Aufgaben
Herbert war fünfmal im Kino-Center für je 8,40€ Eintritt und dreimal im Filmpalast. Im Durchschnitt hat er 8,70€ pro Kinobesuch bezahlt. Was kostet die Eintrittskarte im Filmpalast?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Durchschnitt

Herbert ist insgesamt 88 Mal ins Kino gegangen. Er bezahlte dabei jeweils im Schnitt 8,70 €8,70 \text{ €}.
Für alle 88 Kinobesuche zahlte er insgesamt:
88,70 €=69,60 €\displaystyle 8\cdot 8,70 \text{ €} = 69,60 \text{ €}
Nun kostete ein Besuch im Kino-Center jeweils 8,40 €8,40 \text{ €}. Für die 55 Besuche dort bezahlte er also:
58,40 €=42,00 €\displaystyle 5\cdot 8,40 \text{ €} = 42,00 \text{ €}
Um die Kosten von den drei Kinobesuchen im Filmpalast zu berechnen, müssen von den Gesamtkosten 69,60 €69,60 \text{ €} die Kosten für die Kinobesuche im Kino-Center abgezogen werden.
69,60 €42 €=27,60 €\displaystyle 69,60 \text{ €} - 42 \text{ €} = 27,60 \text{ €}
Das sind die Kosten für drei Kinobesuche im Filmpalast. Für einen Besuch folgt also:
27,60 €:3=9,20 €\displaystyle 27,60 \text{ €}:3 = 9,20 \text{ €}

Alternative Lösung für Fortgeschrittene

Definiere eine Variable xx:
x:x: Kosten für einen Kinobesuch im Filmpalast
Aus den Informationen im Text kannst du eine Gleichung aufstellen.
(5840ct+3x):8=870ct\left(5\cdot840\mathrm{ct}+3\cdot x\right):8=870\mathrm{ct}
Nun brauchst du nur noch nach xx auflösen.
x=920ctx=920\mathrm{ct}
        \;\;\Rightarrow\;\; Die Eintrittskarte im Filmpalast kostet 9,20€.

 Frau Meier kauft einen neuen Wohnzimmerschrank zum Preis von 6768€. Ein Viertel des Preises bezahlt sie sofort.

  1. Wieviel muss sie pro Monat bezahlen, wenn sie den Rest des Kaufpreises auf 12 Monate verteilen läßt? (Gib einen Gesamtansatz an!)

  2. Fünf Monate nach dem Kaufabschluß bekommt sie eine Gehaltserhöhung und bezahlt ab dem 6. Monat 100€ mehr zurück. Im letzten Monat muss sie dann nur noch 346€ bezahlen. Nach wievielen Monaten ist der Schrank vollständig bezahlt? (Gib einen Gesamtansatz an!)

Teilaufgabe a.

 

Kaufpreis %%=6768€%%

Summe die direkt bezahlt wird %%=\frac14\cdot6768€%%

Gesamtansatz für die monatliche Rate aufstellen.

%%\left(6768€-\frac14\cdot6768€\right):12=%%

 

%%=423€%% pro Monat

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Sie muss monatlich %%423€%% zahlen.

Teilaufgabe b.

 

Summe die direkt bezahlt wird %%=\frac14\cdot6768€%%

5 Monate lang Rate von %%423€%% + letzen Monat Rate von %%346€%% (insgesamt %%6%% Monate)

%%x%% Monate lang Rate von %%523€%%

 

Gesamtanastz aufstellen.

%%x=\left[\left(6768€-\frac14\cdot6768€\right)-\left(5\cdot423€+346€\right)\right]:523€%%

 

%%x=(5089,5€-2466€):524€%%

 

%%x=5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Sie braucht %%11%% Monate um ddas Geld abzubezahlen.

 

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.
Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name

Beschreibung

Rechnung

Sabine

%%s%%

Marco

Marco hat 2€ weniger als Sabine.

%%s-2€%%

Volker

Volker hat doppelt so viel wie Sabine.

%%2s%%

Lena

Lena hat doppelt so viel wie Marco.

%%2\cdot(s-2€)%%

Alle zusammen

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€

%%s+(s-2€)+2s+2(s-2€)=66€%%

Berechne mit dem Gesamtansatz nun ss.
s+(s2)+2s+2(s2)s+\left(s-2€\right)+2s+2\left(s-2€\right)==6666€
Löse die Klammern auf.
s+s2+2s+2s4s+s-2€+2s+2s-4€==6666€
Fasse zusammen.
6s66s-6€==6666€|+6+6€
6s6s==7272€|:6:6
ss==1212€
Nachdem du s=12s=12€ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name

Beschreibung

Rechnung

Sabine

%%s=12€%%

Marco

Marco hat 2€ weniger als Sabine.

%%s-2€=12€-2€=10€%%

Volker

Volker hat doppelt so viel wie Sabine.

%%2s=2\cdot 12€=24€%%

Lena

Lena hat doppelt so viel wie Marco.

%%2(s-2€)=2\cdot 10€=20€%%

Alle zusammen

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€

%%12€+10€+24€+20€=66€\;\checkmark%%

Sabine hat also 1212€, Marco hat 1010€, Volker hat 2424€ und Lena hat 2020€.
Eine von 7.50 Uhr bis 17.30 Uhr dauernde Veranstaltung soll durch drei Pausen von je 45 min in gleiche Teile geteilt werden. Wann sind jeweils die Pausen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Einheiten

Die Veranstaltung dauert von 7:50 bis 17:30.
Berechne die Gesamtdauer der Veranstaltung.
Gesamtdauer der Veranstaltung:
17  h  30  min7  h  50  min=9  h  40  min\displaystyle 17\;\text{h}\;30\;\text{min} - 7\;\text{h}\; 50\;\text{min} = 9\;\text{h}\; 40\; \text{min}
Subtrahiere von dieser Zeit die Dauer der drei Pausen.
Dauer der Veranstaltung ohne Pausen:
9h  40min    3(45min)  =  9h  40min    135min\displaystyle 9\mathrm h\;40\min\;-\;3\cdot\left(45\min\right)\;=\;9\mathrm h\;40\min\;-\;135\min
Wandle die Einheiten um.
9  h  40min    135min\displaystyle 9\;\mathrm h\;40\min\;-\;135\min
  =7  h  160min    135min\displaystyle \;=7\;\mathrm h\;160\min\;-\;135\min
=7h  25min  =  445min\displaystyle =7\mathrm h\;25\min\;=\;445\min
Drei Pausen bedeuten, dass die Veranstaltung in vier Teile geteilt wird.
Dauer zwischen zwei Pausen: 
445min  :  4  =  111min  15s\displaystyle 445\min\;:\;4\;=\;111\min\;15\mathrm s
Alle 111,25min=1h51min15s111,25\,\text{min} = 1\,\text{h}\,51\text{min}\,15\text{s} sind also 4545 Minuten Pause.
Gib nun den Zeitraum den Pausen an.
Die erste Pause beginnt um 7  h  50  min+1  h  51  min  15  s7\;\text{h} \;50\;\text{min} + 1\;\text{h} \;51\;\text{min} \;15\;\text{s}, also um 9:41:159:41:15, und dauert bis 10:26:1510:26:15.
Die zweite Pause beginnt um 10  h  26  min  15  s+1  h  51  min  15  s10\;\text{h} \;26\;\text{min}\; 15\;\text{s} + 1\;\text{h} \;51\;\text{min} \;15\;\text{s}, also um 12:17:3012:17:30, und dauert bis 13:02:3013:02:30.
Die dritte Pause beginnt um 13  h  02  min  30  s+1  h  51  min  15  s13\;\text{h} \;02\;\text{min}\; 30\;\text{s} + 1\;\text{h} \;51\;\text{min} \;15\;\text{s}, also um 14:53:4514:53:45, und dauert bis 15:38:4515:38:45.
Herr R. Asant startet um 8 Uhr mit seinem Auto von Nürnberg zum 450 km entfernten Düsseldorf. Er will dort um 13 Uhr ankommen. Leider erreichte Herr Asant aufgrund eines Staus bis zum 225 km entfernten Frankfurt nur die Hälfte der erforderlichen Durchschnittsgeschwindigkeit. Um wie viel müsste er seine Durchschnittsgeschwindigkeit von Frankfurt nach Düsseldorf steigern, um die ursprünglich errechnete Durchschnittsgeschwindigkeit doch noch zu erreichen?
Die Durchschnittsgeschwindigkeit errechnet sich immer aus dem Quotienten von Gesamtstrecke durch Gesamtzeit, also
Durchschnittsgeschwindigkeit = GesamtstreckeGesamtzeit\displaystyle \text{Durchschnittsgeschwindigkeit}\ =\ \frac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Gesamtzeit}}

Die geplante Durchschnittsgeschwindigkeit v0v_0 für die Strecke Nürnberg - Düsseldorf ist:
v0=450km5h=90kmhv_0=\frac{450\mathrm{km}}{5h}=90\frac{\mathrm{km}}h
Die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit v1\overline{v_1} für die Strecke Nürnberg - Frankfurt aber:
v1=45kmht1=  225km  45kmh=5h\displaystyle \overline{v_1}=45\frac{{km}}h\Rightarrow t_1=\frac{\;225{km}\;}{45\frac{\mathrm{km}}h}=5h
Das bedeutet, dass Herr Asant erst um 13 Uhr in Frankfurt ist.
Da Herr Asant im 13 Uhr bereits in Düsseldorf und nicht erst in Frankfurt sein wollte, kann er nicht mehr pünktlich in Düsseldorf sein - egal wie schnell er nun noch fahren würde. Eine Steigerung der Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Strecke von Frankfurt nach Düsseldorf vermindert nur seine Verspätung bis er in Düsseldorf ankommt.
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