Aufgaben
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne LL, das Gleichheitszeichen == und die geschweiften Klammern {}\{\} an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata ,, trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge L={4,5,9}L =\{4,5,9\} ist, dann gib in das Feld ein: 4,5,94,5,9.
4x+4=3x+34x+4=3x+3
4x+4=3x+34x+4=3x+3
3x\left|-3x\right.

x+4=3x+4=3
4\left|-4\right.

x=1x=-1


L={1}L=\left\{-1\right\}

5x2=x+6\displaystyle 5x-2=x+6
5x2=x+6\displaystyle 5x-2=x+6
+2\displaystyle \vert+2

5x=x+8\displaystyle 5x=x+8
x\displaystyle \vert-x

4x=8\displaystyle 4x=8
:4\displaystyle \vert:4

x=2\displaystyle x=2


L={2}\displaystyle L=\{2\}


3x=x+53x=x+5
3x=x+53x=x+5
x\left|{-x}\right.
2x=52x=5
:2\left|{:2}\right.
x=2,5x=2,5

L={2,5}L=\left\{2,5\right\}

2x=42x=4
7x9=2x+5\displaystyle 7x-9=2x+5
112x5=3\frac1{12}x-5=3
+5\displaystyle |+5
112x=8\frac1{12}x=8
12\displaystyle \left|\cdot12\right.
x=96\displaystyle x=96
L={96}\displaystyle L=\{96\}
8x+5=5-8x+5=-5
8x+5=5-8x+5=-5
5\left|-5\right.
8x=10-8x=-10
:(8)\left|:(-8)\right.
x=108\displaystyle x=\frac{-10}{-8}

x=108=54=1,25\displaystyle x=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1,25

L={1,25}L=\left\{1,25\right\}
x+4=9x(5x)x+4=9x-\left(5-x\right)
x+4=9x(5x)x+4=9x-(5-x)
x+4=9x5+xx+4=9x-5+x
x+5\begin{array}{l}\left|-x\right.\\\left|+5\right.\end{array}
9=9x9=9x
:9\left|:9\right.
x=1x=1

L={1}L=\{1\}
124x=0\frac1{24}x=0
124x=0\frac1{24}x=0
24\left|\cdot24\right.
x=0x=0

L={0}L=\{0\}

Löse folgende Gleichungen

%%3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)%%

%%3(a-4)=1-\frac15(2-a)%%

%%3a-12=1-\frac25+\frac15a%%

Fasse zusammen.

%%3a-12=\frac35+\frac15a%%

%%|-\frac15a%%

%%|+12%%

%%3a-\frac{1}5a=\frac{3}5+12%%

Fasse zusammen.

%%\frac{14}5a=\frac{63}5%%

%%\left|:\frac{14}5\right.%%

%%a=\frac92=4,5%%

%%L=\{4,5\}%%

%%3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)%%

Nach x auflösen

Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, sieh dir diesen Artikel an zum Lösen von Gleichungen.

%%12x-9=12x-16%%

%%\left|-12x\right.%%

%%-9=-16%%

Ist nicht lösbar.

%%L=\emptyset%%

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

%%\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)%%

%%(x-2)(3x-1)=3(x+1)x-2(5x+1)%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=3x^2+3x-10x-2%%

Fasse zusammen.

%%3x^2-7x+2=3x^2-7x-2%%

%%\begin{array}{l}\left|-3x^2\right.\\\left|+7x\right.\end{array}%%

%%2=-2%%

=> Für x kann keine Zahl eingesetzt werden, sodass die Gleichung wahr ist.

%%L=\emptyset%%

%%\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

%%\left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

Multipliziere die Klammern aus.

(Runde Klammern haben höhere Priorität als Eckige)

%%\left[2x+6+4\right]\cdot5-10x=50%%

Fasse in der eckigen Klammer zusammen.

%%\left[2x+10\right]\cdot5-10x=50%%

%%10x+50-10x=50%%

Fasse zusammen.

%%50=50%%

Gilt für jedes x.

%%L=G%%

=> Alle Zahlen sind einsetzbar

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%6x-1,5=4-2+2x%%

Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren:
Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.

%%6x-1,5=2x+2%%

%%\left|-2x +1,5\right.%%

Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen.

%%4x=3,5%%

%%\left|:4\right.%%

Durch die Zahl vor der Variablen dividieren.

%%x=\frac{3,5}4%%

Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.

%%x=\frac{3,5\cdot2}{4\cdot2}=\frac78%%

%%\,%%

%%L=\left\{\frac78\right\}%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.

%%7-\left[-33+15x\right]=2x-1-1+4x%%

%%7+33-15x=2x-1-1+4x%%

Fasse zusammen.

%%40-15x=-2+6x%%

%%\begin{array}{l}\left|+15x\right.\\\left|+2\right.\end{array}%%

%%21x=42%%

%%\left|:21\right.%%

%%x=2%%

 

%%L=\left\{2\right\}%%

 

%%-1\frac34-0,8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8(x-4)=-\frac23(\frac3{10}x-3)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8x+3,2=-\frac15x+2+0,5%%

Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)

%%1,45-0,8x=-\frac15x+2,5%%

%%\vert+\frac15x%%

%%\mid-1,45%%

Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.

%%-0,8\mathrm x+\frac15\mathrm x=-1,45+2,5%%

Fasse zusammen.

%%-0,6x = 1,05%%

%%\mid : (-0,6)%%

      %%\mathrm x=-1,75%%

 

%%L=\{-1,75\}%%

Bestimme die Lösung der Gleichung  %%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%% .

%%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%%

Fasse zusammen.

%%\frac{45}4+\frac83-x=\frac{47}{10}-\frac{43}{12}%%

%%|-\frac{47}{10}%%

%%\frac{45}4+\frac83-x - \frac{47}{10} =-\frac{43}{12}%%

%%|+\frac{43}{12}%%

%%\frac{45}4+\frac83-x - \frac{47}{10} +\frac{43}{12}= 0%%

%%|+x%%

%%x=\frac{45}4+\frac83+\frac{43}{12}-\frac{47}{10}%%

Gemeinsamen Hauptnenner 60 bilden und alle Brüche auf diesen erweitern.

%%x=\frac{675}{60}+\frac{160}{60}+\frac{215}{60}-\frac{282}{60}%%

Fasse zusammen.

%%x=\frac{768}{60}%%

Kürze den Bruch.

%%x=\frac{64}5%%

%%L=\left\{\frac{64}5\right\}%%

Löse folgende Gleichung, indem du zuerst mit dem Hauptnenner beide Seiten der Gleichung multiplizierst:

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der linken Seite.

%%\frac{10x}{30}-\frac9{30}+\frac{40x}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Fasse die linke Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der rechten Seite.

Beachte: Bevor du den Hauptnenner der Zahl %%1\frac16%% bildest, werde dir bewusst, dass es sich hier um einen gemischten Bruch handelt, also %%1\frac16=\frac76%%.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-12x+14-5x+24}{12}%%

Fasse den Nenner auf der rechten Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-17x+38}{12}%%

%%\left|\cdot30\right.%%

%%50x-9=\frac{-17x+38}{12}\cdot30%%

%%\left|\cdot12\right.%%

%%\left(50x-9\right)\cdot12=\left(-17x+38\right)\cdot30%%

%%600x-108=-510x+1140%%

%%\left|+108\right.%%

%%600x=-510x+1248%%

%%\left|+510x\right.%%

%%1110x=1248%%

%%\left|:1110\right.%%

%%x=\frac{1248}{1110}%%

%%L=\left\{\frac{1248}{1110}\right\}%%

Finde die beiden Lösungen von x3=2\left|x-3\right|=2

Hierbei bezeichnet \left|…\right| den Betrag, z.B. 7=+7,  +7=+7  \left|-7\right|=+7,\;\left|+7\right|=+7\;.

Löse folgende Formeln nach der angegebenden Variable auf.

%%\frac b{2r\mathrm\pi}=\frac\alpha{360^\circ}%% nach %%r%%

%%\frac b{2r\mathrm\pi}=\frac\alpha{360^\circ}%%

%%\left|\cdot2r\mathrm\pi\right.%%

%%{\textstyle\mathrm b}=\frac\alpha{360^\circ}\cdot2r\mathrm\pi%%

%%{\textstyle\mathrm b}=\frac{\alpha\cdot2r\mathrm\pi}{360^\circ}%%

%%\left|\cdot360^\circ\right.%%

%%\textstyle360^\circ\cdot\mathrm b=\mathrm a\cdot2\mathrm{rπ}%%

%%\left|:a\right.%%

%%\frac{360^\circ\cdot b}a=2r\mathrm\pi%%

%%\left|:2\mathrm\pi\right.%%

%%\frac{360^\circ\cdot b}{a\cdot2\mathrm\pi}=\mathrm r%%

%%V=\frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L%% nach %%d%%

%%V=\frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L%%

%%\left|:\frac{L_1}L\right.%%

%%\frac V{\displaystyle\frac{L_1}L}=\frac{D-d}2%%

%%V\cdot\frac L{L_1}=\frac{D-d}2%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%V\cdot\frac L{L_1}\cdot2=D-d%%

%%\left|-D\right.%%

%%V\cdot\frac L{L_1}\cdot2-D=-d%%

%%\left|\cdot(-1)\right.%%

%%d=D-\frac{V\cdot L\cdot2}{L_1}%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2%% nach %%c%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2%%

%%\left|+\mathrm{πr}^2\right.%%

%%A+\mathrm{πr}^2=\frac{a+c}2\cdot h%%

%%\left|:h\right.%%

%%\frac{A+\mathrm{πr}^2}h=\frac{a+c}2%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\frac{A+\mathrm{πr}^2}h\cdot2=a+c%%

%%\left|-a\right.%%

%%\frac{2A+2\mathrm{πr}^2}h-a=c%%

Forme so um, dass %%r^2%% auf der linken Seite steht:

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%A=\frac{h\cdot\left(a+c\right)}2-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%\left|+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\right.%%

%%A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{\mathrm h\cdot\left(\mathrm a+\mathrm c\right)}2%%

%%A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{ha + hc}2%%

%%\left|-A\right.%%

%%\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{ha + hc}2-A%%

%%\left|:\mathrm\pi\right.%%

%%r^2=\frac{\frac{ha + hc}2-A}{\mathrm\pi}%%

Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.

%%\mathrm r^2=\frac{\left(\frac{ha + hc}2-\frac{2A}2\right)}{\mathrm\pi}%%

Fasse die Brüche zusammen.

Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren .

%%\mathrm r^2=\frac{ha+hc-2A}2\cdot\frac1{\mathrm\pi}%%

Fasse die Brüche zusammen.

%%\mathrm r^2=\frac{ha + hc - 2A}{2\mathrm\pi}%%

ax+2(xa)=x(2+a)ax+2\left(x-a\right)=x\left(2+a\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren

Tipp: "in Abhängigkeit von aa" heißt: Der Parameter aa darf in der Lösung vorkommen.
Manchmal muss man dabei Fallunterscheidungen machen. Meistens ist das dann der Fall, wenn man durch einen Term teilen will, in dem aa vorkommt. Denn teilen darf man nur, wenn der Teiler nicht 0 ist.
ax+2(xa)=x(2+a)ax+2(x-a)=x(2+a)
ax+2x2a=2x+axax+2x-2a=2x+ax
Bringe alle Terme mit x auf eine Seite
Subtrahiere: 2xax-2x-ax\quad
2a=0-2a=0
Ist a=0a=0:
=>0=0=> 0=0 =>L=Q=> L=Q
d.h. Die Gleichung ist für jede Zahl erfüllt.
Ist a0a\neq0:
=>=> Gleichung ist unerfüllbar =>L==> L=\emptyset
d.h. Die Gleichung ist für keine Zahl erfüllt.
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