Aufgaben zum Ausklammern

Wie gut kennst du dich aus? Lerne mit diesen Übungsaufgaben das Ausklammern in Termen!

1
Wo wurde richtig ausgeklammert?
1. $68 \cdot 5 + 5 \cdot 38$
  $5 \cdot (68 + 38)$
  $77710$
  $(5 \cdot 68) + 38$
  $2849$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $68 \cdot 5 + 5 \cdot 38$
  Hier siehst du, dass $5$ ein gemeinsamer Faktor der beiden Summanden ist. Klammere diesen aus.
  $5 \cdot (68 + 38)$
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2. $487 \cdot 16 + 5 \cdot 8$
  $8 \cdot (974 + 5)$
  $8 \cdot (487 + 5)$
  $8 \cdot (897 + 5)$
  $5 \cdot (34 + 1) + 8 \cdot (2 + 16)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $487 \cdot 16 + 5 \cdot 8$
  Finde einen Faktor, den beide Summanden gemeinsam haben. Das ist für $8$ der Fall.
  $487 \cdot 2 \cdot 8 + 5 \cdot 8$
  Klammere jetzt den gemeinsamen Faktor aus.
  $8 \cdot (487 \cdot 2 + 5)$
  Rechne nun noch den linken Summanden in der Klammer aus.
  $8 \cdot (974 + 5)$
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3. $24 + 40 + 11 + 33$
  $8 \cdot (3 + 5) + 11 \cdot (1 + 3)$
  $43 + 43 + 289 + 38$
  $4 \cdot (20 + 10) + 3 \cdot (4 + 12)$
  $120$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $24 + 40 + 11 + 33$
  Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:
  $24$ und $40$ sind durch $8$ teilbar,
  $11$ und $33$ sind durch $11$ teilbar.
  $8 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 11 \cdot 1 + 11 \cdot 3$
  Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.
  $8 \cdot (3 + 5) + 11 \cdot (1 + 3)$
  Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:
  $24 + 40 + 11 + 33$
  Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl $24$ als auch $33$ sind durch $3$ teilbar.
  $8 \cdot 3 + 40 + 11 + 11 \cdot 3$
  Jetzt kannst du den ersten und den letzten Summanden zusammen nehmen und die $3$ ausklammern
  $3 \cdot (8 + 11) + 40 + 11$
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4. $26 + 16 + 39 + 44$
  $13 \cdot (2 + 3) + 4 \cdot (4 + 11)$
  $13 \cdot (11 + 4) + 4 \cdot (2 + 3)$
  $4 \cdot (4 + 13) + 13 \cdot (3 + 11)$
  $13 \cdot 5 + 60$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $26 + 16 + 39 + 44$
  Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:
  26und 39 sind durch 13
  teilbar,
  16und 44 sind durch 4 teilbar.
  $13 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 13 \cdot 3 + 4 \cdot 11$
  Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.
  $13 \cdot (2 + 3) + 4 \cdot (4 + 11)$
  Ein alternatives Ergebnis wäre:
  $26 + 16 + 39 + 44$
  26, 16 und 44 sind durch 2 teilbar.
  $2 \cdot 13 + 2 \cdot 8 + 39 + 2 \cdot 22$
  Jetzt kannst du ausklammern.
  $2 \cdot (13 + 8 + 22) + 39$
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5. $77 + 15 + 24 + 28$
  $7 \cdot (11 + 4) + 3 \cdot (5 + 8)$
  $3 \cdot (11 + 4) + 7 \cdot (5 + 8)$
  $4 \cdot (11 + 7) + 8 \cdot (5 + 3)$
  $39 + 105$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $77 + 15 + 24 + 28$
  Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:
  77 und 28 sind durch 7
  teilbar,
  15 und 24 sind durch 3 teilbar.
  $7 \cdot 11 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 7 \cdot 4$
  Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.
  $7 \cdot (11 + 4) + 3 \cdot (5 + 8)$
  Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:
  $77 + 15 + 24 + 28$
  Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl 24 als auch 28 sind durch 4 teilbar.
  $77 + 15 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 7$
  Jetzt kannst du die letzten beiden Summanden nehmen und 4 ausklammern.
  $77 + 15 + 4 \cdot (6 + 7)$
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6. $36 + 9 + 72 - 18$
  $9 \cdot (4 + 1 + 8 - 2)$
  $135$

Berechne geschickt durch Ausklammern:

$3 + 25 + 5 \cdot 95$

$7 \cdot 52 + 7 \cdot 61$

$8 \cdot 6 + 11 \cdot 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$8 \cdot 6 + 11 \cdot 8$
↓
Finde einen gemeinsamen Teiler.
$=$ $8 \cdot (6 + 11)$
↓
Rechne nun die Summe in der Klammer aus.
$=$ $8 \cdot 17$
↓
Berechne nun das Produkt.
$=$ $136$
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Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. $5$ und $10$ lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
$5 : 5 = 1$
$10 : 5 = 2$
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).

$99 + 11 \cdot 123$

$7 \cdot 12 + 2 \cdot 7 \cdot 4$

$(9 \cdot 7 + 45) + (8 \cdot 3 + 64)$

$4 \cdot 17 + 13 \cdot 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$4 \cdot 17 + 13 \cdot 4$
↓
Berechne die Summe in der Klammer.
$=$ $4 \cdot (17 + 13)$
↓
Berechne das Produkt.
$=$ $4 \cdot 30$
$=$ $120$
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Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. $5$ und $10$ lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
$5 : 5 = 1$
$10 : 5 = 2$
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).

3
Klammere aus.
1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $x^{3} - 7 x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  $x^{3} - 7 x^{2}$ $=$
  ↓
  Klammere $x^{2}$ aus.
  $=$ $x^{2} (x - 7)$
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2. $a^{2} - a + ab$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $a^{2} - a + a b$ $=$
  ↓
  Klammere $a$ aus.
  $=$ $a (a - 1 + b)$
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3. $x^{2} - 2 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  $x^{2} - 2 x$ $=$
  ↓
  Klammere $x$ aus.
  $=$ $x \cdot (x - 2)$
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4. $6 uv - 24 {uv}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
  $6 u v - 24 u v^{2}$ $=$
  ↓
  Klammere $6 u v$ aus.
  $=$ $6 u v (1 - 4 v)$
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5. $14 {rs}^{2} - 7 r^{2} s + 35 r^{2} s^{2} t$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
  $14 {rs}^{2} - 7 r^{2} s + 35 r^{2} s^{2} t$ $=$
  ↓
  Klammere $7 r s$ aus.
  $=$ $7 r s (2 s - r + 5 r s t)$
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6. $24 p^{3} q - 16 {pq}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
  $24 p^{3} q - 16 {pq}^{2}$ $=$
  ↓
  Klammere $8 p q$ aus.
  $=$ $8 p q (3 p^{2} - 2 q)$
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7. $4 x^{2} y + 2 xy - 4 {xy}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
  $4 x^{2} y + 2 xy - 4 {xy}^{2}$ $=$
  ↓
  Klammere $2 x y$ aus
  $=$ $2 x y (2 x + 1 - 2 y)$
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8. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $2 x - 2 y$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $2 x - 2 y$ $=$
  ↓
  Klammere den Faktor 2 aus.
  $=$ $2 \cdot (x - y)$
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9. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $- 5 xu + 15 xv - 10 xz$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $- 5 x u + 15 x v - 10 x z$ $=$
  ↓
  Klammere den Faktor $5 x$ aus.
  $=$ $- 5 x \cdot (u - 3 v + 2 z)$
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10. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $26 xy - 13 xz$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $26 x y - 13 x z$ $=$
  ↓
  Klammere den Faktor $13 x$ aus.
  $=$ $13 x \cdot (2 y - z)$
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11. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $7 x - 7 y + 7 z$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $7 x - 7 y + 7 z$ $=$
  ↓
  Klammere den Faktor $7$ aus.
  $=$ $7 \cdot (x - y + z)$
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4
Beschreibe mit Worten, welche Fehler jeweils gemacht wurden.
1. $\frac{1}{2} {a b}^{2} \cdot 2 a^{2} b = a b \cdot (\frac{1}{2} y + 2 x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
  $a$ wurde durch $x$ und $b$ durch $y$ ersetzt und aus einem Produkt kann durch Ausklammern kein Term mit einer Summe entstehen.
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2. $- \frac{1}{2} x y^{2} - x y + 2 x^{2} y = - x y (\frac{1}{2} y - 2 x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammer ausmultiplizieren
  In der Klammer wurde $+ 1$ vergessen, was beim ausmultiplizieren $- x y$ ergibt.
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5
Was fehlt in der Klammer?
1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $- 7 x + 14 x y = - 7 x (. . .)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $- 7 x + 14 x y$ $=$ $- 7 x (. . .)$
  ↓
  Der Faktor -7x wird ausgeklammert.
  $- 7 x \cdot 1 - 7 x \cdot (- 2 y)$ $=$ $- 7 x \cdot (1 - 2 y)$
  $\Rightarrow (. . .) = 1 - 2 y$
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2. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $a x^{2} - 6 x^{3} = x^{2} \cdot (. . .)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $a x^{2} - 6 x^{3}$ $=$ $x^{2} \cdot (. . .)$
  ↓
  Der Faktor $x^{2}$ lässt sich ausklammern.
  $x^{2} \cdot a - x^{2} \cdot 6 x$ $=$ $x^{2} \cdot (a - 6 x)$
  $\Rightarrow (. . .) = a - 6 x$
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3. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $\frac{5}{3} a + 5 a^{2} - \frac{10}{3} a^{3} = 5 a \cdot (. . .)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $\frac{5}{3} a + 5 a^{2} - \frac{10}{3} a^{3}$ $=$ $5 a \cdot (. . .)$
  $\frac{1}{3} \cdot 5 a + 5 a \cdot a - \frac{2}{3} \cdot 5 a \cdot a^{2}$ $=$ $5 a \cdot (. . .)$
  ↓
  Der Faktor 5a wird ausgeklammert.
  $5 a \cdot (\frac{1}{3} + a - \frac{2}{3} a^{2})$ $=$ $5 a \cdot (. . .)$
  $\Rightarrow (. . .) = \frac{1}{3} + a - \frac{2}{3} a^{2}$
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4. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $1,5 a - 2,5 ab + 0,5 a^{2} = 0,5 a \cdot (. . .)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $1,5 a - 2,5 ab + 0,5 a^{2}$ $=$ $0,5 a \cdot (. . .)$
  $0,5 a \cdot 3 - 0,5 a \cdot 5 b + 0,5 a \cdot a$ $=$ $0,5 a \cdot (. . .)$
  ↓
  Der Faktor 0,5a wird ausgeklammert .
  $0,5 a \cdot (3 - 5 b + a)$ $=$ $0,5 a \cdot (. . .)$
  $\Rightarrow (. . .) = 3 - 5 b + a$
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6
Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.
1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $\frac{3}{4} bx - \frac{3}{4} by + \frac{3}{4} bz$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Klammere den Faktor $\frac{3}{4} b$ aus.
  $\frac{3}{4} bx - \frac{3}{4} by + \frac{3}{4} bz = \frac{3}{4} b \cdot (x - y + z)$
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2. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $\frac{1}{2} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{3}{4} xz$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Du kannst $x$ ausgeklammern, da es in allen drei Summanden vorkommt. Wenn du alle Brüche auf den Hauptnenner erweiterst, erkennst du, dass du gleichzeitig einen Bruch mit ausklammern kannst.
  $\frac{1}{2} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{3}{4} xz$ $=$ $\frac{4}{8} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{6}{8} xz$
  ↓
  Klammere den Faktor $\frac{1}{8} x$ aus.
  $=$ $\frac{1}{8} x \cdot (4 u - v + 6 z)$
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3. $\frac{2}{3} a - \frac{5}{6} b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Erweitere $\frac{2}{3}$ mit 2.
  $\frac{2}{3} a - \frac{5}{6} b$ $=$ $\frac{4}{6} a - \frac{5}{6} b$
  ↓
  Klammer $\frac{1}{6}$ aus.
  $=$ $\frac{1}{6} (4 a - 5 b)$
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7
Klammere den Ausdruck in der Klammer aus.
1. $(- 1)$ aus: $a + b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Klammere $(- 1)$ aus.
  $a + b = - 1 (\frac{a}{- 1} + \frac{b}{- 1}) = - 1 (- a - b)$
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2. $(- 1)$ aus: $b - a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Klammere $(- 1)$ aus.
  $b - a = - 1 (\frac{b}{- 1} + \frac{- a}{- 1}) = - 1 (- b + a)$
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3. $(- 1)$ aus: $- a - b - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Klammere $(- 1)$ aus.
  $- a - b - 1 = - 1 (\frac{- a}{- 1} + \frac{- b}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}) = (a + b + 1)$
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4. $(- 1)$ aus: $a - b - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Klammere $(- 1)$ aus.
  $a - b - 1 = - 1 (\frac{a}{- 1} + \frac{- b}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}) = - 1 (- a + b + 1)$
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5. $(- {ab}^{2})$ aus $- {ab}^{4} + a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  $- {a b}^{4} + a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2}$
  Suche den Faktor $(- a b^{2})$ in jedem Summanden:
  $= - {a b}^{2} \cdot b^{2} - a \cdot (- {a b}^{2}) \cdot b + a^{2} \cdot (- {a b}^{2})$
  Klammere $(- {a b}^{2})$ aus.
  $= (- {a b}^{2}) \cdot (b^{2} - a b + a^{2})$
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6. $(- 2 ab)$ aus $2 {ab}^{2} - 4 a^{2} b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Klammere $(- 2 a b)$ aus.
  $2 {a b}^{2} - 4 a^{2} b = - 2 a b (\frac{2 {a b}^{2}}{- 2 a b} + \frac{- 4 a^{2} b}{- 2 a b}) = - 2 a b (- b + 2 a)$
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7. $(\frac{1}{2} x^{2} y)$ aus $\frac{1}{2} x^{4} y - \frac{5}{2} x^{3} y - x^{2} y^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Klammere $(\frac{1}{2} x^{2} y)$ aus.
  $\frac{1}{2} x^{4} y - \frac{5}{2} x^{3} y - x^{2} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} y (\frac{\frac{1}{2} x^{4} y}{\frac{1}{2} x^{2} y} + \frac{- \frac{5}{2} x^{3} y}{\frac{1}{2} x^{2} y} + \frac{- x^{2} y^{3}}{\frac{1}{2} x^{2} y}) = \frac{1}{2} x^{2} y (x^{2} - 5 x - 2 y^{2})$
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8
Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.
1. $m (r - s) - n (s - r)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Klammer $(- 1)$ bei $(s - r)$ aus.
  $m (r - s) - n (s - r)$ $=$ $m (r - s) + n (- s + r)$
  ↓
  Klammer $(r - s)$ aus.
  $=$ $(m + n) (r - s)$
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2. $4 a (2 x + 3 y) + 2 b (2 x + 3 y)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Klammere $(2 x + 3 y)$ aus.
  $4 a (2 x + 3 y) + 2 b (2 x + 3 y)$ $=$ $(4 a + 2 b) (2 x + 3 y)$
  ↓
  Klammere $2$ aus.
  $=$ $2 (2 a + b) (2 x + 3 y)$
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3. $s (a + x) + b (a + x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Klammere $(a + x)$ aus.
  $s (a + x) + b (a + x) = (a + x) (b + s)$
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4. $- y (x + a) + v (x + a)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Klammere $(x + a)$ aus.
  $- y (x + a) + v (x + a) = (a + x) (v - y)$
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5. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $8 \cdot (a + b) + (a + b)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Verwende $(a + b) = 1 \cdot (a + b)$ .
  $8 \cdot (a + b) + (a + b)$ $=$ $8 \cdot (a + b) + 1 \cdot (a + b)$
  ↓
  Klammere den Faktor $(a + b)$ aus.
  $=$ $(a + b) \cdot (8 + 1)$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $=$ $9 \cdot (a + b)$
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6. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $x \cdot (u - v) - y \cdot (u - v)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Klammere den Faktor $(u - v)$ aus.
  $x \cdot (u - v) - y \cdot (u - v) = (u - v) \cdot (x - y)$
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7. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $a \cdot (3 m - n) - b \cdot (3 m - n)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Klammere den Faktor $(3 m - n)$ aus.
  $a \cdot (3 m - n) - b \cdot (3 m - n)$ $=$ $(3 m - n) \cdot (a - b)$
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8. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $x \cdot (3 - r) - (3 - r)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Verwende $(3 - r) = 1 \cdot (3 - r)$ .
  $x \cdot (3 - r) - (3 - r)$ $=$ $x \cdot (3 - r) - 1 \cdot (3 - r)$
  $=$ $(3 - r) \cdot (x - 1)$
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9. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $5 u \cdot (a - 2 b) + v \cdot (a - 2 b)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Klammere den Faktor $(a - 2 b)$ aus.
  $5 u \cdot (a - 2 b) + v \cdot (a - 2 b) = (a - 2 b) \cdot (5 u + v)$
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10. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $2 x \cdot (3 u + v) - (3 u + v)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  Verwende $(3 u + v) = 1 \cdot (3 u + v)$
  $2 x \cdot (3 u + v) - (3 u + v)$ $=$ $2 x \cdot (3 u + v) - 1 \cdot (3 u + v)$
  ↓
  Klammere den Faktor $(3 u + v)$ aus.
  $=$ $(3 u + v) \cdot (2 x - 1)$
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9
Faktorisiere die folgenden Terme.
1. $av + au + v + u$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
  $a v + a u + v + u$ $=$ $a (v + u) + v + u$
  $=$ $a (v + u) + 1 (v + u)$
  $=$ $(1 + a) (u + v)$
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2. $ba - by + xa - yx$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
  $b a - b y + x a - y x$ $=$ $b (a - y) + x a - y x$
  $=$ $b (a - y) + x (a - y)$
  $=$ $(b + x) (a - y)$
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3. $cq + cr - q - r$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
  $c q + c r - q - r$ $=$ $c (q + r) - q - r$
  $=$ $c (q + r) - 1 (q + r)$
  $=$ $(c - 1) (q + r)$
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4. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $ax + ay + bx + by$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
  $a x + a y + b x + b y$ $=$ $a (x + y) + b x + b y$
  $=$ $a (x + y) + b (x + y)$
  $=$ $(a + b) (x + y)$
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5. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $2 m + 2 n + 3 m + 3 n$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
  $2 m + 2 n + 3 m + 3 n$ $=$ $5 m + 5 n$
  $=$ $5 (m + n)$
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6. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $3 am - mv + 3 a - v$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
  $3 a m - m v + 3 a - v$ $=$ $m \cdot (3 a - v) + 1 \cdot (3 a - v)$
  $=$ $(m + 1) (3 a - v)$
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7. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $4 uv - u + 12 vy - 3 y$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
  $4 u v - u + 12 v y - 3 y$ $=$ $4 u v - u + 4 v \cdot 3 y - 3 y$
  $=$ $u \cdot (4 v - 1) + 3 y \cdot (4 v - 1)$
  $=$ $(4 v - 1) \cdot (u + 3 y)$
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10
Faktorisiere und klammere aus soweit möglich. Für diese Aufgabe musst du schon die binomischen Formeln kennen.
1. $m (2 r + 2 s) (2 r - 2 s)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  $m (2 r + 2 s) (2 r - 2 s)$
  ↓
  Wende die d ritte Binomische Formel an.
  $=$ $m (4 r^{2} - 4 s^{2})$
  ↓
  Klammere 4 aus.
  $=$ $4 m (r^{2} - s^{2})$
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  Wende zuerst die 3. binomische Formel an.
2. ${sm}^{2} - {sn}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  $s m^{2} - s n_{}^{2}$ $=$ $s (m^{2} - n^{2})$
  ↓
  Klammere $s$ aus.
  $=$ $s (m - n) (m + n)$
  ↓
  Verwende die 3. binomische Formel
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3. $6 a (7 x - 5 y) + 9 b (- 7 x + 5 y)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  $6 a (7 x - 5 y) + 9 b (7 x - 5 y)$ $=$ $6 a (7 x - 5 y) - 9 b (7 x - 5 y)$
  ↓
  -1 aus (-7x+5y) ausklammern.
  $=$ $(6 a - 9 b) (7 x - 5 y)$
  ↓
  (7x-5y) ausklammern.
  $=$ $3 (2 a - 3 b) (7 x - 5 y)$
  ↓
  3 ausklammern
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4. $(gt - ht) + (2 g - 2 h)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
  $(g - h) (t + 2)$
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Welche der Terme sind jeweils äquivalent.

- $2 x^{2} : x - 3 \cdot (x + x) - x \cdot \frac{1}{2} x$
- $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x (8 + x) - 0,25 x^{2}$
- $- 0,5 x \cdot x - 2 x \cdot (- 2)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
Erster Term
$2 x^{2} : x - 3 \cdot (x + x) - x \cdot \frac{1}{2} x$
↓
Fasse zusammen
$=$ $2 x - 3 \cdot 2 x - \frac{1}{2} x^{2}$
↓
Der Term mit dem höchsten Exponenten wird vorne hingeschrieben
$=$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 6 x$
↓
Fasse zusammen
$=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$
Zweiter Term
$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x (8 + x) - 0,25 x^{2}$
↓
Multipliziere die Klammer aus.
$=$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x \cdot 8 - \frac{1}{2} x \cdot x - 0,25 x^{2}$
$=$ $\frac{1}{4} x^{2} - 4 x - \frac{1}{2} x^{2} - 0,25 x^{2}$
$=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$
Dritter Term
$- 0,5 x \cdot x - 2 x \cdot (- 2)$
↓
Schreibe $0,5$ als Bruch, $\frac{1}{2}$ .
$=$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$
Die ersten zwei Terme sind äquivalent.
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Multipliziere alle Terme vollständig aus, bis keine Klammern mehr da sind. Kreuze die Terme an, die auf das gleiche Ergebnis führen.

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x$
$- 2 x (2 - \frac{1}{4} x) + 0,5 x - x : 2$
$(x - 2) \cdot \frac{1}{2} x - 3 x$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$3 + 25 + 5 \cdot 95$
	↓ Überprüfe, ob die Summanden einen gemeinsamen Teiler haben. Du siehst, dass das lediglich bei den rechten beiden Summanden der Fall ist.
$=$	$3 + 5 \cdot 5 + 5 \cdot 95$
	↓ Klammere den Faktor 5 aus den beiden letzten Summanden aus.
$=$	$3 + 5 \cdot (5 + 95)$
	↓ Rechne nun die Summe in der Klammer aus.
$=$	$3 + 5 \cdot 100$
	↓ Beachte nun die Regel Punkt vor Strich.
$=$	$3 + 500$
	↓ Führe nun noch die letzte Addition aus.
$=$	$503$

	$99 + 11 \cdot 123$
	↓ Finde einen gemeinsamen Teiler.
$=$	$11 \cdot (9 + 123)$
	↓ Rechne jetzt die Summe in der Klammer aus.
$=$	$11 \cdot 132$
	↓ Multipliziere die beiden Faktoren miteinander. Führe dazu eine kleine Zwischenrechnung durch: $(10 + 1) \cdot 132$ .
$=$	$\underset{= 1320}{\underset{⏟}{10 \cdot 132}} + 132$
	↓ Berechne nun mit der Regel Punkt vor Strich das Ergebnis.
$=$	$1452$

	$7 \cdot 12 + 2 \cdot 7 \cdot 4$
	↓ Finde einen gemeinsamen Teiler für die beiden Summanden: Hier ist es die Zahl 7. Klammere die 7 aus jedem der beiden Summanden aus.
$=$	$7 \cdot (12 + 2 \cdot 4)$
	↓ Berechne die Summe in der Klammer. Beachte dabei natürlich die Regel "Punkt vor Strich", und berechne erst $2 \cdot 4$ ,
$=$	$7 \cdot (12 + 8)$
	↓ und erst danach die Summe von 12 und 8.
$=$	$7 \cdot 20$
$=$	$140$

	$(9 \cdot 7 + 45) + (8 \cdot 3 + 64)$
	↓ Suche zunächst nach einem gemeinsamen Teiler für die linke Summe.
$=$	$9 \cdot (7 + 5) + (8 \cdot 3 + 64)$
	↓ Wiederhole die Überlegung für die rechte Summe.
$=$	$9 \cdot (7 + 5) + 8 \cdot (3 + 8)$
	↓ Rechne nun die beiden Summen in den Klammern aus.
$=$	$9 \cdot 12 + 8 \cdot 11$
$=$	$108 + 88$
$=$	$196$

	$- \frac{1}{2} a (a + 2 - 4 a b)$
$=$	$- \frac{1}{2} a \cdot a - \frac{1}{2} a \cdot 2 - \frac{1}{2} a \cdot (- 4 a b)$
$=$	$- \frac{1}{2} a^{2} - a + 2 a^{2} b$

	$7 \cdot 52 + 7 \cdot 61$
	↓ Finde einen gemeinsamen Teiler.
$=$	$7 \cdot (52 + 61)$
	↓ Rechne die Summe in der Klammer aus.
$=$	$7 \cdot 113$
	↓ Berechne das Produkt. Überlege dir ob Rechnungen wie $5 \cdot 113 + 2 \cdot 113$ oder $10 \cdot 113 - 3 \cdot 113$ vereinfachen.
$=$	$791$

	$8 \cdot 6 + 11 \cdot 8$
	↓ Finde einen gemeinsamen Teiler.
$=$	$8 \cdot (6 + 11)$
	↓ Rechne nun die Summe in der Klammer aus.
$=$	$8 \cdot 17$
	↓ Berechne nun das Produkt.
$=$	$136$

	$4 \cdot 17 + 13 \cdot 4$
	↓ Berechne die Summe in der Klammer.
$=$	$4 \cdot (17 + 13)$
	↓ Berechne das Produkt.
$=$	$4 \cdot 30$
$=$	$120$

$x^{3} - 7 x^{2}$	$=$
	↓	Klammere $x^{2}$ aus.
	$=$	$x^{2} (x - 7)$

$6 u v - 24 u v^{2}$	$=$
	↓	Klammere $6 u v$ aus.
	$=$	$6 u v (1 - 4 v)$

$14 {rs}^{2} - 7 r^{2} s + 35 r^{2} s^{2} t$	$=$
	↓	Klammere $7 r s$ aus.
	$=$	$7 r s (2 s - r + 5 r s t)$

$24 p^{3} q - 16 {pq}^{2}$	$=$
	↓	Klammere $8 p q$ aus.
	$=$	$8 p q (3 p^{2} - 2 q)$

$4 x^{2} y + 2 xy - 4 {xy}^{2}$	$=$
	↓	Klammere $2 x y$ aus
	$=$	$2 x y (2 x + 1 - 2 y)$

$2 x - 2 y$	$=$
	↓	Klammere den Faktor 2 aus.
	$=$	$2 \cdot (x - y)$

$- 5 x u + 15 x v - 10 x z$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $5 x$ aus.
	$=$	$- 5 x \cdot (u - 3 v + 2 z)$

$\frac{5}{3} a + 5 a^{2} - \frac{10}{3} a^{3}$	$=$	$5 a \cdot (. . .)$
$\frac{1}{3} \cdot 5 a + 5 a \cdot a - \frac{2}{3} \cdot 5 a \cdot a^{2}$	$=$	$5 a \cdot (. . .)$
	↓	Der Faktor 5a wird ausgeklammert.
$5 a \cdot (\frac{1}{3} + a - \frac{2}{3} a^{2})$	$=$	$5 a \cdot (. . .)$

$1,5 a - 2,5 ab + 0,5 a^{2}$	$=$	$0,5 a \cdot (. . .)$
$0,5 a \cdot 3 - 0,5 a \cdot 5 b + 0,5 a \cdot a$	$=$	$0,5 a \cdot (. . .)$
	↓	Der Faktor 0,5a wird ausgeklammert .
$0,5 a \cdot (3 - 5 b + a)$	$=$	$0,5 a \cdot (. . .)$

$\frac{1}{2} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{3}{4} xz$	$=$	$\frac{4}{8} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{6}{8} xz$
	↓	Klammere den Faktor $\frac{1}{8} x$ aus.
	$=$	$\frac{1}{8} x \cdot (4 u - v + 6 z)$

$\frac{2}{3} a - \frac{5}{6} b$	$=$	$\frac{4}{6} a - \frac{5}{6} b$
	↓	Klammer $\frac{1}{6}$ aus.
	$=$	$\frac{1}{6} (4 a - 5 b)$

$26 x y - 13 x z$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $13 x$ aus.
	$=$	$13 x \cdot (2 y - z)$

$7 x - 7 y + 7 z$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $7$ aus.
	$=$	$7 \cdot (x - y + z)$

$- 7 x + 14 x y$	$=$	$- 7 x (. . .)$
	↓	Der Faktor -7x wird ausgeklammert.
$- 7 x \cdot 1 - 7 x \cdot (- 2 y)$	$=$	$- 7 x \cdot (1 - 2 y)$

$a x^{2} - 6 x^{3}$	$=$	$x^{2} \cdot (. . .)$
	↓	Der Faktor $x^{2}$ lässt sich ausklammern.
$x^{2} \cdot a - x^{2} \cdot 6 x$	$=$	$x^{2} \cdot (a - 6 x)$

$m (r - s) - n (s - r)$	$=$	$m (r - s) + n (- s + r)$
	↓	Klammer $(r - s)$ aus.
	$=$	$(m + n) (r - s)$

$4 a (2 x + 3 y) + 2 b (2 x + 3 y)$	$=$	$(4 a + 2 b) (2 x + 3 y)$
	↓	Klammere $2$ aus.
	$=$	$2 (2 a + b) (2 x + 3 y)$

$8 \cdot (a + b) + (a + b)$	$=$	$8 \cdot (a + b) + 1 \cdot (a + b)$
	↓	Klammere den Faktor $(a + b)$ aus.
	$=$	$(a + b) \cdot (8 + 1)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$9 \cdot (a + b)$

$x \cdot (3 - r) - (3 - r)$	$=$	$x \cdot (3 - r) - 1 \cdot (3 - r)$
	$=$	$(3 - r) \cdot (x - 1)$

$2 x \cdot (3 u + v) - (3 u + v)$	$=$	$2 x \cdot (3 u + v) - 1 \cdot (3 u + v)$
	↓	Klammere den Faktor $(3 u + v)$ aus.
	$=$	$(3 u + v) \cdot (2 x - 1)$

$a v + a u + v + u$	$=$	$a (v + u) + v + u$
	$=$	$a (v + u) + 1 (v + u)$
	$=$	$(1 + a) (u + v)$

Aufgaben zum Ausklammern

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$b a - b y + x a - y x$	$=$	$b (a - y) + x a - y x$
	$=$	$b (a - y) + x (a - y)$
	$=$	$(b + x) (a - y)$

$c q + c r - q - r$	$=$	$c (q + r) - q - r$
	$=$	$c (q + r) - 1 (q + r)$
	$=$	$(c - 1) (q + r)$

$a x + a y + b x + b y$	$=$	$a (x + y) + b x + b y$
	$=$	$a (x + y) + b (x + y)$
	$=$	$(a + b) (x + y)$

$3 a m - m v + 3 a - v$	$=$	$m \cdot (3 a - v) + 1 \cdot (3 a - v)$
	$=$	$(m + 1) (3 a - v)$

$4 u v - u + 12 v y - 3 y$	$=$	$4 u v - u + 4 v \cdot 3 y - 3 y$
	$=$	$u \cdot (4 v - 1) + 3 y \cdot (4 v - 1)$
	$=$	$(4 v - 1) \cdot (u + 3 y)$

	$m (2 r + 2 s) (2 r - 2 s)$
	↓ Wende die d ritte Binomische Formel an.
$=$	$m (4 r^{2} - 4 s^{2})$
	↓ Klammere 4 aus.
$=$	$4 m (r^{2} - s^{2})$

$s m^{2} - s n_{}^{2}$	$=$	$s (m^{2} - n^{2})$
	↓	Klammere $s$ aus.
	$=$	$s (m - n) (m + n)$
	↓	Verwende die 3. binomische Formel

$6 a (7 x - 5 y) + 9 b (7 x - 5 y)$	$=$	$6 a (7 x - 5 y) - 9 b (7 x - 5 y)$
	↓	-1 aus (-7x+5y) ausklammern.
	$=$	$(6 a - 9 b) (7 x - 5 y)$
	↓	(7x-5y) ausklammern.
	$=$	$3 (2 a - 3 b) (7 x - 5 y)$
	↓	3 ausklammern

	$a (- \frac{1}{2} a + 2 b)$
$=$	$a \cdot (- \frac{1}{2} a) + a \cdot 2 b$
$=$	$- \frac{1}{2} a^{2} + 2 a b$

	$2 (- \frac{1}{4} a - \frac{1}{2} + b) \cdot a$
	↓ Multipliziere erst den linken Teil aus. Die eckige Klammer hilft dabei, den Überblick zu behalten, welche Klammer wohin gehört.
$=$	$[2 \cdot (- \frac{1}{4} a) + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 2 \cdot b] \cdot a$
	↓ Vereinfache den Term in der Klammer.
$=$	$[- \frac{1}{2} a - 1 + 2 b] \cdot a$
	↓ Multipliziere mit $a$ aus.
$=$	$- \frac{1}{2} a \cdot a - 1 \cdot a + 2 b \cdot a$
$=$	$- \frac{1}{2} a^{2} - a + 2 a b$