Formel für Flächeninhalt eines  Dreiecks für  AA_\bigtriangleup einsetzen.
5a2=2ah5a^2=2\cdot a\cdot h_\bigtriangleup
:2a\left|:2a\right. ( Gleichung umformen )
showimage.php?formula=60bb0342bf96bad0e4
Höhe des Dreiecks bestimmen.
k2=h2+(12a)2=254a2+14a2=264a2k^2=h_\bigtriangleup^2+\left(\frac12a\right)^2=\frac{25}4a^2+\frac14a^2=\frac{26}4a^2
Satz des Pythagoras anwenden.
\left|\sqrt{}\right. ( Wurzel ziehen )
k=262ak=\frac{\sqrt{26}}2a
Seitenkante k ausrechnen.
d=2a2=2ad=\sqrt{2a^2}=\sqrt2a
Diagonale d des Quadrats mit Satz des Pythagoras bestimmen.
Dreieck

k2=h2+(d2)2k^2=h^2+\left(\frac d2\right)^2
(d2)2\left|-\left(\frac d2\right)^2\right. ( Gleichung umformen )
h2=k2(d2)2=264a2(22a)2==264a224a2=244a2=6a2\begin{array}{l}h^2=k^2-\left(\frac d2\right)^2=\frac{26}4a^2-\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=\\=\frac{26}4a^2-\frac24a^2=\frac{24}4a^2=6a^2\end{array}
\left|\sqrt{}\right. ( Wurzel ziehen )
h=6a2,45ah=\sqrt6a\approx2,45a
Höhe der Pyramide h berechnen

Eine Pyramide habe als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit Umkreisradius r ( \Rightarrow Grundkantenlänge auch r und der Inkreisradius ist 32r\frac{\sqrt3}2\mathrm r ).
Der Höhenfußpunkt der Pyramide ist der Umkreismittelpunkt, die Seitenkantenlänge ist 2,6r2,6\mathrm r .

Berechne das Volumen der Pyramide.
Berechne den Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche und den Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge a. Die Höhe der Pyramide beträgt 2a. Berechne die Seitenkantenlängen in Vielfachen von a. Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von a.
Pyramide
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b = 2a. Die Höhe der Pyramide beträgt h = 1,5a. 
Berechne die Seitenkantenlängen in Vielfachen von a. 
Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von a².


Volumen und Massenberechnung

Dreieck


d2=a2+(2a)2=5a2d^2=a^2+\left(2a\right)^2=5a^2

Diagonale d des  Rechtecks  mit Satz des Pythagoras bestimmen.\left|\sqrt{}\right. ( Wurzel ziehen )
d=5ad=\sqrt5a
Diagonale bestimmen.
k2=h2+(d2)2=(32a)2+(52a)2=144a2k^2=h^2+\left(\frac d2\right)^2=\left(\frac32a\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}2a\right)^2=\frac{14}4a^2
Seitenkante k ausrechnen.
Satz des Pythagoras anwenden.
\left|\sqrt{}\right. ( Wurzel ziehen )
k=142ak=\frac{\sqrt{14}}2a

G=ba=2aa=2a2G=b\cdot a=2a\cdot a=2a^2
Grundfläche  G berechnen.
k2=h12+(a2)2k^2=h_{\bigtriangleup1}^2+\left(\frac a2\right)^2
Höhen h1h_{\bigtriangleup1}   der Mantelfläche berechnen.
(a2)2\left|-\left(\frac a2\right)^2\right. ( Gleichung umformen )
h12=k2(a2)2=144a214a2=134a2h_{\bigtriangleup1}^2=k^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{14}4a^2-\frac14a^2=\frac{13}4a^2
\left|\sqrt{}\right. ( Wurzel ziehen )
h1=132ah_{\bigtriangleup1}=\frac{\sqrt{13}}2a

k2=h22+a2k^2=h_{\bigtriangleup2}^2+a^2
Höhen  h2h_{\bigtriangleup2}   der Mantelfläche berechnen.
a2\left|-a^2\right. ( Gleichung umformen )
h22=k2a2=144a2a2=104a2h_{\bigtriangleup2}^2=k^2-a^2=\frac{14}4a^2-a^2=\frac{10}4a^2
\left|\sqrt{}\right. ( Wurzel ziehen )
h1=102ah_{\bigtriangleup1}=\frac{\sqrt{10}}2a

m1=12ah1=12a132a=134a2m_1=\frac12\cdot a\cdot h_{\bigtriangleup1}=\frac12\cdot a\cdot\frac{\sqrt{13}}2a=\frac{\sqrt{13}}4a^2
Mantelfläche   m1m_1  berechnen.
m2=12bh2=122a102a=102a2m_2=\frac12\cdot b\cdot h_{\bigtriangleup2}=\frac12\cdot2a\cdot\frac{\sqrt{10}}2a=\frac{\sqrt{10}}2a^2
Mantelfläche   m2m_2  berechnen.
O=G+2m1+2m2=2a2+2134a2+2102a2==(2+132+10)a26,97a2\begin{array}{l}O=G+2\cdot m_1+2\cdot m_2=2a^2+2\cdot\frac{\sqrt{13}}4a^2+2\cdot\frac{\sqrt{10}}2a^2=\\=\left(2+\frac{\sqrt{13}}2+\sqrt{10}\right)a^2\approx6,97a^2\end{array}
Oberflächeninhalt O berechnen.
Distributivgesetz anwenden.
Netz aus gleichseitigen Dreiecken
Das nebenstehende Netz mit lauter gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge k lässt sich zu einem Oktaeder falten, indem man zunächst aus der "linken" Hälfte des Netzes eine Pyramide herstellt.
Berechne die Höhe dieser Pyramide und zeichne ein Schrägbild des Oktaeders.
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