Unter einer Gleichung versteht man eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme. Dabei können beide Terme von Variablen abhängen. Ob die Gleichung stimmt, hängt davon ab, was man für die Variable einsetzt.

Beispiel:

%%x+3=5%%

Erklärung

Die zwei Terme lauten %%x+3%% und %%5%%. Der Term %%5%% hängt von der Variable %%x%% ab. Für die Variable %%x%% muss man den Wert %%2%% einsetzen, damit die Gleichung stimmt:

%%2+3=5%%

Lösen von Gleichungen

Um über das Lösen von Gleichungen zu lesen, siehe den Artikel Gleichungen umformen.

Begriffe

  • "Lösen einer Gleichung" mit einer Variablen:

    Bestimmen der Werte der Variablen, die man einsetzen kann, sodass die Gleichung wahr ist

  • Lösungsmenge %%L%% oder %%\mathbb{L}%% einer Gleichung mit einer Variablen:

    Menge der Werte, für die die Gleichung wahr ist

  • Eine Gleichung heißt allgemeingültig, wenn sie unabhängig von den Werten der Variablen wahr ist.

    Die Gleichung %%x-x=0%% ist allgemeingültig, denn für jedes %%x\in\mathbb{R}%% ist sie wahr.

Beispiele

In der folgenden Tabelle sind knappe Beispiele mit Lösungsmenge, aber ohne Lösungweg aufgelistet. Ein ausführliches Beispiel mit Lösungsweg und Erläuterung befindet sich im Kurs Gleichungen.

Gleichung

Wahrheitswert

Lösungsmenge

%%2=2%%

wahr

%%1=2%%

falsch

%%x+x=2x%%

wahr für alle %%x%% (allgemeingültig)

%%L=\mathbb{R}%%

%%x+2=3%%

wahr für %%x=1%% , sonst falsch

%%L=\left\{1\right\}%%

%%x^2=4%%

wahr für %%x=2%% und für %%x=-2%%

%%L=\left\{-2,2\right\}%%

Arten von Gleichungen

Art

Beschreibung

Beispiel

Die Variable %%x%% steht nur im Zähler und hat höchstens den Exponenten 1.

(Bemerke: %%x^1=x%%)

%%2\cdot x = 6%%

Die Variable kommt auch im Nenner vor.

%%\frac{2}{x} - 2 = \frac{1}{4}%%

Die Variable kommt mindestens einmal quadratisch (d.h. mit Exponent 2) vor.

%%x^2+2x-4 = 0%%

Die Variable kommt als Exponent vor.

%%2^x = 16%%

Die Liste kann noch fortgesetzt werden, im Rahmen dieses Artikels soll die Auswahl der oben genannten Arten jedoch genügen.

Kommentieren Kommentare

Zu article Gleichung:
Ol 2017-04-02 20:06:30

Anregungen für Ergänzungen:
1. Bei Gleichungen und deren Lösung spielt auch immer die Grundmenge eine wichtige Rolle.

2. Eine Gleichung heißt nicht lösbar/unlösbar in der Grundmenge, wenn sie für alle Werte der Variablen falsche Aussagen liefert.

Die Gleichung x−x=1
ist nicht lösbar/unlösbar in der Grundmenge R, denn für jedes x∈R ist sie falsch.

Bei der Gleichung x+5= 2 hängt die Lösung/Lösbarkeit davon ab, welche Grundmenge für die Variable zugelassen ist.
Ähnlich x^2= -1
Renate 2017-04-03 22:13:47
Hallo Ol, danke für die Anregungen!
Ja, das mit der Grundmenge sollten wir wirklich noch in den Artikel hineinbringen .... am besten wohl dort, wo die Lösungsmenge erklärt ist, oder was meinst du?
Hast du Lust, selbst eine Bearbeitung des Artikels zu versuchen?
Wenn nicht, kann ich es auch machen - kann aber noch ein wenig dauern, bis ich dazu komme.

Gruß
Renate
Nish 2017-04-04 04:54:56
Hallo Ol,

von mir auch ein Dankeschön für die Anregungen!

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