Aufgaben
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist ein Laplace-Experiment?
Werfen einer Münze
Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,2,3,4,5,21,2,3,4,5,2 versehen.
Ziehen eines Loses aus einem Lostopf

Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,2,3,4,5,21,2,3,4,5,2 versehen

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Es ist zwar
P(ω)=16P(\omega)=\frac{1}{6} für ωA={1,3,4,5}\omega \in A = \left\{1,3,4,5\right\}
(Kurzschreibweise für: P({1})=P({3})=P({4})=P({5})=16P(\left\{1\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=P(\left\{5\right\})=\frac16),
d.h. man würfelt mit einer Wahrscheinlichkeit von 16\frac16 eine 1,3,4oder51,3,4 \, \text{oder} \, 5,
aber die Wahrscheinlichkeit eine 22 zu würfeln, ist P({2})=2616P(\left\{2\right\})=\frac26 \ne \frac16.
Die 22 kommt nämlich zweimal in der Grundmenge Ω={1,2,3,4,5,2}\Omega= \left\{1,2,3,4,5,2\right\} vor.

Ziehen eines Loses aus einem Lostopf

Dies ist im Allgemeinen kein Laplace-Experiment, denn der Losverkäufer wird immer aus eigenem Interesse mehr Nieten als Gewinne in seinem Lostopf haben ;)
So können die Elementarereignisse "Ziehen einer Niete" und "Ziehen eines Gewinns" nicht gleich wahrscheinlich sein.
Sind in einem Lostopf genauso viele Gewinne wie Nieten, dann sind die beiden Elementarereignisse natürlich gleich wahrscheinlich und ein solches Zufallsexperiment ist dann auch ein Laplace-Experiment.

Werfen einer Münze

Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu würfeln, ist jeweils 12\frac12, so dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Solche Münzen werden daher oft als Laplace-Münzen bezeichnet.
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,3,5,7,9,111,3,5,7,9,11 versehen
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit unterschiedlichen 10 Kugeln

Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,3,5,7,9,111,3,5,7,9,11 versehen.

Dies ist ein Laplace-Experiment, denn P(ω)=16P(\omega)=\frac16 für alle ωΩ\omega \in \Omega, wobei Ω={1,3,5,7,9,11}\Omega= \left\{1,3,5,7,9,11\right\}. Die Elementarereignisse haben also alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten

Dies ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen jeder einzelnen Karte 152\frac{1}{52} beträgt.
Hier geht man davon aus, dass alle Karten voneinander unterscheidbar sind, da sonst nichts angegeben ist.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln

Dies ist ein Laplace-Experiment.
Hier unterscheidetman wiederum gedanklich die 1010 einzelnen Kugeln, sodass jede Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit 110\frac{1}{10} gezogen wird.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind.
Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen, beträgt nämlich 610=35\frac{6}{10}=\frac{3}{5} und die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus der Urne zu ziehen, ist 410=25\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
Gegeben seien folgende Zufallsexperimente:
Zufallsexperiment 1
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 2
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 3
Drehen des folgenden Glücksrades:
Welches der Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?
Zufallsexperiment 3
Zufallsexperiment 1
Zufallsexperiment 2

Zufallsexperiment 1


Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und haben jeweils unterschiedliche Farben.
Somit haben alle Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe xx" die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Zufallsexperiment 2


Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und jede Farbe kommt genau 2 Mal vor.
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe xx" gleich groß.

Zufallsexperiment 3


Die richtige Antwort lautet also Zufallsexperiment 33. Dies ist kein Laplace-Experiment.
Zunächst einmal stellt man fest, dass alle Felder gleich groß sind. Aber es gibt hier z.B. 4 rote und 3 grüne Felder, sodass das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe rot" und das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe grün" nicht gleich wahrscheinlich sein können. Die Wahrscheinlichkeit ein rotes Feld zu drehen, ist nämlich größer als ein grünes Feld zu drehen.
Ähnliches erhält man, wenn man die Wahrscheinlichkeit vom roten und lila Feld bzw. die Wahrscheinlichkeit vom grünen und lila Feld vergleicht.
Beschreibe ein Zufallsexperiment, das kein Laplace-Experiment ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Ein Glücksrad hat 5 Segmente.
Da jedoch nicht alle Segmente gleich groß sind, also die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu drehen kleiner ist als eine 5 zu drehen, ist dies kein Laplace-Experiment!
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/705.xml
Gib für folgende Zufallsexperimente jeweils einen Ergebnisraum an und entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt:
"Würfel"-Netz
Ein aus dem abgebildeten Netz gebastelter „Würfel“ wird geworfen und die oben liegende Farbe wird notiert.


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Es gibt drei Elementarereignisse, Grün, Gelb und Orange. Deren Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der entsprechend gefärbten Würfelseiten durch die Gesamtzahl der Würfelseiten.
Gru¨n ⁣:  28=14=25%Gelb ⁣:38=37,5%Orange ⁣:  38=37,5%\mathrm{Grün}\colon\;\,\dfrac28=\dfrac14=25\,\%\\\mathrm{Gelb}\colon\dfrac38=37{,}5\,\%\\\mathrm{Orange}\colon\;\dfrac38=37{,}5\,\%
 \Rightarrow Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse unterschiedlich wahrscheinlich sind.
Glücksrad
  1. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Zahl wird betrachtet.  
  2. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Farbe wird betrachtet.


Teilaufgabe 1

Es gibt acht Elementarereignisse, die Zahlen von 1 bis 8. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist gleich die Anzahl der entsprechenden Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder.
Da hier jede Zahl einem Feld entspricht, haben sie alle die Wahrscheinlichkeit 18\frac{1}{8}.
Insbesondere sind alle gleichwahrscheinlich, es handelt sich also um ein Laplace-Experiment.

Teilaufgabe 2

Hier gibt es drei Elementarereignisse, Orange, Grün und Blau. Diese haben jeweils die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der entsprechend farbigen Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder:
Orange: 48=12=50%\dfrac48=\dfrac12=50\,\% 
Grün: 38=37,5%\dfrac38=37{,}5\,\% 
Blau: 18=12,5%\dfrac18=12{,}5\,\% 
\Rightarrow Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.
Aus einer Tüte mit 13 roten, 9 grünen, 12 gelben und 21 weißen Gummibärchen wird zufällig ein Gummibärchen ausgewählt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Es gibt vier Elementarereignisse, Rot, Grün, Gelb und Weiß. Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der jeweiligen Gummibärchen geteilt durch die Gesamtzahl der Gummibärchen. Berechne also erst die Gesamtzahl und dann die Wahrscheinlichkeiten:
13+9+12+21=5513+9+12+21=55
Gesamtmenge ist Summe der verschiedenen Gummibärchen
Rot: 1355=23,6%\dfrac{13}{55}=23{,}6\,\% 
Grün: 955=16,4%\dfrac9{55}=16{,}4\,\% 
Gelb: 1255=21,8%\dfrac{12}{55}=21{,}8\,\% 
Weiß: 2155=38,2%\dfrac{21}{55}=38{,}2\,\% 
\Rightarrow Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten ungleich sind.
Bemerkung: Die Rechnung ist nicht unbedingt nötig, schon aus der unterschiedlichen Anzahl der Gummibärchen ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sein können.
Gib die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse des folgenden Zufallsexperiments CC an:
CC = "Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 8 unterschiedlichen Kugeln"
Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form an:
Zahl/Zahl, z.B. 2/3.
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:

P(ω)=1ΩP(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}
Bestimme Ω\Omega und Ω|\Omega|.
In der Urne sind 88 Kugeln.
Du kannst Ω\Omega zum Beispiel als Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\} wählen.

Ω=8\Rightarrow |\Omega|= 8
Berechne P(ω)P(\omega).
P(ω)=1Ω=18\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac18 für alle ωΩ\omega \in \Omega.

Also ist 1/8(=18)1/8 (=\frac18), die richtige Antwort.

Betrachtet wird das Zufallsexperiment:
"Werfen eines Würfels" - aber eines besonderen Würfels:
Was ist die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Elementarereignisses dieses Experiments, wenn es sich um einen Laplace-Würfel mit 6 Seiten handelt, von denen
  • jeweils 2 Seiten mit 0
  • jeweils 2 Seiten mit 1
  • jeweils 2 Seiten mit 2
beschriftet sind?
Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eingeben:
Zähler/Nenner, z.B. 4/5
und anschließend dein Ergebnis überprüfen lassen.
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:

P(ω)=1ΩP(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}
Bestimme Ω\Omega und Ω|\Omega|.
Der Laplace-Würfel hat 66 Seiten, von denen aber jeweils zwei gleich sind.
Du kannst Ω\Omega zum Beispiel als Ω={0,1,2}\Omega = \left\{0,1,2\right\} wählen.

Ω=3\Rightarrow |\Omega|= 3
Berechne P(ω)P(\omega).
P(ω)=1Ω=13\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac13 für alle ωΩ\omega \in \Omega.
Also ist 1/3 (=13)1/3 \ (=\frac13) die richtige Antwort.
Betrachtet wird das folgende Zufallsexperiment:
"Drehen eines Glücksrades mit 3 gleichgroßen Feldern"
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Glücksrad auf einer ungeraden Zahl stehen?
Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eintippen:
Zähler/Nenner, z.B. 4/7
und dann dein Ergebnis überprüfen lassen.

Laplace-Experiment

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:
P(A)=AΩP(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}
Dazu brauchst du nun Ω|\Omega| und A|A|,
wobei AA hier das Ereignis "Ungerade Zahl" ist.

Ergebnisraum Ω\Omega

Das Glücksrad hat 33 gleichgroße Felder.
Du kannst Ω\Omega zum Beispiel als Ω={1,2,3}\Omega = \left\{1,2,3\right\} wählen.

Ω=3\Rightarrow |\Omega|= 3


Ereignis "Ungerade Zahl"

Es gibt auf dem Glücksrad 22 ungerade Zahlen: 1 und 3.
A=2|A|=2
Berechne P(A)P(A).
P(A)=AΩ=23\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{3}.

Also ist 2/3 (=23)2/3\ (=\frac23) die richtige Antwort.

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und das Ereignis B="eine ungerade Augenanzahl wird gewürfelt". Gib P(B)P(B) an.
P(B)=12P(B)=\frac12
P(B)=23P(B)=\frac23
P(B)=13P(B)=\frac13
P(B)=63P(B)=\frac63
Es ist
B={1,3,5}                            B=3Ω={1,2,3,4,5,6}        Ω=6\begin{array}{l}B=\{1,3,5\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|B\right|=3\\\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=6\end{array}
und somit
P(B)=BΩ=36=12\displaystyle P(B)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac36=\frac12
Ein Laplace-Würfel wird 2 mal gewürfelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal die 3 fällt.
1136\frac{11}{36}
1336\frac{13}{36}
12\frac12
1236\frac{12}{36}
Sei AA = "Es wird mindestens einmal eine 3 geworfen"
P(A)=AΩP(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}
Bestimme A|A| und Ω|\Omega|.
Es gibt verschiendene Möglichkeiten, mithilfe der Kombinatorik, die Mächtigkeiten von AA und Ω\Omega zu bestimmen. Verwende eine von dir bevorzugten Methode.
Es ist
A=6+5=11|A|= 6 + 5 = 11
Ω=66=36|\Omega|= 6 \cdot 6 = 36

P(A)=AΩ=1136\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{11}{36}

Also ist 1136\frac{11}{36} die richtige Antwort.
Aus einem Bridge-Spiel (52 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
Zu text-exercise-group 3203: Hinweis
Nauran 2016-09-21 06:59:07+0200
Es wäre schön, wenn es bei dieser Aufgabe einen Spoiler oder so gibt, indem erklärt wird, was ein Bridge-Spiel (eigentlich: "französisches Blatt") ist und was für karten es da gibt + bild
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A: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Anzahl  der  Pikkarten=52:4=13  \mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;
Bereche die Wahrscheinlichkeit.
P=Anzahl  der  im  Spiel  vorhandenen  Pikkarten  Anzahl  aller  Spielkarten    P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pikkarten}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;
=1352=14=0,25=25%=\frac{13}{52}=\frac14=0,25=25\% 
B: ="Die gezogene Karte ist eine Dame"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Anzahl  der  Damen=4\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4
Bereche die Wahrscheinlichkeit.
P=Anzahl  der  im  Spiel  vorhandenen  Damen  Anzahl  aller  Spielkarten    P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\text{Damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;
=452=1130,07697,7%=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx0,0769\approx7,7\%
C: ="Die gezogene Karte ist Pik-Dame"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik-Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Anzahl  der  Pikdamen=1\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1
Bereche die Wahrscheinlichkeit.
P=Anzahl  der  im  Spiel  vorhandenen  Pikdamen  Anzahl  aller  Spielkarten    P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pik}\text{damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;
=1520,0192=1,92%=\frac{1}{52}\approx0,0192=1,92\%
D: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte oder eine Dame"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik oder Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Anzahl  der  Pikkarten=52:4=13\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13
Anzahl  der  Damen=4\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4
Eine der vier Damen ist aber gleichzeitig Pik, darf also nicht doppelt gezählt werden.
Kartenzahl=13+41=16\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13+4-1=16
Bereche die Wahrscheinlichkeit.
P=KartenzahlAnzahl  aller  Spielkarten  P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}
=16520,307730,8%=\frac{16}{52}\approx0,3077\approx30,8\%
F: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte, aber keine Dame"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik aber keine Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Anzahl  der  Pikkarten=52:4=13  \mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;
Anzahl  der  Pikdamen=1\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1
Fasse das zur Anzahl der Karten zusammen.
Kartenzahl=131=12\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13-1=12
Bereche die Wahrscheinlichkeit.
P=KartenzahlAnzahl  aller  Spielkarten    P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;
=1252=313=0,2308=23,1%=\frac{12}{52}=\frac3{13}=0,2308=23,1\% 
G: ="Die gezogene Karte ist eine Dame, aber keine Pikkarte"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame aber nicht Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Anzahl  der  Damen=4\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4
Anzahl  der  Pikdamen=1\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1
Fasse das zur Kartenzahl zusammen.
Kartenzahl=41=3\Rightarrow \text{Kartenzahl}=4-1=3
Bereche die Wahrscheinlichkeit.
P=KartenzahlAnzahl  aller  Spielkarten    P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;
=352=0,058=5,8%=\frac3{52}=0,058=5,8\% 
H: ="Die gezogene Karte ist weder Pik noch Dame".

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist weder Pik noch Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Anzahl  der  Pikkarten=52:4=13  \mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;
Anzahl  der  Damen=4\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4
Anzahl  der  Pikdamen=1\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Pikdamen}=1
Die Kartenzahl ist die Gesamtzahl abzüglich der Pik- und Damen-Karten. Dabei muss aber noch die Pikdame addiert werden, da diese doppelt abgezogen wird.
Kartenzahl=52134+1=36\Rightarrow \text{Kartenzahl}=52-13-4+1=36
Bereche die Wahrscheinlichkeit.
P=KartenzahlAnzahl  aller  Spielkarten    P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;
=3652=9130,692=69,2%=\frac{36}{52}=\frac{9}{13}\approx0,692=69,2\%
Die Oberfläche eines Würfels wird blau eingefärbt. Dann wird der Würfel durch 6 parallel zur Würfeloberfläche verlaufende Schnitte in 27 kongruente Teilwürfel zerlegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein willkürlich herausgegriffener Teilwürfel
keine blaue Fläche hat,

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

E=1\left|\mathrm E\right|=1Ω=27\left|\mathrm\Omega\right|=27
P(E)=127=3,7%\mathrm P\left(\mathrm E\right)=\frac1{27}=3,7\% 
\Rightarrow   Zu 3,7% zieht man einen Teil, dass keine blauen Flächen hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

E=12\left|\mathrm E\right|=12
Ω=27\left|\mathrm\Omega\right|=27
P(E)=1227=44,4%\mathrm P\left(\mathrm E\right)=\frac{12}{27}=44,4\% 
\Rightarrow   Man zieht zu 44,4% ein Würfelteil, das zwei eingefärbte Seiten hat.
Eine Zahl x mit 20<x3020<x\le30 wird willkürlich gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
eine Primzahl gezogen wird

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen Ω\Omega und A="x ist Primzahl".
A={23,29}        A=2A=\left\{23,29\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|A\right|=2
Ω={21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}        Ω=10\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10
Berechne nun die Wahrscheinlichkeit.
P(A)=210=0,2=20%P\left(A\right)=\frac2{10}=0,2=20\% 
        \;\;\Rightarrow\;\;Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl eine Primzahl.
eine gerade Zahl gezogen wird

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen Ω\Omega und B="x ist gerade".
B={22,24,26,28,30}        B=5B=\left\{22,24,26,28,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|B\right|=5
Ω={21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}        Ω=10\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10
Berechne die Wahrscheinlichkeit.
P(B)=510=0,50=50%P\left(B\right)=\frac5{10}=0,50=50\% 
        \;\;\Rightarrow\;\; Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ist die gezogene Zahl eine gerade Zahl.
eine durch 4 teilbare Zahl gezogen wird

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen Ω\Omega und C="x ist durch 4 teilbar".
C={24,28}        C=2C=\left\{24,28\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|C\right|=2
Ω={21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}        Ω=10\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10
Berechne die Wahrscheinlichkeit.
P(E)=210=0,2=20%P\left(E\right)=\frac2{10}=0,2=20\% 
        \;\;\Rightarrow\;\; Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl durch 4 teilbar.
eine durch 4 und 6 teilbare Zahl gezogen wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen Ω\Omega und D="x ist durch 4 und durch 6 teilbar".
D={24}        D=1D=\left\{24\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|D\right|=1
Ω={21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}        Ω=10\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10
Berechne die Wahrscheinlichkeit.
P(D)=110=0,1=10%P\left(D\right)=\frac1{10}=0,1=10\% 
        \;\;\Rightarrow\;\;Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ist die gezogene Zahl durch 4 und 6 teilbar.

Zwei Schüler einigen sich auf ein Würfelspiel bei dem ein sechs-seitiger Würfel zweimal geworfen wird und die Summe aus beiden Würfen als Ergebnis notiert wird. Wie mächtig ist der Ergebnisraum?

Handelt es sich bei dem Spiel um ein Laplace-Experiment?

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Es gibt mehrerere Wuerfelkombinationen welche dieselbe Wuerfelsumme ergeben, zum Beispiel 3 + 4 = 7 und 1 + 6 = 7. Aber andere Zahlen verlangen eine bestimmte Wuerfelkombination, zum Beispiel 2 = 1 + 1, und sind deshalb unwahrscheinlicher. Da nicht alle Ergebnisse des Ergebnisraums die selbe Wahrscheinlichkeit haben, handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment.

Bei welchem der folgenden Experimente handelt es sich um ein Laplace-Experiment?

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Zu B und C:

Es gibt mehr Moeglichkeiten zwei unterschiedliche Zahlen zu werfen (erst die eine Zahl dann die andere oder andersrum) als zwei gleiche Zahlen zu wuerfeln, deshalb sind sogenannte Paschs (zwei gleiche Zahlen) unwahrscheinlicher und die Wuerfelwurf kombination nur unter Beruecksichtung der Reihenfolge ein Laplace Experiment (C richtig, B falsch).

Zu A:

Die Summe zweier gerader Zahlen und zweier ungerader Zahlen ist gerade, aber nur die Summe einer ungeraden und einer geraden Zahl ist ungerade. Es hilft daher folgenden Ereignisbaum zu betrachten: wuerfel Da bei beiden Wuerfen die Wahrscheinlichkeit gleich gross ist eine gerade (2,4 und 6) oder eine ungerade (1, 3 und 5) Zahl zu wuerfeln. Sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Elementarereignisse des Experiments $$\Omega = \{ (u,u),(u,g),(g,u),(g,g) \}$$ gleich gross (1/4). Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Summe zu wuerfeln ist also gleich gross wie die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Summe zu wuerfeln (50%). $$p(gerade Summe)=p(\{(u,u),(g,g)\})=p((u,u))+p((g,g))= p(g,u)+p(u,g)=p(ungerade Summe)=0.5$$

Der erste Spieler würfelt eine 10. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Spieler eine höhere Summe würfelt und das Spiel gewinnt, in ganzen Prozent? (Runde dein Ergebnis auf die nächste ganze Zahl, um es zu überprüfen: 0,3675 → 37 (%).)

Für diese Aufgabe musst du die Kombinatorikregeln richtig anwenden.

Da es sich bei dem urspruenglichen Experiments, X die Summe zweier Wuerfelwuerfe, nicht um ein Laplace Experiment handelt, ist es besser sich das Ereignis in dem entsprechenden Laplace Experiment, die Kombination der Wuerfe unter Beruecksichtung der Reihenfolge, anzusehen:

$$p(X>10)=p(\{(5,6),(6,5),(6,6)\})=p(5,6)+p(6,5)+p(6,6)$$

Das urspruengliche Ereignis (X>10) kann in dem Hilfsexperiment durch drei Elementarereignisse erreicht werden (erst 5 dann 6 (Summe 11), andersrum oder 6er Pasch). Die Wahrscheinlichkeit der drei Elementarereignisse ist gleich und kann mit Hilfe der Ereignisraummaechtigkeit berechnet werden.

$$\Omega =\{(1,1),(1,2),…,(2,1),…,(6,6)\}$$ $$|\Omega|=6 \cdot 6 = 36 \rightarrow p(1,1)=p(1,2)=…=p(6,6)=\frac{1}{36}$$

Pro Wurf gibt es sechs unterschiedliche Ergebnisse und die Gesamtmaechtigkeit des Ergebnisraums betraegt deshalb 36 (6 mal 6). Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist deshalb 1/36.

$$p(x>10)=p(5,6)+p(6,5)+p(6,6)=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}=0.08333 \approx 8\%$$

Die Wahrscheinlcihkeit eine Summe groesser als 10 zu wuerfeln ist also die Summe der drei Einzelwahrscheinlichkeiten und ungefaehr 8%.

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