Aufgaben

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche. Der Punkt C halbiert die Höhe h. 

Die Winkel im Dreieck ABC hängen nicht von a ab. Berechne jeweils in Abhängigkeit von a

  1. das Volumen der Pyramide, 

  2. den Oberflächeninhalt der Pyramide.

  3. die drei Seitenlängen im Dreieck ABC.

  4. Berechne die Winkel im Dreieck ABC. 

  5. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC in Vielfachen von a2 

Pyramide

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge a als Grundfläche. Die Seitenkanten haben ebenfalls die Länge a.
  1. Zeichne ein Netz der Pyramide für a = 4cm.
  2. Berechne die Höhe h der Pyramide in Vielfachen von a.
  3. Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide.
Pyramide


Pyramide

Teilaufgabe b

Dreieck
h2+(22a)2=a2    h=22ah^2+\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h=\frac{\sqrt2}2a
Satz des Pythagoras  anwenden



Teilaufgabe c

(h)2+(12a)2=a2    h=32a\left(h_\bigtriangleup\right)^2+\left(\frac12a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}2a

Die Höhe innerhalb der Dreiecks-Seitenfläche bestimmen.
Satz des Pythagoras  anwenden.
A=12ah=34a2A_\bigtriangleup=\frac12\cdot a\cdot h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}4a^2
Flächeninhalt des  Dreiecks bestimmen.
O=4A+a2=a2+434a2=(1+3)a2O=4\cdot A_\bigtriangleup+a^2=a^2+4\cdot\frac{\sqrt3}4a^2=\left(1+\sqrt3\right)\cdot a^2
Oberflächeninhalt bestimmen.


Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge a als Grundfläche. Die Höhe der Pyramide ist 2a.

  1. Berechne die Länge der Seitenkanten k in Vielfachen von a.

  2. Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide in Vielfachen von  %%a^2%%

  3. Bestimme a auf Millimeter genau, wenn der Oberflächeninhalt genau %%400cm^2%%  betragen soll.

Pyramide

Teilaufgabe a

Dreieck

%%d=\sqrt{2a^2}=\sqrt2a%%

Diagonale d des Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen. 

%%\left(2a\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=k^2\;\Rightarrow\;k=\frac{3\sqrt2}2a%%

 

Teilaufgabe b

Dreieck

%%k^2=h_\bigtriangleup^2+\left(\frac a2\right)^2%%

%%\left|-\left(\frac a2\right)^2\right.%% (Satz des Pythagoras nach  %%h_\bigtriangleup%%  auflösen)

%%h_\bigtriangleup=\sqrt{k^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{\sqrt{17}}2a%%

In Flächenformel für Dreiecke einsetzen. 

%%A_\bigtriangleup=\frac12\cdot a\cdot h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt{17}}4a^2%%

%%O=a^2+4\cdot F_\bigtriangleup=a^2+\sqrt{17}a^2=\left(1+\sqrt{17}\right)a^2%%

Oberfläche der Pyramide ausrechnen.

 

Teilaufgabe c

%%S=400cm^2%%

Oberfläche gleichsetzen .

%%\left(1+\sqrt{17}\right)a^2=400cm^2%%

%%\left|:\left(1+\sqrt{17}\right)\right.%% ( Gleichung umformen )

%%a^2=\frac{400cm^2}{\left(1+\sqrt{17}\right)}%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Gleichung umformen )

%%a=\frac{\sqrt{400cm^2}}{\sqrt{1+\sqrt{17}}}\approx8,8cm%%

 

Ein Würfel und eine gerade Pyramide haben jeweils ein Quadrat der Kantenlange a als Grundfläche. Beide Körper sollen den gleichen Oberflächeninhalt haben.

Wie lang müssen dann die Seitenkanten der Pyramide sein?

Berechne auch die Höhe der Pyramide.

Pyramide+Würfel

Dreieck

%%5a^2=a^2+4\cdot A_\bigtriangleup%%

#

#

Gleichsetzung des Oberflächeninhalts des  Würfels  und der  Pyramide .

%%\left|-a^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%5a^2=4\cdot A_\bigtriangleup%%

Formel für Flächeninhalt eines  Dreiecks für  %%A_\bigtriangleup%% einsetzen.

%%5a^2=2\cdot a\cdot h_\bigtriangleup%%

%%\left|:2a\right.%% ( Gleichung umformen )

showimage.php?formula=60bb0342bf96bad0e4

Höhe des Dreiecks bestimmen.

%%k^2=h_\bigtriangleup^2+\left(\frac12a\right)^2=\frac{25}4a^2+\frac14a^2=\frac{26}4a^2%%

Satz des Pythagoras anwenden.

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%k=\frac{\sqrt{26}}2a%%

Seitenkante k ausrechnen.

%%d=\sqrt{2a^2}=\sqrt2a%%

Diagonale d des Quadrats mit Satz des Pythagoras bestimmen.

Dreieck

%%k^2=h^2+\left(\frac d2\right)^2%%

%%\left|-\left(\frac d2\right)^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%\begin{array}{l}h^2=k^2-\left(\frac d2\right)^2=\frac{26}4a^2-\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=\\=\frac{26}4a^2-\frac24a^2=\frac{24}4a^2=6a^2\end{array}%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%h=\sqrt6a\approx2,45a%%

Höhe der Pyramide h berechnen

Eine Pyramide habe als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit Umkreisradius r ( \Rightarrow Grundkantenlänge auch r und der Inkreisradius ist 32r\frac{\sqrt3}2\mathrm r ).
Der Höhenfußpunkt der Pyramide ist der Umkreismittelpunkt, die Seitenkantenlänge ist 2,6r2,6\mathrm r .

Berechne das Volumen der Pyramide.
Berechne den Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche und den Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.

Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b = 2a. Die Höhe der Pyramide beträgt h = 1,5a. 

Berechne die Seitenkantenlängen in Vielfachen von a. 

Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von a².

Pyramide

Volumen und Massenberechnung

Dreieck

%%d^2=a^2+\left(2a\right)^2=5a^2%%

Diagonale d des  Rechtecks  mit Satz des Pythagoras bestimmen. %%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%d=\sqrt5a%%

Diagonale bestimmen.

%%k^2=h^2+\left(\frac d2\right)^2=\left(\frac32a\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}2a\right)^2=\frac{14}4a^2%%

Seitenkante k ausrechnen.

Satz des Pythagoras anwenden.

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%k=\frac{\sqrt{14}}2a%%

%%G=b\cdot a=2a\cdot a=2a^2%%

Grundfläche  G berechnen.

%%k^2=h_{\bigtriangleup1}^2+\left(\frac a2\right)^2%%

Höhen %%h_{\bigtriangleup1}%%   der Mantelfläche berechnen.

%%\left|-\left(\frac a2\right)^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%h_{\bigtriangleup1}^2=k^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{14}4a^2-\frac14a^2=\frac{13}4a^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%h_{\bigtriangleup1}=\frac{\sqrt{13}}2a%%

%%k^2=h_{\bigtriangleup2}^2+a^2%%

Höhen  %%h_{\bigtriangleup2}%%   der Mantelfläche berechnen.

%%\left|-a^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%h_{\bigtriangleup2}^2=k^2-a^2=\frac{14}4a^2-a^2=\frac{10}4a^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%h_{\bigtriangleup1}=\frac{\sqrt{10}}2a%%

%%m_1=\frac12\cdot a\cdot h_{\bigtriangleup1}=\frac12\cdot a\cdot\frac{\sqrt{13}}2a=\frac{\sqrt{13}}4a^2%%

Mantelfläche   %%m_1%%  berechnen.

%%m_2=\frac12\cdot b\cdot h_{\bigtriangleup2}=\frac12\cdot2a\cdot\frac{\sqrt{10}}2a=\frac{\sqrt{10}}2a^2%%

Mantelfläche   %%m_2%%  berechnen.

%%\begin{array}{l}O=G+2\cdot m_1+2\cdot m_2=2a^2+2\cdot\frac{\sqrt{13}}4a^2+2\cdot\frac{\sqrt{10}}2a^2=\\=\left(2+\frac{\sqrt{13}}2+\sqrt{10}\right)a^2\approx6,97a^2\end{array}%%

Oberflächeninhalt O berechnen.

Distributivgesetz anwenden.

Netz aus gleichseitigen Dreiecken
Das nebenstehende Netz mit lauter gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge k lässt sich zu einem Oktaeder falten, indem man zunächst aus der "linken" Hälfte des Netzes eine Pyramide herstellt.
Berechne die Höhe dieser Pyramide und zeichne ein Schrägbild des Oktaeders.
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