Aufgaben zu linearen Gleichungen

Hier findest du verschiedene Aufgabentypen zum üben von linearen Gleichungen. Lerne, sie zu Lösen und Lösungsmengen zu bestimmen.

1
Ordne den Gleichungen die passende Lösungsmenge zu:
2
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern ${}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L = {4,5,9}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4,5,9$ .
1. $4 x + 4 = 3 x + 3$
  
  Nach x auflösen
  $4 x + 4$ $=$ $3 x + 3$ $- 3 x$
  $x + 4$ $=$ $3$ $- 4$
  $x$ $=$ $- 1$
  Also ist $L = {- 1} .$
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2. $5 x - 2 = x + 6$
  
  Nach x auflösen
  $5 x - 2$ $=$ $x + 6$ $+ 2$
  $5 x$ $=$ $x + 8$ $- x$
  $4 x$ $=$ $8$ $: 4$
  $x$ $=$ $2$
  Also ist $L = {2}$ .
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  Bringe alle $x$ auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite, Dividiere dann, um nach $x$ aufzulösen.
3. $3 x = x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $3 x$ $=$ $x + 5$ $- x$
  $2 x$ $=$ $5$ $: 2$
  $x$ $=$ $2,5$
  $L$ $=$ ${2,5}$
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4. $2 x = 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $2 x$ $=$ $4$ $: 2$
  $x$ $=$ $2$
  $L$ $=$ ${2}$
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5. $7 x - 9 = 2 x + 5$
  
  Nach x auflösen
  $7 x - 9$ $=$ $2 x + 5$ $- 2 x$
  $5 x - 9$ $=$ $5$ $+ 9$
  $5 x$ $=$ $14$ $: 5$
  $x = 2,8$
  $L = {2,8}$
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6. $\frac{1}{12} x - 5 = 3$
  
  Nach x auflösen
  $\frac{1}{12} x - 5$ $=$ $3$ $+ 5$
  $\frac{1}{12} x$ $=$ $8$ $\cdot 12$
  $x = 96$
  $L = {96}$
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7. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $- 8 x + 5 = - 5$
  
  Gleichungen auflösen
  $- 8 x + 5$ $=$ $- 5$ $- 5$
  $- 8 x$ $=$ $- 10$ $: (- 8)$
  $x$ $=$ $\frac{- 10}{- 8}$
  $x$ $=$ $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$
  $L = {1,25}$
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8. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $x + 4 = 9 x - (5 - x)$
  
  Gleichungen auflösen
  $x + 4$ $=$ $9 x - (5 - x)$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $x + 4$ $=$ $9 x - 5 + x$
  ↓
  Zusammenfassen auf der rechten Seite
  $x + 4$ $=$ $10 x - 5$ $- x$
  $4$ $=$ $9 x - 5$ $+ 5$
  $9$ $=$ $9 x$ $: 9$
  $x$ $=$ $1$
  Die Lösung ist $L = {1}$ .
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9. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $\frac{1}{24} x = 0$
  
  Gleichungen auflösen
  $\frac{1}{24} x$ $=$ $0$ $\cdot 24$
  $x$ $=$ $0$
  $L = {0}$
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3
Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (a - 4) = 1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
  $3 (a - 4)$ $=$ $1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $3 a - 12$ $=$ $1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $3 a - 12$ $=$ $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$ $- \frac{1}{5} a + 12$
  $3 a - \frac{1}{5} a$ $=$ $\frac{3}{5} + 12$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $\frac{14}{5} a$ $=$ $\frac{63}{5}$ $: \frac{14}{5}$
  $a$ $=$ $\frac{9}{2} = 4,5$
  $L$ $=$ ${4,5}$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $2,6 (x - 1) = - 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
  $2,6 (x - 1)$ $=$ $- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $2,6 x - 2,6$ $=$ $- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $2,6 x - 2,6$ $=$ $- 7 x - 2,6$ $+ 7 x + 2,6$
  $9,6 x$ $=$ $0$ $: 9,6$
  $x$ $=$ $0$
  $L$ $=$ ${0}$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (4 x - 3) = 4 (3 x - 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
  $3 (4 x - 3)$ $=$ $4 (3 x - 4)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $12 x - 9$ $=$ $12 x - 16$ $- 12 x$
  $- 9$ $=$ $- 16$
  ↓
  Ist nicht lösbar.
  $L$ $=$ $\emptyset$
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4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $3 (4 x + 4) = 4 (3 - 4 x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
  $3 (4 x + 4)$ $=$ $4 (3 - 4 x)$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $12 x + 12$ $=$ $12 - 16 x$ $+ 16 x - 12$
  $28 x$ $=$ $0$ $: 28$
  $x$ $=$ $0$
  $L$ $=$ ${0}$
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Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x = 4,7 - \frac{43}{12}

Löse folgende Gleichung.

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x = - x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$

6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Finde die beiden Lösungen von $| x - 3 | = 2$
Hierbei bezeichnet $| \dots |$ den Betrag, z.B. $| - 7 | = + 7, | + 7 | = + 7$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Lösung durch Umformen der Gleichung
Die Gleichung $| x - 3 | = 2$ hat zwei Lösungen. Wenn der Term $x - 3$ im Inneren der Betragsstriche positiv ist, bleibt der Wert positiv. Ist $x - 3$ jedoch negativ, ändert der Betrag das Vorzeichen.
Also kannst du berechnen: Wann ist $x - 3 = 2$ ? Und wann ist $x - 3 = - 2$ ?
$\begin{array}{rcll} x - 3 & = & 2 & | + 3 \\ x & = & 2 + 3 \\ x & = & 5 \end{array}$
Wenn $x = 5$ ist, ist die Gleichung also erfüllt: $| 5 - 3 | = | 2 | = 2$
$\begin{array}{rcll} x - 3 & = & - 2 & | + 3 \\ x & = & - 2 + 3 \\ x & = & 1 \end{array}$
Für $x = 1$ ist die Gleichung ebenfalls erfüllt, denn: $| 1 - 3 | = | - 2 | = 2$
Lösung mithilfe einer Wertetabelle
Durch Pobieren kannst du ebenfalls die Lösung erhalten. Erstelle dir hierfür eine Wertetabelle.
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
$| x - 3 |$
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
Du erkennst in der Wertetabelle, dass $| x - 3 | = 2$ für $x = 1$ und $x = 5$ gilt.
Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls
Der Betrag $| x - 3 |$ gibt den Abstand der Zahlen $x$ und $3$ voneinander an.
Der Abstand zwischen $x$ und $3$ soll $2$ sein, da $| x - 3 | = 2$ nach Angabe ist. Daher gibt es eine Zahl links der $3$ und eine Zahl rechts der $3$ , die zur $3$ den Abstand $2$ hat. Diese Zahlen sollen $x_{1}$ und $x_{2}$ heißen.
Um $x_{1}$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl $2$ vor und landest bei $3 + 2 = 5$ . Somit ist $x_{1} = 5$ deine zweite Lösung.
Um $x_{2}$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl 2 zurück und landest bei $3 - 2 = 1$ . Somit ist $x_{2} = 1$ deine zweite Lösung.
Kontrolle:
$| x_{1} - 3 | = | 5 - 3 | = | 2 | = 2 ✓$
$| x_{2} - 3 | = | 1 - 3 | = | - 2 | = 2 ✓$
7
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Löse folgende Formeln nach der angegebenden Variable auf.
1. $\frac{c}{b}$ $=$ $\frac{b^{2}}{b} (d + a)$ $nach c$
  
  Gleichungen umformen
  $\frac{c}{b}$ $=$ $\frac{b^{2}}{b} (d + a)$
  $\frac{c}{b}$ $=$ $\frac{b \cdot b}{b} (d + a)$
  b im Bruch der rechten Gleichung kürzen
  $\frac{c}{b}$ $=$ $b (d + a)$
  $| \cdot b$
  $c$ $=$ $b^{2} (d + a)$
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2. $\frac{B}{G}$ $=$ $\frac{b}{g}$ $nach b$
  
  Gleichungen umformen
  $\frac{B}{G}$ $=$ $\frac{b}{g}$
  $| \cdot g$
  $\frac{B}{G} \cdot g$ $=$ $b$
  ↓
  Zusammenfassen
  $\frac{B g}{G}$ $=$ $b$
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3. $A_{1} - A_{2} + A_{3} - A_{4}$ $=$ $A$ $nach A_{3}$
  
  Gleichungen umformen
  $A_{1} - A_{2} + A_{3} - A_{4}$ $=$ $A$
  $| + A_{4}$
  $A_{1} - A_{2} + A_{3}$ $=$ $A + A_{4}$
  $A_{1} + A_{3}$ $=$ $A + A_{4} + A_{2}$
  $| - A_{1}$
  $A_{3}$ $=$ $A + A_{4} + A_{2} - A_{1}$
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4. $W$ $=$ $c m (v_{2} - v_{1})$ $nach v_{1}$
  
  Gleichungen umformen
  $W$ $=$ $c m (v_{2} - v_{1})$
  Multipliziere die Klammer aus.
  $W$ $=$ $c m \cdot v_{2} - c m \cdot v_{1}$
  $| - c m \cdot v_{2}$
  $W - c m \cdot v_{2}$ $=$ $- c m \cdot v_{1}$
  $| : (- c m)$
  $v_{1}$ $=$ $- \frac{W - c m \cdot v_{2}}{c m}$
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5. $\frac{b}{2 r π}$ $=$ $\frac{α}{360^{\circ}}$ $nach r$
  
  Gleichungen umformen
  $\frac{b}{2 r π}$ $=$ $\frac{α}{360^{\circ}}$
  $| \cdot 2 r π$
  $b$ $=$ $\frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 r π$
  $b$ $=$ $\frac{α \cdot 2 r π}{360^{\circ}}$
  $| \cdot 360^{\circ}$
  $360^{\circ} \cdot b$ $=$ $a \cdot 2 rπ$
  $| : a$
  $\frac{360^{\circ} \cdot b}{a} = 2 r π$
  $\frac{360^{\circ} \cdot b}{a}$ $=$ $2 r π$
  $| : 2 π$
  $\frac{360^{\circ} \cdot b}{a \cdot 2 π}$ $=$ $r$
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6. $V$ $=$ $\frac{D - d}{2} \cdot \frac{L_{1}}{L}$ $nach d$
  
  Gleichungen umformen
  $V$ $=$ $\frac{D - d}{2} \cdot \frac{L_{1}}{L}$
  $| : \frac{L_{1}}{L}$
  $\frac{V}{\frac{L_{1}}{L}}$ $=$ $\frac{D - d}{2}$
  Dividiere durch den Bruch (Multipliziere mit dem Kehrbruch).
  $V \cdot \frac{L}{L_{1}}$ $=$ $\frac{D - d}{2}$
  $| \cdot 2$
  $V \cdot \frac{L}{L_{1}} \cdot 2$ $=$ $D - d$
  $| - D$
  $V \cdot \frac{L}{L_{1}} \cdot 2 - D$ $=$ $- d$
  $| \cdot (- 1)$
  $d$ $=$ $D - \frac{V \cdot L \cdot 2}{L_{1}}$
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7. $A$ $=$ $\frac{a + c}{2} \cdot h - {πr}^{2}$ $nach c$
  
  Gleichungen umformen
  $A$ $=$ $\frac{a + c}{2} \cdot h - {πr}^{2}$
  $| + {πr}^{2}$
  $A + {πr}^{2}$ $=$ $\frac{a + c}{2} \cdot h$
  $| : h$
  $\frac{A + {πr}^{2}}{h}$ $=$ $\frac{a + c}{2}$
  $| \cdot 2$
  $\frac{A + {πr}^{2}}{h} \cdot 2$ $=$ $a + c$
  $\frac{2 A + 2 {πr}^{2}}{h} - a$ $=$ $c$
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x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$\| x - 3 \|$	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3

Forme so um, dass $r^{2}$ auf der linken Seite steht:

$A = \frac{a + c}{2} \cdot h - π \cdot r^{2}$

9
Bestimme die Lösungsmenge für $x$ der folgenden Gleichung in Abhängigkeit von $a$ . Mache dazu, falls erforderlich, eine Fallunterscheidung.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $a x + 2 (x - a) = x (2 + a)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
  Tipp: "in Abhängigkeit von $a$ " heißt: Der Parameter $a$ darf in der Lösung vorkommen.
  Manchmal muss man dabei Fallunterscheidungen machen. Meistens ist das dann der Fall, wenn man durch einen Term teilen will, in dem $a$ vorkommt. Denn teilen darf man nur, wenn der Teiler nicht 0 ist.
  Nach x auflösen
  $a x + 2 (x - a) = x (2 + a)$
  Multipiliziere die Klammern aus.
  $a x + 2 x - 2 a = 2 x + a x$
  Bringe alle Terme mit x auf eine Seite
  Subtrahiere: $- 2 x - a x$
  $- 2 a = 0$
  Ist $a = 0$ :
  $= > 0 = 0$ $= > L = Q$
  d.h. Die Gleichung ist für jede Zahl erfüllt.
  Ist $a \neq 0$ :
  $= >$ Gleichung ist unerfüllbar $= > L = \emptyset$
  d.h. Die Gleichung ist für keine Zahl erfüllt.
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10
Wie heißt die fehlende Zahl?
1. $32 - □ = 12$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  1. Lösung
  Überlege dir, für welche Zahl die Gleichung stimmt.
  Welche Zahl musst du von $32$ abziehen, um $12$ zu erhalten? Das ist die $20$ .
  Rechnung: $32 - 20 = 12$
  2. Systematische Lösung durch Gleichungsumstellung
  Wenn du die fehlende Zahl mit $x$ bezeichnest, dann lautet die Aufgabe:
  $32 - x$ $=$ $12$ $+ x$
  ↓
  Bringe $x$ auf die andere Seite.
  $32$ $=$ $12 + x$ $- 12$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $32 - 12$ $=$ $x$
  ↓
  Fasse die linke Seite zusammen.
  $20$ $=$ $x$
  Antwort: Die Lösung dieser Gleichung ist $x = 20$ .
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2. $□ \cdot 12 = 108$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  1. Lösung
  Überlege dir, für welche Zahl die Gleichung stimmt.
  Welche Zahl mal $12$ ergibt $108$ ? Also teile $108$ durch $12$ und das ist $9$ .
  Rechnung: $108 : 12 = 9$
  2. Systematische Lösung durch Gleichungsumstellung
  Wenn du die fehlende Zahl mit $x$ bezeichnest, dann lautet die Aufgabe:
  $x \cdot 12$ $=$ $108$ $: 12$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $x$ $=$ $\frac{108}{12}$
  ↓
  Kürze
  $x$ $=$ $9$
  Antwort: Die Lösung dieser Gleichung ist $x = 9$ .
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3. $□ : 6 = 7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  1. Lösung
  Überlege dir, für welche Zahl die Gleichung stimmt.
  Welche Zahl muss durch $6$ geteilt werden, um $7$ zu erhalten? Das ist die $42$ .
  Rechnung: $42 : 6 = 7$
  2. Systematische Lösung durch Gleichungsumstellung
  Wenn du die fehlende Zahl mit $x$ bezeichnest, dann lautet die Aufgabe:
  $x : 6$ $=$ $7$ $\cdot 6$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $x$ $=$ $7 \cdot 6$
  ↓
  Vereinfache.
  $x$ $=$ $42$
  Antwort: Die Lösung dieser Gleichung ist $x = 42$ .
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4. $7 \cdot □ = 84$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  1. Lösung
  Überlege dir, für welche Zahl die Gleichung stimmt.
  Mit welcher Zahl musst du $7$ multiplizieren, um $84$ zu erhalten?
  Also teile $84$ durch $7$ und das ist $12$ .
  Rechnung: $84 : 7 = 12$
  2. Systematische Lösung durch Gleichungsumstellung
  Wenn du die fehlende Zahl mit $x$ bezeichnest, dann lautet die Aufgabe:
  $7 \cdot x$ $=$ $84$ $: 7$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $x$ $=$ $\frac{84}{7}$
  ↓
  Kürze.
  $x$ $=$ $12$
  Antwort: Die Lösung dieser Gleichung ist $x = 12$ .
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5. $56 - □ = 28$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  1. Lösung
  Überlege dir, für welche Zahl die Gleichung stimmt.
  Welche Zahl musst du von $56$ abziehen, um $28$ zu erhalten? Das ist die $28$ .
  Rechnung: $56 - 28 = 28$
  2. Systematische Lösung durch Gleichungsumstellung
  Wenn du die fehlende Zahl mit $x$ bezeichnest, dann lautet die Aufgabe:
  $56 - x$ $=$ $28$ $+ x$
  ↓
  Bringe $x$ auf die andere Seite.
  $56$ $=$ $28 + x$ $- 28$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $56 - 28$ $=$ $x$
  ↓
  Fasse die linke Seite zusammen.
  $28$ $=$ $x$
  Antwort: Die Lösung dieser Gleichung ist $x = 28$ .
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6. $□ + 28 = 75$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  1. Lösung
  Überlege dir, für welche Zahl die Gleichung stimmt.
  Zu welcher Zahl musst du zu $28$ addieren, um $75$ zu erhalten? Das ist die $47$ .
  Rechnung: $47 + 28 = 75$
  2. Systematische Lösung durch Gleichungsumstellung
  Wenn du die fehlende Zahl mit $x$ bezeichnest, dann lautet die Aufgabe:
  $x + 28$ $=$ $75$ $- 28$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $x$ $=$ $75 - 28$
  ↓
  Vereinfache.
  $x$ $=$ $47$
  Antwort: Die Lösung dieser Gleichung ist $x = 47$ .
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7. $64 : □ = 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  1. Lösung
  Überlege dir, für welche Zahl die Gleichung stimmt.
  Durch welche Zahl muss $64$ geteilt werden, um $4$ zu erhalten? Das ist die $16$ .
  Rechnung: $64 : 16 = 4$
  Du kannst auch so rechnen: Mit welcher Zahl muss 4 multipliziert werden, um 64 zu erhalten? Das ist die $16$ .
  Rechnung: $4 \cdot 16 = 64$
  2. Systematische Lösung durch Gleichungsumstellung
  Wenn du die fehlende Zahl mit $x$ bezeichnest, dann lautet die Aufgabe:
  $64 : x$ $=$ $4$ $\cdot x$
  ↓
  Bringe $x$ auf die andere Seite.
  $64$ $=$ $4 \cdot x$ $: 4$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $\frac{64}{4}$ $=$ $x$
  ↓
  Kürze.
  $16$ $=$ $x$
  Antwort: Die Lösung dieser Gleichung ist $x = 16$ .
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\frac{5}{3} x - \frac{3}{10}$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$	$\cdot HN 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$100 x - 18$	$=$	$- 60 x + 70 - 25 x + 120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$100 x - 18$	$=$	$- 85 x + 190$	$+ 85 x + 18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$185 x$	$=$	$208$	$: 185$
$x$	$=$	$\frac{208}{185}$

$5 x - 2$	$=$	$x + 6$	$+ 2$
$5 x$	$=$	$x + 8$	$- x$
$4 x$	$=$	$8$	$: 4$
$x$	$=$	$2$

$3 x$	$=$	$x + 5$	$- x$
$2 x$	$=$	$5$	$: 2$
$x$	$=$	$2,5$
$L$	$=$	${2,5}$

$7 x - 9$	$=$	$2 x + 5$	$- 2 x$
$5 x - 9$	$=$	$5$	$+ 9$
$5 x$	$=$	$14$	$: 5$

$\frac{1}{12} x - 5$	$=$	$3$	$+ 5$
$\frac{1}{12} x$	$=$	$8$	$\cdot 12$

$- 8 x + 5$	$=$	$- 5$	$- 5$
$- 8 x$	$=$	$- 10$	$: (- 8)$
$x$	$=$	$\frac{- 10}{- 8}$
$x$	$=$	$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

$x + 4$	$=$	$9 x - (5 - x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x + 4$	$=$	$9 x - 5 + x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$x + 4$	$=$	$10 x - 5$	$- x$
$4$	$=$	$9 x - 5$	$+ 5$
$9$	$=$	$9 x$	$: 9$
$x$	$=$	$1$

$3 (a - 4)$	$=$	$1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 a - 12$	$=$	$1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
	↓	Fasse zusammen.
$3 a - 12$	$=$	$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$	$- \frac{1}{5} a + 12$
$3 a - \frac{1}{5} a$	$=$	$\frac{3}{5} + 12$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{14}{5} a$	$=$	$\frac{63}{5}$	$: \frac{14}{5}$
$a$	$=$	$\frac{9}{2} = 4,5$
$L$	$=$	${4,5}$

$2,6 (x - 1)$	$=$	$- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
	↓	Fasse zusammen.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 7 x - 2,6$	$+ 7 x + 2,6$
$9,6 x$	$=$	$0$	$: 9,6$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$3 (4 x - 3)$	$=$	$4 (3 x - 4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x - 9$	$=$	$12 x - 16$	$- 12 x$
$- 9$	$=$	$- 16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$L$	$=$	$\emptyset$

$3 (4 x + 4)$	$=$	$4 (3 - 4 x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x + 12$	$=$	$12 - 16 x$	$+ 16 x - 12$
$28 x$	$=$	$0$	$: 28$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x$	$=$	$4,7 - \frac{43}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\frac{45}{4} + \frac{8}{3} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12}$	$- \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\frac{45}{4} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3}$	$- \frac{45}{4}$
$- x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3} - \frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$- x$	$=$	$\frac{282}{60} - \frac{215}{60} - \frac{160}{60} - \frac{675}{60}$
$- x$	$=$	$\frac{282 - 215 - 160 - 675}{60}$
$- x$	$=$	$- \frac{768}{60}$	$\cdot (- 1)$
$x$	$=$	$\frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$x$	$=$	$\frac{64}{5}$

$A$	$=$	$\frac{a + c}{2} \cdot h - π \cdot r^{2}$
	↓	Multipliziere
$A$	$=$	$\frac{h \cdot (a + c)}{2} - π \cdot r^{2}$	$+ π \cdot r^{2}$
$A + π \cdot r^{2}$	$=$	$\frac{h \cdot (a + c)}{2}$	$- A$
$π \cdot r^{2}$	$=$	$\frac{h a + h c}{2} - A$	$π$
$r^{2}$	$=$	$\frac{\frac{h a + h c}{2} - A}{π}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner
$r^{2}$	$=$	$\frac{(\frac{h a + h c}{2} - \frac{2 A}{2})}{π}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen. Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren
$r^{2}$	$=$	$\frac{h a + h c - 2 A}{2} \cdot \frac{1}{π}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen
$r^{2}$	$=$	$\frac{h a + h c - 2 A}{2 π}$

$32 - x$	$=$	$12$	$+ x$
	↓	Bringe $x$ auf die andere Seite.
$32$	$=$	$12 + x$	$- 12$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$32 - 12$	$=$	$x$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$20$	$=$	$x$

$x \cdot 12$	$=$	$108$	$: 12$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x$	$=$	$\frac{108}{12}$
	↓	Kürze
$x$	$=$	$9$

$x : 6$	$=$	$7$	$\cdot 6$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x$	$=$	$7 \cdot 6$
	↓	Vereinfache.
$x$	$=$	$42$

$7 \cdot x$	$=$	$84$	$: 7$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x$	$=$	$\frac{84}{7}$
	↓	Kürze.
$x$	$=$	$12$

$56 - x$	$=$	$28$	$+ x$
	↓	Bringe $x$ auf die andere Seite.
$56$	$=$	$28 + x$	$- 28$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$56 - 28$	$=$	$x$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$28$	$=$	$x$

$x + 28$	$=$	$75$	$- 28$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x$	$=$	$75 - 28$
	↓	Vereinfache.
$x$	$=$	$47$

$64 : x$	$=$	$4$	$\cdot x$
	↓	Bringe $x$ auf die andere Seite.
$64$	$=$	$4 \cdot x$	$: 4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\frac{64}{4}$	$=$	$x$
	↓	Kürze.
$16$	$=$	$x$

Aufgaben zu linearen Gleichungen

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Lösung durch Umformen der Gleichung

Lösung mithilfe einer Wertetabelle

Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls

Kontrolle:

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