Eine Zufallsgröße, auch Zufallsvariable genannt, ist eine Funktion, die den Elementen einer Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes reelle Zahlen zuordnet.

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Üblicherweise werden Zufallsgrößen mit X, Z oder G notiert.

 

 

Da die Werte einer Zufallsgröße reelle Zahlen sind, kann man für  Zufallsgrößen charakteristische "Kennzahlen" wie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung definieren und berechnen.

Diskrete Zufallsgröße

Diskrete Zufallsgrößen können nur endlich viele Werte annehmen. Zum Beispiel:

  • Die Anzahl der an einem Tag anwesenden Schüler in einer Klasse
  • Die Augenzahl bei einem Würfelwurf

Schreibweise für die Wahrscheinlichkeit

Um anzugeben, dass die Zufallsgröße %%\text X%% mit der Wahrscheinlichkeit %%p%% den Wert %%k%% annimmt, schreibt man

  • %%\text P(\text X=k)=p%%

Beispiel

Ein Spieler wirft zwei unterscheidbare Münzen. Der Ergebnisraum ist also %%\Omega=\{(\text{Kopf (K)};\text{Zahl (Z)}),(\text Z;\text K),(\text K;\text K),(\text Z;\text Z)\}%%

Die Zufallsgröße %%\text X%% ordnet jetzt zum Beispiel jedem dieser Ergebnisse die Anzahl der vorkommenden "Kopf-Würfe" zu. Also

%%\text X((\text Z;\text K))=1%%

%%\text X((\text K;\text Z))=1%%

%%\text X((\text K;\text K))=2%%

%%\text X((\text Z;\text Z))=0%%

Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sind

%%\displaystyle\text P(\text X=1)=\frac12\\%% ,

%%\displaystyle\text P(\text X=2)=\frac14\\%% und

%%\displaystyle\text P(\text X=0)=\frac14%% .

Stetige Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße heißt stetig, wenn sie keine Lücken hat, also alle Werte in einem Intervall annehmen kann. Zum Beispiel:

  • Die Körpergröße eines Menschen
  • Die Verspätung einer U-Bahn

Wahrscheinlichkeit

Da eine stetige Zufallsvariable in einem Intervall unendlich viele Werte annehmen kann, schrumpft die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmter Wert in diesem Intervall eintritt, auf 0.

Stattdessen kann man aber angeben wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Zufallsvariable %%\text X%% höchstens den Wert %%k%% annimmt. Ist die Wahrscheinlichkeit dafür zum Beispiel %%p%%, so schreibt man

%%\text P(\text X\leq k)=p%% .

Beispiel

Beim Abfüllen von 500g Kaffee in Kaffeepackungen können Fehler auftreten. Die Zufallsvariable %%\text X%% , welche das Gewicht in Gramm angibt, kann also alle Werte von 0 bis %%\infty%% annehmen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von %%95\% %% liegen die Werte aber zwischen 495g und 505g. Man schreibt:

%%\text P(495\leq\text X\leq505)=0,95%%

Ausprägungen einer Zufallsgröße

Die verschiedenen Werte, die die Zufallsgröße annehmen kann, bezeichnet man als die Ausprägungen der Zufallsgröße.

Beispiel

Die Zufallsgröße %%\text X%%, die bei einem zweimaligen Würfelwurf jedem Ereignis die Summe der Augenzahlen zuordnet, hat die Ausprägungen 2, 3, 4, 5, …, 11, 12.

Stetige Zufallsgrößen in diskrete umwandeln

Man kann aus jeder stetigen Zufallsgröße eine diskrete machen, indem man Teilintervalle jeweils einer konkreten Zahl zuordnet.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn kann man als stetige Zufallsgröße betrachten. Hier wäre %%\Omega=[ 0 \text{ Sekunden}, \infty\text{ Sekunden}[%%. Die Zufallsvariable %%\text X%% hätte die Ausprägung %%[0,\infty[%%. Um %%\text X%% in eine diskrete Zufallsvariable umzuwandeln teilt man dieses Intervall in kleinere Intervalle und ordnet diesen konkrete Zahlen zu. Also

%%\text X(x)=\begin{cases} 1, &\text{wenn}& 0\leq x<60\\ 2,&\text{wenn}& 60\leq x<120\\ 3,&\text{wenn}& 120\leq x<180\\ 4,&\text{wenn}& 180\leq x<240\\ 5,&\text{wenn}& 2400\leq x \end{cases}%%

Die Verteilungsfunktion %%F_X%% einer Zufallsgröße %%X%% ordnet jeder Zahl %%k%% aus %%\mathbb R%% die Wahrscheinlichkeit zu, mit der %%X%% höchstens den Wert %%k%% annimmt.

Man schreibt:

%%F_X(k):=\mathrm P\left(\mathrm X\leq\mathrm k\right)%%

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Zu article Zufallsgröße: Was noch rein muss
Henry 2014-09-04 13:16:17
Diskrete/stetige Zufallsgröße
Wahrscheinlichkeiten
Link zu Erwartungswert, Varianz...
Amadeus 2014-09-04 14:13:48
Artikel zu Dichtefunktion/Verteilungsfunktion und diese dann in Erwartungswert etc. verlinken.
Renate 2014-09-10 08:57:26
@Henry:
Die Begriffe "Diskrete Zufallsgröße" und "Stetige Zufallsgröße" werden in der Schule gar nicht unbedingt gebracht, ich glaube, im bayerischen Gymnasium sogar wirklich gar nicht.
Allerdings wird dort immerhin die Zufallsgröße als solche eingeführt.

Mein Vorschlag ist, dass dieser Artikel zunächst einmal nur grundsätzlich (!) erklären sollte, was eine Zufallsgröße ist (und aufzählen sollte bzw. mit Verlinkungen aufzählen sollte, was man damit machen kann - Erwartungswert/Varianz berechnen usw. ).
Dann kann man ja im unteren Teil einen Abschnitt "Verschiedene Arten von Zufallsgrößen" (oder so ähnlich) anlegen, und in diesem Abschnitt vielleicht sogar auf separate, noch anzulegende Artikel ("Diskrete Zufallsgröße", "Stetige Zufallsgröße" o. ä.) verlinken.
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