Aufgaben

Wo wurde richtig ausgeklammert?

Zu text-exercise-group 54417:
mariefreyberg 2018-05-17 06:38:27+0200
hat nichts mit termen zu tun
Nish 2018-05-17 16:14:40+0200
Hallo Marie,

warum hat es deiner Meinung nach nichts mit Termen zu tun? Es geht hier ja darum, Terme (schon eine Zahl bzw. eine Variable selbst ist ein Term) umzuformen, hier besonders das Ausklammern von Termen.

Wenn es deinerseits noch Unklarheiten/Fragen gibt, schreib mir gerne hier oder eine Mail an nishanth@serlo.org.

LG,
Nish
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%%487\cdot 16+5\cdot 8%%

Nicht schätzen - Rechnen!

Nur vielfache von %%5%% sind durch %%5%% teilbar!

Hast du da nicht was vergessen?

Hier haben wir wohl einen kleinen Gauß!

%%487\cdot 16+5\cdot 8%%

Finde einen Faktor, den beide Summanden gemeinsam haben. Das ist für %%8%% der Fall.

%%487\cdot 2\cdot 8+5\cdot 8%%

Klammere jetzt den gemeinsamen Faktor aus.

%%8\cdot (487\cdot 2+5)%%

Rechne nun noch den linken Summanden in der Klammer aus.

%%8\cdot (974+5)%%

%%24+40+11+33%%

Schau dir lieber nochmal den Artikel zum Ausklammern an.

Vielleicht solltest du nicht einfach nur wild rumklicken?

Pass auf wie das Ausklammern geht!

Du bist ein Fuchs!

%%24+40+11+33%%

Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:

%%24%% und %%40%% sind durch %%8%% teilbar,

%%11%% und %%33%% sind durch %%11%% teilbar.

%%8\cdot 3+8\cdot 5+11\cdot 1+11\cdot 3%%

Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.

%%8\cdot(3+5)+11\cdot(1+3)%%

Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:

%%24+40+11+33%%

Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl %%24%% als auch %%33%% sind durch %%3%% teilbar.

%%8\cdot 3+40+11+11\cdot 3%%

Jetzt kannst du den ersten und den letzten Summanden zusammen nehmen und die %%3%% ausklammern

%%3\cdot(8+11)+40+11%%

%%26+16+39+44%%

Hier wurde nicht ausgeklammert. Versuche es nochmal.

Leider nein. Probier es nochmal.

Versuche es nochmal.

Sehr gut!

%%26+16+39+44%%

Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:

26 und 39 sind durch 13

teilbar,

16 und 44 sind durch 4 teilbar.

%%13\cdot2+4\cdot4+13\cdot3+4\cdot11%%

Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.

%%13\cdot(2+3)+4\cdot(4+11)%%

Ein alternatives Ergebnis wäre:

%%26+16+39+44%%

26, 16 und 44 sind durch 2 teilbar.

%%2\cdot13+2\cdot8+39+2\cdot22%%

Jetzt kannst du ausklammern.

%%2\cdot(13+8+22)+39%%

%%77+15+24+28%%

Schau nochmal genau hin und probiere es noch einmal.

Probiere es nochmal.

Hier wurde nichts ausgeklammert. Versuche es nochmal.

Super!

%%77+15+24+28%%

Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:

77 und 28 sind durch 7

teilbar,

15 und 24 sind durch 3 teilbar.

%%7\cdot11+3\cdot5+3\cdot8+7\cdot4%%

Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.

%%7\cdot(11+4)+3\cdot(5+8)%%

Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:

%%77+15+24+28%%

Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl 24 als auch 28 sind durch 4 teilbar.

%%77+15+4\cdot6+4\cdot7%%

Jetzt kannst du die letzten beiden Summanden nehmen und 4 ausklammern.

%%77+15+4\cdot(6+7)%%

Berechne geschickt durch Ausklammern:
3+25+5953+25+5\cdot 95

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



3+25+5953+25+5\cdot 95
Überprüfe, ob die Summanden einen gemeinsamen Teiler haben. Du siehst, dass das lediglich bei den rechten beiden Summanden der Fall ist.
3+55+5953+5\cdot 5+5\cdot 95
Klammere den Faktor 5 aus den beiden letzten Summanden aus.
3+5(5+95)3+5\cdot(5+95)
Rechne nun die Summe in der Klammer aus.
3+51003+5\cdot 100
Beachte nun die Regel Punkt vor Strich.
3+5003+500
Führe nun noch die letzte Addition aus.
503503

752+7617\cdot 52+7\cdot 61

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



752+7617\cdot 52+7\cdot 61
Finde einen gemeinsamen Teiler.
7(52+61)7\cdot(52+61)
Rechne die Summe in der Klammer aus.
71137\cdot 113
Berechne das Produkt. Überlege dir ob Rechnungen wie 5113+21135\cdot 113+2\cdot 113 oder 10113311310\cdot 113-3\cdot 113 vereinfachen.
791791

86+1188\cdot6+11\cdot 8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



86+1188\cdot6+11\cdot 8
Finde einen gemeinsamen Teiler.
=8(6+11)=8\cdot(6+11)
Rechne nun die Summe in der Klammer aus.
=817=8\cdot17
Berechne nun das Produkt.
=136=136

99+1112399+11\cdot 123

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



99+1112399+11\cdot 123
Finde einen gemeinsamen Teiler.
11(9+123)11\cdot (9+123)
Rechne jetzt die Summe in der Klammer aus.
1113211\cdot 132
Multipliziere die beiden Faktoren miteinander. Führe dazu eine kleine Zwischenrechnung durch: (10+1)132(10+1)\cdot 132.
10132=1320+132\underbrace{10\cdot 132}_{=1320}+132
Berechne nun mit der Regel Punkt vor Strich das Ergebnis.
14521452

712+2747\cdot12+2\cdot7\cdot4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



712+2747\cdot12+2\cdot7\cdot4
Finde einen gemeinsamen Teiler für die beiden Summanden: Hier ist es die Zahl 7.
Klammere die 7 aus jedem der beiden Summanden aus.
7(12+2 4)7\cdot(12+2\ \cdot4)
Berechne die Summe in der Klammer.
Beachte dabei natürlich die Regel "Punkt vor Strich", und berechne erst 242\cdot4,
7(12+8)7\cdot(12+8)
und erst danach die Summe von 12 und 8.
7207\cdot20
Rechne das Produkt schriftlich aus.
140140

(97+45)+(83+64)(9\cdot7+45)+(8\cdot3+64)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



(97+45)+(83+64)(9\cdot7+45)+(8\cdot3+64)
Suche zunächst nach einem gemeinsamen Teiler für die linke Summe.
9(7+5)+(83+64)9\cdot(7+5)+(8\cdot3+64)
Wiederhole die Überlegung für die rechte Summe.
9(7+5)+8(3+8)9\cdot(7+5)+8\cdot(3+8)
Rechne nun die beiden Summen in den Klammern aus.
912+811=108+88=1969\cdot12+8\cdot11=108+88=196



Klammere aus.

%%6\mathrm{uv}-24\mathrm{uv}^2%%

%%-5\mathrm{xu}+15\mathrm{xv}-10\mathrm{xz}%%

Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

Du kannst %%x%% ausgeklammern, da es in allen drei Summanden vorkommt. Wenn du alle Brüche auf den Hauptnenner erweiterst, erkennst du, dass du gleichzeitig einen Bruch mit ausklammern kannst.

%%=\frac48\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac68\mathrm{xz}%%

Klammere den Faktor %%\frac18x%% aus.

%%=\frac18x\cdot\left(4u-v+6z\right)%%

Klammere den Ausdruck in der Klammer aus.

%%\left(-\mathrm{ab}^2\right)\;\;%% aus %%-\mathrm{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

%%-{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

suche den Faktor %%(-ab^2)%% in jedem Summanden

%%\color{red}{-{ab}^2}\cdot b^2- a\cdot(\color{red}{-{ab}^2})\cdot b+a^2\cdot(\color{red}{-{ab}^2})%%

Klammere %%\left(-{ab}^2\right) %% aus.

%%=(-{ab}^2)\cdot\left(b^2-{ab}+a^2\right)%%

Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

Verwende %%\left(a+b\right)=1\cdot\left(a+b\right)%%.

%%=8\cdot\left(a+b\right)+1\cdot\left(a+b\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(a+b\right)%% aus.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(8+1\right)%%

Fasse zusammen.

%%=9\cdot\left(a+b\right)%%

%%x\cdot\left(3-r\right)-\left(3-r\right)%%

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

Verwende %%\left(3u+v\right)=1\cdot\left(3u+v\right)%%

%%=2x\cdot\left(3u+v\right)-1\cdot\left(3u+v\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(3u+v\right)%% aus.

%%=\left(3u+v\right)\cdot\left(2x-1\right)%%

Faktorisiere die folgenden Terme.

%%\mathrm{av}+\mathrm{au}+v+u%%

Lösung in Arbeit (es fehlen noch Überschrift am Anfang, Satz am Anfang und ggf. Verlinkungen zu Begriffen/Methoden)

  %%av+au+v+u%%

 

%%=a(v+u)+v+u =a(v+u)+1(v+u) =(1+a)(u+v)%%

%%\mathrm{cq}+\mathrm{cr}-q-r%%

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

Klammere die Faktoren %%a%% und %%b%% aus den entsprechenden Summanden aus.

%%=a\cdot\left(x+y\right)+b\cdot\left(x+y\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(x+y\right)%% aus.

%%=\left(x+y\right)\cdot\left(a+b\right)%%

Sortiere nach Variabeln.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(x+y\right)%%

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

Teile in Teilsummanden auf.

%%=4\mathrm{uv}-u+4v\cdot3y-3y%%

Klammere die Faktoren %%u%% und %%3y%% aus.

%%=u\cdot\left(4v-1\right)+3y\cdot\left(4v-1\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(4v-1\right)%% aus.

%%=\left(4v-1\right)\cdot\left(u+3y\right)%%

Welche der folgenden Terme sind äquivalent?

  1. %%2x^2:x-3\cdot\left(x+x\right)-x\cdot\frac12x%%

  2. %%\frac12x^2-4x%%

  3. %%-0,5x\cdot x-2x\cdot\left(-2\right)%%

  4. %%\frac14x^2-\frac12x\left(8+x\right)-0,25x^2%%

  5. %%-2x\left(2-\frac14x\right)+0,5x-x:2%%

1)

%%2x^2:x-3\cdot\left( x+ x\right)- x\cdot\frac12 x%%

Vereinfache den Term.

%%=2x-3\cdot2x-\frac12 x^2%%

Fasse zusammen.

%%=-4x-\frac12x^2%%

2)

%%\frac12x^2-4 x%%

Der Term lässt sich nicht weiter vereinfachen.

3)

%%-0,5 x\cdot x-2x\cdot\left(-2\right)%%

Vereinfache den Term

%%=-\frac12x^2+4x%%

4)

%%\frac14x^2-\frac12 x\left(8+ x\right)-0,25 x^2%%

Vereinfache den Term. Beachte %%\frac14=0,25%%.

%%=-\frac12 x\cdot8-\frac12 x^2%%

%%=-\frac12x^2-4 x%%

5)

%%-2x\left(2-\frac14 x\right)+0,5 x-\ x:2%%

Vereinfache den Term

%%=-4 x+\frac24 x^2+\frac12 x-\frac12 x%%

%%=\frac12 x^2-4 x%%

Ergebnis:

  • Die Terme 2) und 5) sind äquivalent zueinander, da beide Terme äquivalent zu %%\;\frac12 x^2-4 x%% sind.

  • Die Terme 1) und 4) sind äquivalent zueinander, da beide Terme äquivalent zu %%-\frac12 x^2-4 x%% sind.

  • Der Term 3) ist von den anderen verschieden.

Der Term  %%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%    soll als Produkt geschrieben werden. Wurde jeweils richtig oder falsch faktorisiert?

  1. %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%

  2. %%a\left(-\frac12a+2b\right)%%

  3. %%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a%%

  4. %%a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

  5. %%0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)%%

1.

%%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%

Klammere den Faktor %%-\frac12a%% aus.

%%=-\frac12a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{-{\frac12}a}-\frac a{-{\frac12}a}+\frac{2ab}{-{\frac12}a}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\frac1{-\frac12}+\frac{2b}{-\frac12}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\left(-2\right)+\left(-4b\right)\right)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

2.

%%a\left(-\frac12a+2b\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2{ab}%%

Klammere %%a%% aus.

%%=a(-\frac12a-1+2b)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

3.

%%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a%%

Richtig, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%

Klammere den Faktor %%2a%% aus.

%%=2a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{2a}-\frac a{2a}+\frac{2ab}{2a}\right)%%

%%=2a\left(-\frac14a-\frac12+b\right)%%

Ist gleich %%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)a%%.

4.

%%a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2ab%%

Klammere den Faktor %%a%% aus.

%%=a\left({\textstyle-}\frac12{\textstyle a}-{\textstyle1}+\textstyle2\textstyle b\right)=%%

Klammere den Faktor %%-\frac12%% aus.

%%=a\left(\frac{-{\frac12}a}{-\frac12}-\frac1{-\frac12}+\frac{2b}{-\frac12}\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

%%=-\frac12a(a+2-4b)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

5.

%%0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}=%%

Klammere den Faktor %%-\frac12a%% aus.

%%=-\frac12a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{-{\frac12}a}-\frac a{-{\frac12}a}+\frac{2ab}{-{\frac12}a}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\left(-2\right)+\left(-4\right)b\right)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

Beschreibe mit Worten, welche Fehler jeweils gemacht wurden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren

aa wurde durch xx und bb durch yy ersetzt und aus einem Produkt kann durch Ausklammern kein Term mit einer Summe entstehen.
12xy2xy+2x2y=xy(12y2x)-\frac12 xy^2-xy+2x^2y=-xy\left(\frac12y-2x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammer ausmultiplizieren

In der Klammer wurde +1+1 vergessen, was beim ausmultiplizieren xy-xy ergibt.

Faktorisiere und klammere aus soweit möglich. Für diese Aufgabe musst du schon die binomischen Formeln kennen.

Zu text-exercise-group 3881:
ast19 2019-10-03 11:51:25+0200
Im bayerischen Lehrplan des Gymnaisiums werden die binomischen Formeln zur Faktorisierung verbindlich erst in der 9. Jahrgangsstufe behandelt. Ich würde Aufgabe Nr 1 komplett streichen, das fängt für die SchülerInnen zu schwer an.
wolfgang 2019-10-06 14:25:52+0200
Hallo ast19,
vielen Dank für deinen Hinweis!

In der Tat ist diese Aufgabe nicht für den Einstieg geeignet. In einem Aufgabenordner auf unserer Plattform sollten die Aufgaben von oben nach unten schwieriger werden. Deshalb habe ich die Aufgabe ganz ans Ende des Ordners verschoben und in die Angabe mitaufgenommen, dass dafür die binomischen Formeln benötigt werden.

Weiteres Feedback gerne jederzeit als Kommentar hinterlassen.

Herzliche Grüße
Wolfgang
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%%(\mathrm{gt}-\mathrm{ht})+(2g-2h)%%

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