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Wo wurde richtig ausgeklammert?

Zu text-exercise-group 54417:
mariefreyberg 2018-05-17 06:38:27
hat nichts mit termen zu tun
Nish 2018-05-17 16:14:40
Hallo Marie,

warum hat es deiner Meinung nach nichts mit Termen zu tun? Es geht hier ja darum, Terme (schon eine Zahl bzw. eine Variable selbst ist ein Term) umzuformen, hier besonders das Ausklammern von Termen.

Wenn es deinerseits noch Unklarheiten/Fragen gibt, schreib mir gerne hier oder eine Mail an nishanth@serlo.org.

LG,
Nish
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%%487\cdot 16+5\cdot 8%%

Nicht schätzen - Rechnen!

Nur vielfache von %%5%% sind durch %%5%% teilbar!

Hast du da nicht was vergessen?

Hier haben wir wohl einen kleinen Gauß!

%%487\cdot 16+5\cdot 8%%

Finde einen Faktor, den beide Summanden gemeinsam haben. Das ist für %%8%% der Fall.

%%487\cdot 2\cdot 8+5\cdot 8%%

Klammere jetzt den gemeinsamen Faktor aus.

%%8\cdot (487\cdot 2+5)%%

Rechne nun noch den linken Summanden in der Klammer aus.

%%8\cdot (974+5)%%

%%24+40+11+33%%

Pass auf wie das Ausklammern geht!

Schau dir lieber nochmal den Artikel zum Ausklammern an.

Vielleicht solltest du nicht einfach nur wild rumklicken?

Du bist ein Fuchs!

%%24+40+11+33%%

Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:

%%24%% und %%40%% sind durch %%8%% teilbar,

%%11%% und %%33%% sind durch %%11%% teilbar.

%%8\cdot 3+8\cdot 5+11\cdot 1+11\cdot 3%%

Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.

%%8\cdot(3+5)+11\cdot(1+3)%%

Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:

%%24+40+11+33%%

Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl %%24%% als auch %%33%% sind durch %%3%% teilbar.

%%8\cdot 3+40+11+11\cdot 3%%

Jetzt kannst du den ersten und den letzten Summanden zusammen nehmen und die %%3%% ausklammern

%%3\cdot(8+11)+40+11%%

%%26+16+39+44%%

Leider nein. Probier es nochmal.

Hier wurde nicht ausgeklammert. Versuche es nochmal.

Versuche es nochmal.

Sehr gut!

%%26+16+39+44%%

Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:

26 und 39 sind durch 13

teilbar,

16 und 44 sind durch 4 teilbar.

%%13\cdot2+4\cdot4+13\cdot3+4\cdot11%%

Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.

%%13\cdot(2+3)+4\cdot(4+11)%%

Ein alternatives Ergebnis wäre:

%%26+16+39+44%%

26, 16 und 44 sind durch 2 teilbar.

%%2\cdot13+2\cdot8+39+2\cdot22%%

Jetzt kannst du ausklammern.

%%2\cdot(13+8+22)+39%%

%%77+15+24+28%%

Schau nochmal genau hin und probiere es noch einmal.

Probiere es nochmal.

Hier wurde nichts ausgeklammert. Versuche es nochmal.

Super!

%%77+15+24+28%%

Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:

77 und 28 sind durch 7

teilbar,

15 und 24 sind durch 3 teilbar.

%%7\cdot11+3\cdot5+3\cdot8+7\cdot4%%

Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.

%%7\cdot(11+4)+3\cdot(5+8)%%

Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:

%%77+15+24+28%%

Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl 24 als auch 28 sind durch 4 teilbar.

%%77+15+4\cdot6+4\cdot7%%

Jetzt kannst du die letzten beiden Summanden nehmen und 4 ausklammern.

%%77+15+4\cdot(6+7)%%

Berechne geschickt durch Ausklammern:

%%3+25+5\cdot 95%%

%%3+25+5\cdot 95%%

Überprüfe ob die Summanden einen gemeinsamen Teiler haben. Du siehst, dass das lediglich bei den rechten beiden Summanden der Fall ist.

%%3+5\cdot 5+5\cdot 95%%

Klammere den Faktor 5 aus den beiden letzten Summanden aus.

%%3+5\cdot(5+95)%%

Rechne nun die Summe in der Klammer aus.

%%3+5\cdot 100%%

Beachte nun die Regel Punkt vor Strich.

%%3+500%%

Führe nun noch die letzte Addition aus.

%%503%%

%%7\cdot 52+7\cdot 61%%

%%99+11\cdot 123%%

%%99+11\cdot 123%%

Finde einen gemeinsamen Teiler.

%%11\cdot (9+123)%%

Rechne jetzt die Summe in der Klammer aus.

%%11\cdot 132%%

Multipliziere die beiden Faktoren miteinander. Führe dazu eine kleine Zwischenrechnung durch: %%(10+1)\cdot 132%%.

%%\underbrace{10\cdot 132}_{=1320}+132%%

Berechne nun mit der Regel Punkt vor Strich das Ergebnis.

%%1452%%

%%7\cdot 12+31\cdot 7\cdot49%%

%%7\cdot 12+31\cdot 7\cdot49%%

Finde einen gemeinsamen Teiler für die beiden Summanden: Hier ist es die Zahl 7.

Klammere die 7 aus jedem der beiden Summanden aus.

%%7\cdot(12+31\cdot49)%%

Berechne die Summe in der Klammer.

Beachte dabei natürlich die Regel "Punkt vor Strich", und berechne erst %%31\cdot 49%%,

%%7\cdot (12+1519)%%

und erst danach die Summe von 12 und 1519.

%%7\cdot 1531%%

Rechne das Produkt schriftlich aus.

%%10717%%

%%(9\cdot 46+45)\cdot(8\cdot 21+64)%%

%%(9\cdot 46+45)\cdot(8\cdot 21+64)%%

Suche zunächst nach einem gemeinsamen Teiler für die linke Summe.

%%9\cdot(46+5)\cdot (8\cdot 21+64)%%

Wiederhole die Überlegung für die rechte Summe.

%%9\cdot (46+5)\cdot 8\cdot (21+8)%%

Rechne nun die beiden Summen in den Klammern aus.

%%9\cdot 51\cdot 8\cdot 29%%

Multipliziere der Reihenfolge nach (gegebenenfalls schriftlich) zusammen.

%%106488%%

Klammere aus.

%%6\mathrm{uv}-24\mathrm{uv}^2%%

%%-5\mathrm{xu}+15\mathrm{xv}-10\mathrm{xz}%%

Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

Du kannst %%x%% ausgeklammern, da es in allen drei Summanden vorkommt. Wenn du alle Brüche auf den Hauptnenner erweiterst, erkennst du, dass du gleichzeitig einen Bruch mit ausklammern kannst.

%%=\frac48\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac68\mathrm{xz}%%

Klammere den Faktor %%\frac18x%% aus.

%%=\frac18x\cdot\left(4u-v+6z\right)%%

Klammere den Ausdruck in der Klammer aus.

%%\left(-\mathrm{ab}^2\right)\;\;%% aus %%-\mathrm{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

Verwende %%\left(a+b\right)=1\cdot\left(a+b\right)%%.

%%=8\cdot\left(a+b\right)+1\cdot\left(a+b\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(a+b\right)%% aus.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(8+1\right)%%

Fasse zusammen.

%%=9\cdot\left(a+b\right)%%

%%x\cdot\left(3-r\right)-\left(3-r\right)%%

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

Faktorisiere die folgenden Terme.

%%\mathrm{av}+\mathrm{au}+v+u%%

Lösung in Arbeit (es fehlen noch Überschrift am Anfang, Satz am Anfang und ggf. Verlinkungen zu Begriffen/Methoden)

  %%av+au+v+u%%

 

%%=a(v+u)+v+u =a(v+u)+1(v+u) =(1+a)(u+v)%%

%%\mathrm{cq}+\mathrm{cr}-q-r%%

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

Klammere die Faktoren %%a%% und %%b%% aus den entsprechenden Summanden aus.

%%=a\cdot\left(x+y\right)+b\cdot\left(x+y\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(x+y\right)%% aus.

%%=\left(x+y\right)\cdot\left(a+b\right)%%

Sortiere nach Variabeln.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(x+y\right)%%

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

Teile in Teilsummanden auf.

%%=4\mathrm{uv}-u+4v\cdot3y-3y%%

Klammere die Faktoren %%u%% und %%3y%% aus.

%%=u\cdot\left(4v-1\right)+3y\cdot\left(4v-1\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(4v-1\right)%% aus.

%%=\left(4v-1\right)\cdot\left(u+3y\right)%%

Welche der folgenden Terme sind äquivalent?

  1. %%2x^2:x-3\cdot\left(x+x\right)-x\cdot\frac12x%%

  2. %%\frac12x^2-4x%%

  3. %%-0,5x\cdot x-2x\cdot\left(-2\right)%%

  4. %%\frac14x^2-\frac12x\left(8+x\right)-0,25x^2%%

  5. %%-2x\left(2-\frac14x\right)+0,5x-x:2%%

1)

%%2x^2:x-3\cdot\left( x+ x\right)- x\cdot\frac12 x%%

Vereinfache den Term.

%%=2x-3\cdot2x-\frac12 x^2%%

Fasse zusammen.

%%=-4x-\frac12x^2%%

2)

%%\frac12x^2-4 x%%

Der Term lässt sich nicht weiter vereinfachen.

3)

%%-0,5 x\cdot x-2x\cdot\left(-2\right)%%

Vereinfache den Term

%%=-\frac12x^2+4x%%

4)

%%\frac14x^2-\frac12 x\left(8+ x\right)-0,25 x^2%%

Vereinfache den Term. Beachte %%\frac14=0,25%%.

%%=-\frac12 x\cdot8-\frac12 x^2%%

%%=-\frac12x^2-4 x%%

5)

%%-2x\left(2-\frac14 x\right)+0,5 x-\ x:2%%

Vereinfache den Term

%%=-4 x+\frac24 x^2+\frac12 x-\frac12 x%%

%%=\frac12 x^2-4 x%%

Ergebnis:

  • Die Terme 2) und 5) sind äquivalent zueinander, da beide Terme äquivalent zu %%\;\frac12 x^2-4 x%% sind.

  • Die Terme 1) und 4) sind äquivalent zueinander, da beide Terme äquivalent zu %%-\frac12 x^2-4 x%% sind.

  • Der Term 3) ist von den anderen verschieden.

Der Term  %%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%    soll als Produkt geschrieben werden. Wurde jeweils richtig oder falsch faktorisiert?

  1. %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%

  2. %%a\left(-\frac12a+2b\right)%%

  3. %%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a%%

  4. %%a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

  5. %%0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)%%

1.

%%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%

Klammere den Faktor %%-\frac12a%% aus.

%%=-\frac12a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{-{\frac12}a}-\frac a{-{\frac12}a}+\frac{2ab}{-{\frac12}a}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\frac1{-\frac12}+\frac{2b}{-\frac12}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\left(-2\right)+\left(-4b\right)\right)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

2.

%%a\left(-\frac12a+2b\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2{ab}%%

Klammere %%a%% aus.

%%=a(-\frac12a-1+2b)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

3.

%%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a%%

Richtig, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}%%

Klammere den Faktor %%2a%% aus.

%%=2a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{2a}-\frac a{2a}+\frac{2ab}{2a}\right)%%

%%=2a\left(-\frac14a-\frac12+b\right)%%

Ist gleich %%2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)a%%.

4.

%%a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2ab%%

Klammere den Faktor %%a%% aus.

%%=a\left({\textstyle-}\frac12{\textstyle a}-{\textstyle1}+\textstyle2\textstyle b\right)=%%

Klammere den Faktor %%-\frac12%% aus.

%%=a\left(\frac{-{\frac12}a}{-\frac12}-\frac1{-\frac12}+\frac{2b}{-\frac12}\right)\cdot\left(-\frac12\right)%%

%%=-\frac12a(a+2-4b)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

5.

%%0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)%%

Falsch, da:

%%-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}=%%

Klammere den Faktor %%-\frac12a%% aus.

%%=-\frac12a\left(\frac{-{\frac12}a^2}{-{\frac12}a}-\frac a{-{\frac12}a}+\frac{2ab}{-{\frac12}a}\right)%%

%%=-\frac12a\left(a-\left(-2\right)+\left(-4\right)b\right)%%

%%=-\frac12a\left(a+2-4b\right)%%

Ist ungleich %%-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)%%.

Faktorisiere und klammere aus soweit möglich.

%%(\mathrm{gt}-\mathrm{ht})+(2g-2h)%%

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