Termumformung mit Variablen

Einfache Termumformungen

Umordnen

Aufgrund des Kommutativgesetzes darf man die Summanden bzw. Faktoren eines Terms beliebig vertauschen.

Dies kann auch das Vereinfachen von Teiltermen erleichtern:

Mithilfe des Distributivgesetzes

• Faktorisieren / Ausklammern

• Ausmultiplizieren

Zusammenfassen

Manchmal können in einem Term Teile zusammengefasst werden, so z.B. im Term $x-5+8$, der denselben Wert hat wie $x+3$.

Terme können nur dann zusammengefasst werden, wenn sie keine Regeln, wie bspw. Punkt vor Strich verletzen und zudem zur selben Kategorie von Variablen gehören. Was ist damit gemeint? Beispiel:

In dieser Gleichung können nur zwei Terme zusammengefasst werden. $13$ und $12$ können nicht zusammengerechnet werden, da sie durch Multiplikation mit einer Variable verbunden sind. $13x$ und $12y$ können auch nicht zusammengefasst werden, da unterschiedliche Variablen vorliegen. Äpfel und Birnen dürfen hier nicht vermischt werden!

Tatsächlich kann die Gleichung nur wie folgt vereinfacht werden:

Null addieren (addieren und gleichzeitig abziehen)

Der Wert eines Terms ändert sich auch nicht, wenn man Null addiert, d.h, wenn man einen Term hinzuzählt und gleich wieder abzieht:

Manchmal kann man einen Term dadurch in eine vorteilhaftere Form bringen, z.B. bei der quadratischen Ergänzung.

Umformen mit bekannten Formeln

Generell kann man in einem Term immer einen Teilterm durch einen anderen Term ersetzen, wenn man weiß, dass beide gleich sind. Als Quelle können Rechenregeln (wie die Potenzgesetze) oder andere bekannte Gleichheiten (wie z.B. $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$) dienen.

Es empfiehlt sich, die wichtigsten Umformungsregeln sicher zu beherrschen.

Dazu gehören unter anderem:

• Distributivgesetz, Assoziativgesetz und Kommutativgesetz

• Kürzen und erweitern von Brüchen

• Potenzgesetze

• Teilweises radizieren

Oft können auch Regeln für bestimmte Funktionen hilfreich sein.

• Umformungsregeln für den Logarithmus und die Exponentialfunktion

• Additionstheoreme des Sinus und Cosinus

Beispiele

• $\sin^2(x)+\cos^2(x)-1$ kann umgeformt werden zu 0 (erst $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ ersetzen und dann ausrechnen)

• $a^1a^2a^3a^4+\sin^2(x)+\cos^2(x)$ kann umgeformt werden zu $a^{10}+1$ (Potenzgesetze)