Aufgaben

Welches der folgenden Zufallsexperimente ist ein Laplace-Experiment?

Leider falsch! Dies ist im Allgemeinen kein Laplace-Experiment. Meistens gibt es deutlich mehr "Nieten" als "Gewinne". Deshalb ist eine Niete zu ziehen deutlich wahrscheinlicher, als ein Gewinn.

Leider falsch! Dies ist kein Laplace-Experiment. Das Ergebnis "%%2%%" ist hier wahrscheinlicher, als die anderen möglichen Ergebnisse.

Richtig! Dies ist ein Laplace-Experiment.

Werfen eines Würfels mit den Zahlen %%1,2,3,4,5,2%% versehen

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Es ist zwar

%%P(\omega)=\frac{1}{6}%% für %%\omega \in A = \left\{1,3,4,5\right\}%%

(Kurzschreibweise für: %%P(\left\{1\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=P(\left\{5\right\})=\frac16%%),

d.h. man würfelt mit einer Wahrscheinlichkeit von %%\frac16%% eine %%1,3,4 \, \text{oder} \, 5%%,

aber die Wahrscheinlichkeit eine %%2%% zu würfeln, ist %%P(\left\{2\right\})=\frac26 \ne \frac16%%.

Die %%2%% kommt nämlich zweimal in der Grundmenge %%\Omega= \left\{1,2,3,4,5,2\right\}%% vor.

Ziehen eines Loses aus einem Lostopf

Dies ist im Allgemeinen kein Laplace-Experiment, denn der Losverkäufer wird immer aus eigenem Interesse mehr Nieten als Gewinne in seinem Lostopf haben ;)

So können die Elementarereignisse "Ziehen einer Niete" und "Ziehen eines Gewinns" nicht gleich wahrscheinlich sein.

Beachte:

Sind in einem Lostopf genauso viele Gewinne wie Nieten, dann sind die beiden Elementarereignisse natürlich gleich wahrscheinlich und ein solches Zufallsexperiment ist dann auch ein Laplace-Experiment.

Werfen einer Münze

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Denn die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu würfeln, ist jeweils %%\frac12%%, so dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Solche Münzen werden daher oft als Laplace-Münzen bezeichnet.

Welches der folgenden Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?

Leider falsch! Dies ist ein Laplace-Experiment.

Leider falsch! Dies ist ein Laplace-Experiment.

Leider falsch! Dies ist ein Laplace-Experiment.

Richtig! Dies ist kein Laplace-Experiment.

Werfen eines Würfels mit den Zahlen %%1,3,5,7,9,11%% versehen.

Dies ist ein Laplace-Experiment, denn %%P(\omega)=\frac16%% für alle %%\omega \in \Omega%%, wobei %%\Omega= \left\{1,3,5,7,9,11\right\}%%. Die Elementarereignisse haben also alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten

Dies ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen jeder einzelnen Karte %%\frac{1}{52}%% beträgt.

Beachte:

Hier geht man davon aus, dass alle Karten voneinander unterscheidbar sind, da sonst nichts angegeben ist.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Hier unterscheidet man wiederum gedanklich die %%10%% einzelnen Kugeln, sodass jede Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit %%\frac{1}{10}%% gezogen wird.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln

Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind.

Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen, beträgt nämlich %%\frac{6}{10}=\frac{3}{5}%% und die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus der Urne zu ziehen, ist %%\frac{4}{10}=\frac{2}{5}%%.

Gegeben seien folgende Zufallsexperimente:

Zufallsexperiment 1

Drehen des folgenden Glücksrades:

Zufallsexperiment 2

Drehen des folgenden Glücksrades:

Zufallsexperiment 3

Drehen des folgenden Glücksrades:

Welches der Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?

Leider falsch! Dies ist ein Laplace-Experiment.

Leider falsch! Dies ist ein Laplace-Experiment.

Richtig! Zufallsexperiment 3 ist kein Laplace-Experiment.

Zufallsexperiment 1

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Denn alle Felder sind gleich groß und haben jeweils unterschiedliche Farben.

Somit haben alle Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe %%x%%" die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Zufallsexperiment 2

Dies ist ein Laplace-Experiment.

Denn alle Felder sind gleich groß und jede Farbe kommt genau 2 Mal vor.

Somit sind die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe %%x%%" gleich groß.

Zufallsexperiment 3

Die richtige Antwort lautet also Zufallsexperiment %%3%%. Dies ist kein Laplace-Experiment.

Zunächst einmal stellt man fest, dass alle Felder gleich groß sind. Aber es gibt hier z.B. 4 rote und 3 grüne Felder, sodass das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe rot" und das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe grün" nicht gleich wahrscheinlich sein können. Die Wahrscheinlichkeit ein rotes Feld zu drehen, ist nämlich größer als ein grünes Feld zu drehen.

Ähnliches erhält man, wenn man die Wahrscheinlichkeit vom roten und lila Feld bzw. die Wahrscheinlichkeit vom grünen und lila Feld vergleicht.

Beschreibe ein Zufallsexperiment, das kein Laplace-Experiment ist.

Ein Glücksrad hat 5 Segmente.

Da jedoch nicht alle Segmente gleich groß sind, also die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu drehen kleiner ist als eine 5 zu drehen, ist dies kein Laplace-Experiment!

Geogebra File: /uploads/legacy/705.xml

Gib für folgende Zufallsexperimente jeweils einen Ergebnisraum an und entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt:

Ein aus dem abgebildeten Netz gebastelter „Würfel“ wird geworfen und die oben liegende Farbe wird notiert.

Es gibt drei Elementarereignisse, Grün, Gelb und Orange. Deren Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der entsprechen gefärbten Würfelseiten durch die Gesamtzahl der Würfelseiten.

%%\begin{array}{l}\mathrm{Grün}:\;\frac28=\frac14=25\%\\\mathrm{Gelb}:\;\frac38=37,5\%\\\mathrm{Orange}:\;\frac38=37,5\%\end{array}%%

  %%\Rightarrow%% Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse unterschiedlich wahrscheinlich sind.

  1. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Zahl wird betrachtet.   

  2. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Farbe wird betrachtet.

Teilaufgabe 1

Es gibt acht Elementarereignisse, die Zahlen von 1 bis 8. Die Wahrscheilichkeit für das eintreten eines Ereignisses ist gleich die Anzahl der entsprechenden Felder durch die Gesamtzahl der Felder.

Da hier jede Zahl einem Feld entspricht, haben sie alle die Wahrscheinlichkeit %%\frac{1}{8}%%.

Insbesondere sind alle gleichwahrscheinlich, es handelt sich also um ein Laplace-Experiment.

Teilaufgabe 2

Hier gibt es drei Elementarereignisse, Orange, Grün und Blau. Diese haben jeweils die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der entsprechend farbigen Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder:

Orange: %%\frac48=\frac12=50\% %%

Grün: %%\frac38=37,5\% %%

Blau: %%\frac18=12,5\% %%

%%\Rightarrow%% Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.

Aus einer Tüte mit 13 roten, 9 grünen, 12 gelben und 21 weißen Gummibärchen wird zufällig ein Gummibärchen ausgewählt.

Es gibt vier Elementarereignisse, Rot, Grün, Gelb und Weiß. Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der jeweiligen Gummibärchen geteil durch die Gesamtzahl der Gummibärchen. Berechne also erst die Gesamtzahl und dann die Wahrscheinlichkeiten:

%%13+9+12+21=55%%

Gesamtmenge ist Summe der verschiedenen Gummibärchen

Rot: %%\frac{13}{55}=23,6\% %%

Grün: %%\frac9{55}=16,4\% %%

Gelb: %%\frac{12}{55}=21,8\% %%

Weiß: %%\frac{21}{55}=38,2\% %%

%%\Rightarrow%% Es handelt sich nicht um ein Laplace-Expirement , da die Wahrscheinlichkeiten ungleich sind.

Bemerkung:
Die Rechnung ist nicht unbedingt nötig, schon aus der unterschiedlichen Anzahl der Gummibärchen ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sein können.

Gib die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse des folgenden Zufallsexperiments %%C%% an:

%%C%% = "Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 8 unterschiedlichen Kugeln"

Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form an:

Zahl/Zahl, z.B. 2/3.

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:

%%P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}%%

Bestimme %%\Omega%% und %%|\Omega|%%.

In der Urne sind %%8%% Kugeln.

Du kannst %%\Omega%% zum Beispiel als %%\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}%% wählen.

%%\Rightarrow |\Omega|= 8%%

Berechne %%P(\omega)%%.

%%\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac18%% für alle %%\omega \in \Omega%%.

Also ist %%1/8 (=\frac18)%%, die richtige Antwort.

Betrachtet wird das Zufallsexperiment:

"Werfen eines Würfels" - aber eines besonderen Würfels:

Was ist die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Elementarereignisses dieses Experiments, wenn es sich um einen Laplace-Würfel mit 6 Seiten handelt, von denen

  • jeweils 2 Seiten mit 0
  • jeweils 2 Seiten mit 1
  • jeweils 2 Seiten mit 2

beschriftet sind?

Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eingeben:

Zähler/Nenner, z.B. 4/5

und anschließend dein Ergebnis überprüfen lassen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:

%%P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}%%

Bestimme %%\Omega%% und %%|\Omega|%%.

Der Laplace-Würfel hat %%6%% Seiten, von denen aber jeweils zwei gleich sind.

Du kannst %%\Omega%% zum Beispiel als %%\Omega = \left\{0,1,2\right\}%% wählen.

%%\Rightarrow |\Omega|= 3%%

Berechne %%P(\omega)%%.

%%\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac13%% für alle %%\omega \in \Omega%%.

Also ist %%1/3 \ (=\frac13)%% die richtige Antwort.

Betrachtet wird das folgende Zufallsexperiment:

"Drehen eines Glücksrades mit 3 gleichgroßen Feldern"

Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Glücksrad auf einer ungeraden Zahl stehen?

Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eintippen:

Zähler/Nenner, z.B. 4/7

und dann dein Ergebnis überprüfen lassen.

Laplace-Experiment

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:

%%P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}%%

Dazu brauchst du nun %%|\Omega|%% und %%|A|%%,

wobei %%A%% hier das Ereignis "Ungerade Zahl" ist.

Ergebnisraum %%\Omega%%

Das Glücksrad hat %%3%% gleichgroße Felder.

Du kannst %%\Omega%% zum Beispiel als %%\Omega = \left\{1,2,3\right\}%% wählen.

%%\Rightarrow |\Omega|= 3%%

Ereignis "Ungerade Zahl"

Es gibt auf dem Glücksrad %%2%% ungerade Zahlen: 1 und 3.

%%|A|=2%%

Berechne %%P(A)%%.

%%\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{3}%%.

Also ist %%2/3\ (=\frac23)%% die richtige Antwort.

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und das Ereignis B="eine ungerade Augenanzahl wird gewürfelt". Gib %%P(B)%% an.

Leider falsch!

Leider falsch!

Leider falsch!

Richtig!

Es ist

%%\begin{array}{l}B=\{1,3,5\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|B\right|=3\\\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=6\end{array}%%

und somit

$$P(B)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac36=\frac12$$

Ein Laplace-Würfel wird 2 mal gewürfelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal die 3 fällt.

Leider falsch!

Leider falsch! Der Nenner, also die Mächtigkeit von %%\Omega%% stimmt schon mal, der Zähler aber noch nicht. Schaue dir die Mächtigkeit von %%A%% nochmal an.

Leider falsch! Der Nenner, also die Mächtigkeit von %%\Omega%% stimmt schon mal, der Zähler aber noch nicht. Schaue dir die Mächtigkeit von %%A%% nochmal an.

Richtig!

Sei %%A%% = "Es wird mindestens einmal eine 3 geworfen"

%%P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}%%

Bestimme %%|A|%% und %%|\Omega|%%.

Es gibt verschiendene Möglichkeiten, mithilfe der Kombinatorik, die Mächtigkeiten von %%A%% und %%\Omega%% zu bestimmen. Verwende eines von dir bevorzugten Methode.

Es ist

%%|A|= 6 + 5 = 11%%

%%|\Omega|= 6 \cdot 6 = 36%%

%%\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{11}{36}%%

Also ist %%\frac{11}{36}%% die richtige Antwort.

Aus einem Bridge-Spiel (52 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

Zu text-exercise-group 3203: Hinweis
Nauran 2016-09-21 06:59:07
Es wäre schön, wenn es bei dieser Aufgabe einen Spoiler oder so gibt, indem erklärt wird, was ein Bridge-Spiel (eigentlich: "französisches Blatt") ist und was für karten es da gibt + bild
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A: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte"

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;%%

%%P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pikkarten}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;%%

%%=\frac{13}{52}=\frac14=0,25=25\% %%

B: ="Die gezogene Karte ist eine Dame"

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4%%

%%P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\text{Damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;%%

%%\frac4{52}=\frac1{13}=0,0769=7,7\% %%

C: ="Die gezogene Karte ist Pik-Dame"

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik-Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1%%

%%P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pik}\text{damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;%%

%%=\frac1{52}=0,0192=1,92\% %%

D: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte oder eine Dame"

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik oder Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13%%

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4%%

Eine der vier Damen ist aber gleichzeitig Pik, darf also nicht doppelt gezählt werden.

%%\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13+4-1=16%%

%%P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}%%

%%=\frac{16}{52}=0,3077=30,8\% %%

F: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte, aber keine Dame"

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik aber keine Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;%%

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1%%

Fasse das zur Anzahl der Karten zusammen.

%%\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13-1=12%%

%%P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;%%

%%=\frac{12}{52}=\frac3{13}=0,2308=23,1\% %%

G: ="Die gezogene Karte ist eine Dame, aber keine Pikkarte"

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame aber nicht Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4%%

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1%%

Fasse das zur Kartenzahl zusammen.

%%\Rightarrow \text{Kartenzahl}=4-1=3%%

%%P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;%%

%%=\frac3{52}=0,058=5,8\% %%

H: ="Die gezogene Karte ist weder Pik noch Dame".

Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist weder Pik noch Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;%%

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4%%

%%\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Pikdamen}=1%%

Die Kartenzahl ist die Gesamtzahl abzüglich der Pik- und Damen-Karten. Dabei muss aber noch die Pikdame addiert werden, da diese doppelt abgezogen wird.

%%\Rightarrow \text{Kartenzahl}=52-13-4+1=36%%

%%P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;%%

%%=\frac{36}{52}=\frac9{13}=0,692=69,2\% %%

Die Oberfläche eines Würfels wird blau eingefärbt. Dann wird der Würfel durch 6 parallel zur Würfeloberfläche verlaufende Schnitte in 27 kongruente Teilwürfel zerlegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein willkürlich herausgegriffener Teilwürfel

keine blaue Fläche hat,

genau zwei blaue Flächen hat?

Eine Zahl x mit %%20<x\le30%% wird willkürlich gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

eine Primzahl gezogen wird

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen %%\Omega%% und A="x ist Primzahl".

%%A=\left\{23,29\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|A\right|=2%%

%%\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10%%

Berechne Wahrscheinlichkeit.

%%P\left(A\right)=\frac2{10}=0,2=20\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 20% ist die gezogene Zahl eine Primzahl.

eine gerade Zahl gezogen wird

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen %%\Omega%% und B="x ist gerade".

%%B=\left\{22,24,26,28,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|B\right|=5%%

%%\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10%%

Berechne Wahrscheinlichkeit.

%%P\left(B\right)=\frac5{10}=0,50=50\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% ist die gezogene Zahl eine gerade Zahl.

eine durch 4 teilbare Zahl gezogen wird

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen %%\Omega%% und C="x ist durch 4 teilbar".

%%C=\left\{24,28\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|C\right|=2%%

%%\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10%%

Berechne Wahrscheinlichkeit.

%%P\left(E\right)=\frac2{10}=0,2=20\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 20% ist die gezogene Zahl durch 4 teilbar.

eine durch 4 und 6 teilbare Zahl gezogen wird?

Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.

Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen %%\Omega%% und D="x ist durch 4 und durch 6 teilbar".

%%D=\left\{24\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|D\right|=1%%

%%\Omega=\left\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10%%

Berechne Wahrscheinlichkeit.

%%P\left(D\right)=\frac1{10}=0,1=10\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 10% ist die gezogene Zahl durch 4 und 6 teilbar.

Zwei Schüler eingen sich auf ein Würfelspiel bei dem ein sechs-seitiger Würfel zweimal geworfen wird und die Summe aus beiden Würfen als Ergebnis notiert wird. Wie mächtig ist der Ergebnisraum?

Handelt es sich bei dem Spiel um ein Laplace Experiment?

Falsch.

Richtig!

Es gibt mehrerere Wuerfelkombinationen welche dieselbe Wuerfelsumme ergeben, zum Beispiel 3 + 4 = 7 und 1 + 6 = 7. Aber andere Zahlen verlangen eine bestimmte Wuerfelkombination, zum Beispiel 2 = 1 + 1, und sind deshalb unwahrscheinlicher. Da nicht alle Ergebnisse des Ergbnisraums die selbe Wahrscheinlichkeit haben, handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment.

Bei welchem der folgenden Experimente handelt es sich um ein Laplace-Experiment?

Falsch.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Zu B und C:

Es gibt mehr Moeglichkeiten zwei unterschiedliche Zahlen zu werfen (erst die eine Zahl dann die andere oder andersrum) als zwei gleiche Zahlen zu wuerfeln, deshalb sind sogenannte Paschs (zwei gleiche Zahlen) unwahrscheinlicher und die Wuerfelwurf kombination nur unter beruecksichtung der Reihenfolge ein Laplace Experiment (C richtig, B falsch).

Zu A:

Die Summe zweier gerader Zahlen und zweier ungerade Zahlen ist gerade, aber nur die Summe einer ungeraden und einer geraden Zahl ist ungerade. Es hilft daher folgenden Ereignisbaum zu betrachten: wuerfel Da bei beiden Wuerfen die Wahrscheinlichkeit gleich gross ist eine gerade (2,4 und 6) oder eine ungerade (1, 3 und 5) Zahl zu wuerfeln. Sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Elementarereignissen des Experiments $$\Omega = \{ (u,u),(u,g),(g,u),(g,g) \}$$ gleich gross (1/4). Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Summe zu wuerfeln ist also gleich gross wie die wahrscheinlichkeit eine ungerade Summe zu wuerfeln (50%). $$p(gerade Summe)=p(\{(u,u),(g,g)\})=p((u,u))+p((g,g))= p(g,u)+p(u,g)=p(ungerade Summe)=0.5$$

Der erste Spieler wuerfelt eine 10. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Spieler eine hoehere Summe wuerfelt und das Spiel gewinnt in ganzen Prozent? (runde dein Ergebnis auf die naechste ganze Zahl um es zu ueberpruefen: 0.3675 -> 37 (%))

Da es sich bei dem urspruenglichen Experiments, X die Summe zweier Wuerfelwuerfe, nicht um ein Laplace handelt, ist es besser sich das Ereignis in dem entsprechenden Laplace Experiment, die Kombination der Wuerfe unter Beruecksichtung der Reihenfolge, anzusehen:

$$p(X>10)=p(\{(5,6),(6,5),(6,6)\})=p(5,6)+p(6,5)+p(6,6)$$

Das Urspruengliche Ereignis (X>10) kann in dem Hilfsexperiment durch drei Elementarereignisse erreicht werden (erst 5 dann 6 (Summe 11), andersrum oder 6er Pasch). Die Wahrscheinlichkeit der drei Elementarereignisse ist gleich und kann mit Hilfe der Ereignisraummaechtigkeit berechnet werden.

$$\Omega =\{(1,1),(1,2),...,(2,1),...,(6,6)\}$$ $$|\Omega|=6 \cdot 6 = 36 \rightarrow p(1,1)=p(1,2)=...=p(6,6)=\frac{1}{36}$$

Pro Wurf gibt es sechs unterschiedliche Ergebnisse und die gesamtmaechtigkeit des Ergebnisraums betraegt deshalb 36 (6 mal 6). Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist deshalb 1/36.

$$p(x>10)=p(5,6)+p(6,5)+p(6,6)=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}=0.08333 \approx 8\%$$

Die Wahrscheinlcihkeit eine Summe groesser als 10 zu Wuerfeln ist also die Summe der drei Einzelwahrscheinlichkeiten und ungefaehr 8%.

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