Aufgaben
Gib jeweils an, ob der Zusammenhang direkt oder indirekt proportional ist und beantworte jede Frage mit einem Antwortsatz.
Ein Pkw verbraucht auf 100 km 9,6 Liter Benzin.       Welche Strecke kann er mit einer Tankfüllung von 60 Litern zurücklegen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

Je mehr Liter, desto mehr km. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
9,6  Liter9,6\;Liter reichen für 100  km100\;km.
Damit reicht 1  Liter1\;Liter für 1009,6  km\frac{100}{9,6}\;km.
Folglich reichen 60  Liter60\;Liter für 601009,6  km=6000096  km=1000016  km=625  km60\cdot\frac{100}{9,6}\;km=\frac{60000}{96}\;km=\frac{10000}{16}\;km=625\;km.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Im Baumarkt kosten 40 Linsenkopf-Stahlstifte 0,68 €. Wie viel € würden 250 Stahlstifte gleichen Typs kosten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität


Je mehr Stahlstifte, desto mehr €. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
40  Stahlstifte40\;Stahlstifte kosten 0,68  0,68\;€.
1  Stahlstift1\;Stahlstift kostet damit 0,6840\frac{0,68}{40}€.
250  Stahlstifte250\;Stahlstifte kosten folglich 2500,6840  =2568400  =6816  =4,25  250\cdot\frac{0,68}{40}\;€=\frac{25\cdot68}{400}\;€=\frac{68}{16}\;€=4,25\;€.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Eine Straße steigt auf 2,4 km Länge um 8,4 m.       Wie viel m würde sie bei gleichbleibender Steigung auf 5 km steigen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.
Je mehr km, desto größer der Höhenunterschied. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
Auf 2,4  km2,4\;km steigt die Straße um 8,4  m8,4\;m.
Damit steigt die Straße auf 1  km1\;km um 8,42,4  m\frac{8,4}{2,4}\;m.
Folglich steigt die Straße auf 5  km5\;km um 58,42,4  m=58424  m=572  m=17,5  m5\cdot\frac{8,4}{2,4}\;m=5\cdot\frac{84}{24}\;m=5\cdot\frac72\;m=17,5\;m.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Zur Herstellung einer Garageneinfahrt benötigen drei Pflasterer 7,5 Stunden.       Wie lange würde die Arbeit dauern, wenn 5 Pflasterer eingesetzt werden können?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität

Für diese Aufgabe musst du die indirekte Proportionalität kennen.
Je mehr Pflasterer, desto weniger Stunden. Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.
3  Pflasterer3\;Pflasterer benötigen 7,5  h7,5\;h.
Damit benötigt 1  Pflasterer1\;Pflasterer dreimal solange, also 37,5  h=22,5  h3\cdot7,5\;h=22,5\;h.
5  Pflasterer5\;Pflasterer benötigen folglich 22,55  h=4,5  h.\dfrac{22,5}5\;h=4,5\;h.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Ein 6 m² großes Kupferblech, 4 mm dick, wiegt 213,6 kg.       Wie viel wiegt ein 3 mm dickes Kupferblech, das eine Fläche von 4 m² hat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

Je größer das Volumen, desto mehr kg. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
Ein 6  m26\;m^2 großes und 4  mm4\;mm dickes Kupferblech wiegt 213,6  kg213,6\;kg. Für das Volumen des Kupferblechs gilt: V=60,004  m3=0,024  m3V= 6\cdot0,004\;m^3=0,024\;m^3
Ein Kupferblech mit 0,001  m30,001\;m^3 Volumen wiegt damit 213,624  kg\frac{213,6}{24}\;kg.
Für das Volumen eines 3  mm3\;mm dickes Kupferblechs, das eine Fläche von 4  m24\;m^2 Fläche hat, gilt: V=40,003  m3=0,012  m3V=4\cdot0,003\;m^3=0,012\;m^3
Das Kupferblech wiegt folglich 12213,624  kg=213,62  kg=106,8  kg12\cdot\frac{213,6}{24}\;kg=\frac{213,6}2\;kg=106,8\;kg.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Von einer Bank bekommt ein Tourist 432 Dollar für 400 €.
Wie viel Dollar hätte er bekommen, wenn er 2250 € umgetauscht hätte?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.
Je mehr , desto mehr $   \;. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
Für 400  400\;€ hat er 432  $432\;\$ bekommen.
Damit hätte er 432400  $\frac{432}{400}\;\$ für 1  1\;€ bekommen.
Für 2250  2250\;€ hätte er folglich 2250432400  $=22502725  $=9027  $=2430  $2250\cdot\frac{432}{400}\;\$=2250\cdot\frac{27}{25}\;\$=90\cdot27\;\$=2430\;\$ bekommen.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Ein Verkäufer erhält bei einem monatlichen Umsatz von 45200 € eine Provision von 3164 €. Im nächsten Monat erhöht sich seine Provision um 220,50 €.
Wie hoch war der Umsatz?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.
Je mehr Provision, desto mehr Umsatz. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
Bei einer Provision von 3164  3164\;€ hatte der Verkäufer einen Umsatz von 45200  45200\;€.
Damit hätte er bei einer Provision von 1  1\;€ einen Umsatz von 452003164  \frac{45200}{3164}\;€.
Folglich ergibt sich bei einer Provision von 3384,40    (3164    +  220,50    =  3384,40)3384,40\;€\;(3164\;€\;+\;220,50\;€\;=\;3384,40\,€) ein Umsatz von 3384,4452003164=48350  3384,4\cdot\frac{45200}{3164}€=48350\;€.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Von 5 Maurern werden 616 m² Mauerwerk in 154 h hergestellt.
Wie viel Mauerwerk können bei gleicher Leistung 6 Maurer in 160 h herstellen?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.
Je mehr Maurer, desto mehr m². Je mehr Stunden, desto mehr m².
Es handelt sich somit um direkt proportionale Zuordnungen.
Von 5  Maurern5\;Maurern werden 616  m2616\;m^2 Mauerwerk in 154  h154\;h hergestellt.
Von 1  Maurer1\;Maurer werden also 6165  m2\frac{616}5\;m^2 Mauerwerk in 154  h154\;h hergestellt.
Von 6  Maurern6\;Maurern werden damit 66165  m26\cdot\frac{616}5\;m^2 Mauerwerk in 154  h154\;h hergestellt.
Von 6  Maurern6\;Maurern werden außerdem 115466165  m2\frac1{154}\cdot6\cdot\frac{616}5\;m^2 Mauerwerk in 1  h1\;h hergestellt.
Von 6  Maurern6\;Maurern werden folglich 160115466165  m2=4326  m2=768  m2160\cdot\frac1{154}\cdot6\cdot\frac{616}5\;m^2=4\cdot32\cdot6\;m^2=768\;m^2 Mauerwerk in 160  h160\;h hergestellt.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Um 1800 m³ Wasser 12 m hoch zu fördern, wird eine Pumpe von 4 kW benötigt.
Welche Wassermenge könnte von einer 8 kW Pumpe 16 m hoch gefördert werden?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.
Je mehr kWkW, desto mehr m³. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
Je mehr mm, desto weniger m³. Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.
Mit einer Pumpe von 4  kW4\;kW können 1800  m31800\;m^3 Wasser 12  m12\;m hoch gefördert werden.
Mit einer Pumpe von 1  kW1\;kW können also 18004  m3\dfrac{1800}4\;m^3 Wasser 12  m12\;m hoch gefördert werden.
Mit einer Pumpe von 8  kW8\;kW können 818004  m38\cdot\dfrac{1800}4\;m^3 Wasser 12  m12\;m hoch gefödert werden.
Mit einer Pumpe von 8  kW8\;kW können auch 12818004  m312\cdot8\cdot\dfrac{1800}4\;m^3 Wasser 1  m1\;m hoch gefördert werden.
Mit einer Pumpe von 8  kW8\;kW können folglich 11612818004  m3=2700  m3\dfrac1{16}\cdot12\cdot8\cdot\dfrac{1800}4\;m^3=2700\;m^3 Wasser 16  m16\;m hoch gefördert werden.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Um 1280 Karosserieteile herzustellen, müssen 4 Stanzen 8 h lang eingesetzt werden.
Um wie viel Stunden muss die tägliche Arbeitszeit erhöht werden, wenn 2400 Karosserieteile täglich hergestellt werden sollen und zwei Stanzen zusätzlich eingesetzt werden können?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.
Je mehr Stanzen, desto weniger Zeit. Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.
Je mehr Teile, desto mehr Zeit. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
4  Stanzen4\;Stanzen müssen 8  h8\;h lang eingesetzt werden, um 1280  Karosserieteile1280\; Karosserieteile herzustellen.
1  Stanze1\;Stanze muss also 48  h4\cdot8\;h eingesetzt werden, um 1280  Karosserieteile1280\; Karosserieteile herzustellen.
6  Stanzen6\;Stanzen müssen demnach 1648  h\frac16\cdot4\cdot8\;h lang eingesetzt werden, um 1280  Karosserieteile1280\; Karosserieteile herzustellen.
6  Stanzen6\;Stanzen müssen 112801648  h\frac1{1280}\cdot\frac16\cdot4\cdot8\;h lang eingesetzt werden, um 1  Karosserieteil1\; Karosserieteil herzustellen.
6  Stanzen6\;Stanzen müssen folglich 2400112801648  h=10  h2400\cdot\frac1{1280}\cdot\frac16\cdot4\cdot8\;h=10\;h lang eingesetzt werden, um 2400  Karosserieteile2400\; Karosserieteile herzustellen.
Damit muss die tägliche Arbeitszeit um 108  h=2  h10-8\;h=2\;h erhöht werden.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Auf drei automatischen Werkzeugmaschinen lassen sich 150 Metallhülsen in 1 h 15 min herstellen.
Wie viele Hülsen könnten in 2 h 30 min hergestellt werden, wenn zwei Maschinen zusätzlich zum Einsatz kämen?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.
Je mehr Maschinen, desto mehr Hülsen. Je mehr Zeit, desto mehr Hülsen. Es handelt sich somit um direkt proportionale Zuordnungen.
Auf 3  Maschinen3\;Maschinen lassen sich 150  Hu¨lsen150\;Hülsen in 75  min75\;min herstellen.
Auf 1  Maschine1\;Maschine lassen sich also 1503  Hu¨lsen\frac{150}3\;Hülsen in 75  min75\;min herstellen.
Auf 5  Maschinen5\;Maschinen lassen sich demnach 51503  Hu¨lsen5\cdot\frac{150}3\;Hülsen in 75  min75\;min herstellen.
Auf 5  Maschinen5\;Maschinen lassen sich auch 17551503  Hu¨lsen\frac1{75}\cdot5\cdot\frac{150}3\;Hülsen in 1  min1\;min herstellen.
Auf 5  Maschinen5\;Maschinen lassen sich auch 15017551503  Hu¨lsen=500  Hu¨lsen150\cdot\frac1{75}\cdot5\cdot\frac{150}3\;Hülsen=500\;Hülsen in 150  min=2  h  30  min150\;min=2\;h\;30\;min herstellen.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Um eine Decke von 96 m² Fläche einzuschalen, benötigen drei Einschaler 2 Tage bei einer täglichen Arbeitszeit von 8 h.
Wie viele Tage würden 4 Einschaler benötigen, um eine Decke von 144 m² Fläche einzuschalen, wenn die tägliche Arbeitszeit um 1 h erhöht würde?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.
Je mehr Einschaler, desto weniger Zeit. Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.
Je mehr m², desto mehr Zeit. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
Je mehr h/Tag, desto weniger Zeit. Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.
3  Einschaler3\;Einschaler benötigen 2  Tage2\;Tage bei einer Arbeistzeit von 8  h/Tag8\;h/Tag, um 96  m296\;m^2 auszuschälen.
1  Einschaler1\;Einschaler benötigt also 32  Tage3\cdot2\;Tage bei einer Arbeistzeit von 8  h/Tag8\;h/Tag, um 96  m296\;m^2 auszuschälen.
4  Einschaler4\;Einschaler benötigen demnach 1432  Tage\frac14\cdot3\cdot2\;Tage bei einer Arbeistzeit von 8  h/Tag8\;h/Tag, um 96  m296\;m^2 auszuschälen.
4  Einschaler4\;Einschaler benötigen auch 1961432  Tage\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage bei einer Arbeistzeit von 8  h/Tag8\;h/Tag, um 1  m21\;m^2 auszuschälen.
4  Einschaler4\;Einschaler benötigen 1441961432  Tage144\cdot\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage bei einer Arbeistzeit von 8  h/Tag8\;h/Tag, um 144  m2144\;m^2 auszuschälen.
4  Einschaler4\;Einschaler benötigen 81441961432  Tage8\cdot144\cdot\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage bei einer Arbeistzeit von 1  h/Tag1\;h/Tag, um 144  m2144\;m^2 auszuschälen.
4  Einschaler4\;Einschaler benötigen folglich 1981441961432  Tage=2  Tage\frac19\cdot8\cdot144\cdot\frac1{96}\cdot\frac14\cdot3\cdot2\;Tage=2\;Tage bei einer Arbeistzeit von 9  h/Tag9\;h/Tag, um 144  m2144\;m^2 auszuschälen.
Quelle: Rudolf Brinkmann
In 3 Tagen verbrauchen 6 Dieselmotoren 2016 Liter Dieselkraftstoff bei einer täglichen Laufzeit von 16 h. Durch Ausweitung der Produktion sollen in Zukunft 8 Motoren eingesetzt werden und die tägliche Laufzeit um 2 h erhöht werden.
Mit welchem Kraftstoffverbrauch pro Tag muss gerechnet werden?
Die monatliche Stromrechnung für 8 Lampen beträgt bei täglich 8-stündiger Brenndauer 18 €.
Welcher Betrag ist zu zahlen, wenn 12 Lampen mit gleicher Leistung täglich 6 Stunden brennen?
Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität kennen.
Je mehr Lampen, desto mehr €. Je weniger Stunden pro Tag, desto weniger €. Es handelt sich somit um direkt proportionale Zuordnungen.
Die Rechnung für 8  Lampen8\;Lampen beträgt bei 8  h8\;h täglicher Brenndauer 18  18\;€.
Die Rechnung für 1  Lampe1\;Lampe beträgt bei 8  h8\;h täglicher Brenndauer 188  \frac{18}{8}\;€.
Die Rechnung für 12  Lampen12\;Lampen beträgt bei 8  h8\;h täglicher Brenndauer also 12188  12\cdot\frac{18}8\;€.
Die Rechnung für 12  Lampen12\;Lampen beträgt bei 1  h1\;h täglicher Brenndauer 1812188  \frac18\cdot12\cdot\frac{18}8\;€.
Die Rechnung für 12  Lampen12\;Lampen beträgt bei 6  h6\;h täglicher Brenndauer folglich 61812188  =20,256\cdot\frac18\cdot12\cdot\frac{18}8\;€=20,25€.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Zwölf Einschaler haben bei 9 - stündiger Arbeitszeit 390 m² Betonschalung in 7 Tagen hergestellt.
Wie viele Einschaler sind bei gleicher Leistung einzusetzen, wenn in insgesamt 21 Tagen 2340 m² Betonschalung hergestellt werden müssen, um den Terminplan einzuhalten, und die tägliche Arbeitszeit nur 8 Stunden beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Proportionalität

Für diese Aufgabe musst du die direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität kennen.
Je mehr m², desto mehr Einschaler. Es handelt sich somit um eine direkt proportionale Zuordnung.
Je mehr Tage, desto weniger Einschaler. Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.
Je weniger h/Tag, desto mehr Einschaler. Es handelt sich somit um eine indirekt proportionale Zuordnung.
12  Einschaler12\;Einschaler stellen bei 9  h9\;h Arbeitszeit 390  m2390\;m^2 Betonschalung in 7  Tagen7\;Tagen her.
12390  Einschaler\frac{12}{390}\;Einschaler stellen bei 9  h9\;h Arbeitszeit 1  m21\;m^2 Betonschalung in 7  Tagen7\;Tagen her.
234012390  Einschaler2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler stellen bei 9  h9\;h Arbeitszeit 2340  m22340\;m^2 Betonschalung in 7  Tagen7\;Tagen her.
7234012390  Einschaler7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler stellen bei 9  h9\;h Arbeitszeit 2340  m22340\;m^2 Betonschalung an 1  Tag1\;Tag her.
1217234012390  Einschaler\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler stellen bei 9  h9\;h Arbeitszeit 2340  m22340\;m^2 Betonschalung an 21  Tagen21\;Tagen her.
1217234012390  Einschaler\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler stellen bei 9  h9\;h Arbeitszeit 2340  m22340\;m^2 Betonschalung an 21  Tagen21\;Tagen her.
91217234012390  Einschaler9\cdot\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler stellen bei 1  h1\;h Arbeitszeit 2340  m22340\;m^2 Betonschalung an 21  Tagen21\;Tagen her.
1891217234012390  Einschaler=27  Einschaler\frac18\cdot9\cdot\frac1{21}\cdot7\cdot2340\cdot\frac{12}{390}\;Einschaler=27\;Einschaler stellen bei 8  h8\;h Arbeitszeit 2340  m22340\;m^2 Betonschalung an 21  Tagen21\;Tagen her.
Quelle: Rudolf Brinkmann
Handelt es sich bei den folgenden Größen um eine direkte oder indirekte Proportionalität:
Die Menge Wasser in einer Mineralwasserflasche und die Zahl der Flaschen, die benötigt werden, um 600 Schulkindern je einen halben Liter Mineralwasser zu bieten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität

Berechne, welche Menge Wasser benötigt wird.
6000,5l=300l600\cdot0,5l=300l
Überlege, wie man diese Menge in Flaschen aufteilen kann.
600l:0,5l=300600l:0,5l=300
Rechne aus, wie viele Flaschen benötigt werden, wenn die Flaschen doppelt so viel Wasser fassen können.
300l:1l=300300l:1l=300
Die Flaschenanzahl halbiert sich, während sich die Menge an Wasser, die eine Flasche fassen kann, verdoppelt. Somit sind die beiden Größen zueinander indirekt proportional.
        \;\;\Rightarrow\;\; Es handelt sich um indirekte Proportionalität.
Die Menge Wasser in einer Mineralwasserflasche und die Zahl der Schulkinder, die mit 400 Flaschen versorgt werden können, dass jeder einen halben Liter erhält.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

400 Flaschen mit je 0,5l  \rightarrow Versorgung aller Kinder
Überlege, was passiert, wenn sich die Menge an Wasser, die eine Flasche fassen kann, verdoppelt.
400 Flaschen mit je 1l \rightarrow Versorgung von doppelt so vielen Kindern (möglich).
Wenn sich die Größe einer Flasche verdoppelt, verdoppelt sich auch die Anzahl an Kindern, die damit versorgt werden können. Also sind die zwei Größen direkt zueinander proportional.
        \;\;\Rightarrow\;\; Es handelt sich um direkte Proportionalität.
Die in den Tabellen dargestellten Größen sind in beiden Fällen proportional. Entscheide, welche Art von Proportionalität jeweils vorliegt und vervollständige die Tabellen. Gib jeweils auch eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen x und y beschreibt.

x

1

1,8

2

4

y

3,1

5,58

6,2

17,05

x

0,1

0,2

0,5

1

1,4

y

10,5

5,25

2,1

0,75

0,42

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionailtät

Direkte Proportionalität, da der Quotient xy\frac xy konstant ist:

x

1

1,8

2

4

5,5

y

3,1

5,58

6,2

12,4

17,05

Indirekte Proportionalität, da das Produkt xyx\cdot y konstant ist:

x

0,1

0,2

0,5

1

1,4

2,5

y

10,5

5,25

2,1

1,05

0,75

0,42

Eine Spiralfeder gehorcht dem Hooke’schen Gesetz. Peter hat in einer Schülerübung mit einer Spiralfeder folgende Messwerte notiert.

 

F/N

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

s/cm

4,0

8,1

11,9

16,1

19,9

 

a) Überlege dir einen geeigneten Maßstab und stelle die Messwerte graphisch dar.

b) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen Kraft F und Dehnung s der verwendeten Feder beschreibt.

c) „Wenn wir an die Feder ein Massestück von 2 kg hängen, verlängert sie sich um ca. 1,6 m“, behauptet Peter. Beschreibe, wie er den Wert für die Verlängerung ermittelt haben könnte. Stimmst du seiner Aussage zu?

Bei einem Hilfsprojekt in Afrika wird Milchpulver, das in Säcken zu je 24 kg verpackt ist, in Tüten mit  %%1\frac45%% kg Inhalt abgefüllt.

a) Wie viele ganze Tüten können aus zwei Säcken insgesamt abgefüllt werden?

b) In einer Verteilerstelle für Hilfsgüter befinden sich 22 dieser Säcke. Durch einen Wasserschaden werden 176 kg davon unbrauchbar. Welcher Bruchteil der ursprünglichen Menge kann jetzt noch verwendet werden?

c) Bei einem der Säcke ist durch ein Loch  %%\frac2{15}%% des Inhalts verloren gegangen. Wie viele ganze Tüten kann man von dem Rest des Sackinhalts noch füllen?

d) Der LKW der Hilfsorganisation, der die Säcke brachte, war um 04:40 Uhr gestartet, hatte um 07:25 Uhr eine Pause von  %%1\frac25%% Stunden eingelegt, musste wegen einer Reifenpanne um 09:40 Uhr nochmals die Fahrt für  %%1\frac{11}{12}%% Stunden unterbrechen und kam schließlich um 12:25 Uhr bei der Verteilerstelle an. Wie lang war die reine Fahrzeit des LKWs?

Teilaufgabe a

  %%\begin{array}{l}1\;Sack\;\rightarrow\;24Kg\\2\;Säcke\;\rightarrow48\;Kg\end{array}%%

  %%\begin{array}{l}1\;Tüte\;(T)\;\rightarrow\;1,8Kg\\\frac59T\;\rightarrow\;1Kg\end{array}%%

%%\begin{array}{l}1Kg\;\rightarrow\;\frac59T\\48Kg\;\rightarrow\;\;\frac59\cdot48\;T\;=26,\overline6\;\end{array}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Es lassen sich 26 ganze Tüten aus 2 Säcken füllen.

 

Teilaufgabe b

%%22\;Säcke\;\rightarrow\;528\;kg%%

Davon bleiben übrig: %%528-176=352%%

 

 352 kg von 528 kg sind %%\frac{352}{528}=\frac23%% von den 22 Säcken

%%\Rightarrow\;\;%% Noch %%\frac23%% können verwendet werden.

 

Teilaufgabe c

%%\begin{array}{l}1\;Sack\;(S)\;\rightarrow24\;kg\\\frac2{15}S\;\rightarrow3,2\;kg\end{array}%%

 

24 kg sind in einem Sack. Davon gehen 3,2 kg verloren.

%%\Rightarrow\;24\;kg-3,2\;kg=20,8\;kg%% bleiben übrig

%%1\;kg\;\rightarrow\;\frac59T%%

%%20,8\;kg\;\;\rightarrow\;\;11,\overline5%%

%%\Rightarrow\;\;%% 11 Tüten lassen sich noch füllen.

 

Teilaufgabe d

Geg:

Startzeit: 4:40 Uhr

Ankunft: 12:25 Uhr

%%\rightarrow\;\;%% 7h 45min

Pausen: %%1\frac25\mathrm h\;\mathrm{und}\;1\frac{11}{12}\mathrm h%%

Was ist gegeben?

von 4:40 Uhr bis 12:25 Uhr sind es 7h 45min.

Pausen: %%1\frac25\mathrm h+1\frac{11}{12}\mathrm h=3\frac{19}{60}%%

%%\rightarrow\;\;%% 3h 19min

Wie lange war er insgesamt unterwegs und wie lang waren seine Unterbrechungen?

7h 45min - 3h 19min = 4h 26min

Ziehe die Unterbrechungen von der Insgesammten Zeit ab und man erhält die reine Fahrzeit.

%%\Rightarrow\;%% Die reine Fahrzeit beträgt 4 Stunden und 26 Minuten.

Zeichne jeweils rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse c=5cmc = 5 cm und den Katheten a=1,0cma = 1,0 cm; 1,5cm1,5 cm; 2,5cm2,5 cm bzw. 3,0cm3,0 cm. Miss in jedem Dreieck den zugehörigen Winkel α\alpha und trage ihn in unten stehende Tabelle ein. Sind Seitenlänge aa und Winkel α\alpha zueinander proportional?

Seitenlänge a

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Winkel %%\alpha%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten

Seitenlänge a

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Winkel %%\alpha%%

11,8°

18,3°

25,8°

35,3°

48,6°

Keine Proportionalität, da das Verhältnis aα\frac a\alpha nicht konstant.

Bei Wandverkleidungen werden häufig Profilbretter verwendet. Der im Handel angebotene Preis pro Quadratmeter bezieht sich aber auf die Fläche der Bretter und nicht auf die zusammengesteckten Bretter der zu bedeckenden Wandfläche. Es ist davon auszugehen, dass 1 Quadratmeter Bretter nur 0,9 Quadratmeter Wandfläche bedeckt.

a) Es sollen 12,4 Quadratmeter Wand verkleidet werden. Wie viel im Handel angebotene Quadratmeter Profilbretter müssen mindestens erworben werden?

b) Ein Brett ist 3,40 m lang und 121 mm breit. Wie viele Quadratmeter können mit diesem Brett tatsächlich bedeckt werden? Wie viele solcher Bretter braucht man mindestens für 1 Quadratmeter Wandfläche?

c) Im Prospekt wird der Quadratmeter Profilbretter zu 4, 55 € angeboten. Wie hoch ist der Preis pro Quadratmeter Wandfläche? Reichen 75 € für eine Wandfläche von 13,5 Quadratmeter?

Teilaufgabe a

%%\frac{12,4}{0,9}\;m^2\approx14\;m^2%% im Handel angebotene Profilbretter müssen mindestens erworben werden.

 

Teilaufgabe b

%%{\textstyle0}{\textstyle,}{\textstyle9}{\textstyle\cdot}{\textstyle(}{\textstyle3}{\textstyle,}{\textstyle40}{\textstyle\;}{\textstyle m}{\textstyle\cdot}{\textstyle121}{\textstyle\;}{\textstyle m}{\textstyle m}{\textstyle)}=0,9\cdot(3,40\;m\cdot0,121\;m)\approx0,37\;m^2%% können mit diesem Brett tatsächlich bedeckt werden. Man braucht mindestens %%3%% Bretter.

 

Teilaufgabe c

Der Preis pro Quadratmeter Wandfläche beträgt %%\frac{4,55}{0,9}€\approx5,06\,€%%.

%%13,5\cdot5,06€=68,31€<75€%%. Also reichen %%75\;€%%.

Es gibt viele Zahlenpaare positiver Zahlen, deren Produktwert 0,64 beträgt.
a) Gib 10 solche Zahlenpaare an.
b) Ermittle dasjenige Zahlenpaar, das den kleinsten Summenwert besitzt.

Teilaufgabe a

Für diese Aufgabe gibt es viele Lösungen. Du kannst zum Beispiel diese 10 Zahlenpaare angeben:
(0,1|6,4), (0,8|0,8), (1|0,64), (2|0,32), (4|0,16), (8|0,08), (10|0,064), (16|0,04), (32|0,02), (64|0,01)

Teilaufgabe b

Um diese Teilaufgabe zu bearbeiten, bietet es sich an systematisch Zahlenpaare durchzuprobieren.

Dabei stellt man fest, dass (0,8|0,8) das Zahlenpaar ist, das den kleinsten Summenwert liefert und dessen Zahlen den Produktwert 0,64 haben.
Wie oben erwähnt, kann man diese Aufgabe lösen, indem man systematisch Zahlenpaare durchprobiert.

Dabei kannst du ausnutzen, dass die gestellte Frage gleich dazu ist, nach jenem Zahlenpaar positiver Zahlen zu fragen, dessen Produktwert 64 ergibt, da du das Komma problemlos verschieben kannst.

Die Primfaktorzerlegung von 64 lautet
64=222222=26.\displaystyle 64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 .
Daraus kannst du Paare ablesen, deren Produktwert 64 ist. Diese sind (2|32), (32|2), (4|16), (16|4), (8|8). Sie sind, zusammen mit (64|1) und (1|64), die einzigen positiven, ganzzahligen Paare.

Natürlich gibt es auch weitere Zahlenpaare, sodass deren Produkt 64 ergibt, z.B. (128|0,5) oder (96|23\frac{2}{3}). Sie alle haben aber eine Zahl, die größer ist als 64 (andernfalls wäre diese Zahl ein Teiler von 64. Die Paare, bei denen dies der Fall ist, sind aber oben bereits abgedeckt). Der Summenwert dieser Zahlenpaare ist also in jedem Fall größer als 64.

Du erkennst nun sofort, dass das Paar (8|8) den kleinsten Summenwert, nämlich 16, liefert. Für die ursprüngliche Frage bedeutet das nun, dass (0,8|0,8) jenes Zahlenpaar ist, das den kleinsten Summenwert besitzt und dessen Produkt 0,64 ergibt.
Um Bakterien einer Zellkultur abzutöten, werden Antibiotika eingesetzt. In der ersten Stunde wird die Hälfte der Bakterien getötet, in der zweiten Stunde von den noch vorhandenen ein Drittel und in der dritten Stunde von den noch vorhandenen ein Viertel.
Berechne den Bruchteil der Bakterien, die dann noch vorhanden sind.
Es sind noch  122334=624=14\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34=\frac6{24}=\frac14 der ursprünglichen Bakterien vorhanden.

Image Title

Nach dieser Abbildung der Nationalflagge von Benin in Afrika soll eine Fahne aus Tuch gefertigt werden, die 5m breit und 3m hoch ist.

a) In einer Fabrik wird sie so genäht, dass das Rechteck AEGD  %%\frac25%% der Fahnenfläche einnimmt. Die beiden anderen Rechtecke sind gleich groß. Berechne die Stoffmenge für jedes Rechteck in Quadratmetern.

b) Eine andere Fabrik näht die Fahne so, dass alle drei inneren Rechtecke gleich groß sind.
Berechne Breite und Höhe jedes dieser Rechtecke in Metern. Runde auf Zentimeter genau.

c) In einer dritten Fabrik wird die Fahne so genäht, dass die Rechtecke AEGD und EBFH zusammen genau so groß sind wie das Rechteck HFCG. Ordne den Flächeninhalt dieser drei Rechtecke der Größe nach. Übrigens: Diese Fahne wäre in Benin wahrscheinlich unverkäuflich. Warum?

Teilaufgabe a

Rechteck AEGD:  %%6m^2%%

Rechtecke EBFH und HFCG: %%4,5m^2%%

 

 

 

Teilaufgabe b

Jedes Rechteck hat eine Fläche von %%5m^2%%.

 

Rechteck

Höhe in m

Brete in m

AEGD

1,67

3,00

EBFH

3,33

1,50

HFCG

3,33

1,50

Teilaufgabe c

Es sind drei Fälle möglich:
A(HFCG) > A(AEGD) > A(EBFH) oder
A(HFCG) > A(EBFH) > A(AEGD) oder
A(HFCG) > A(EBFH) = A(AEGD).
Dadurch können die beiden Rechtecke HFCG und EBFH nie gleich groß sein.

 

Diese Fahne ist nur ein entstelltes Bild der Nationalflagge.

 

In ein Schwimmbecken gelangen durch 6 gleiche Zuleitungen in fünf Stunden insgesamt 600 m3m^3 Wasser. Berechne, wie lange es dauert, das ganze Becken (1000 m3m^3) über nur 4 Zuleitungen zu füllen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

6 Zuleitungen benötigen für 600 m3m^3 ingesamt 5 Stunden.
Dividiere durch 5, um auszurechnen, wieviel Kubikmeter Wasser die 6 Zuleitungen in einer Stunde in das Becken befördern.
6005=120\frac{600}5=120
6 Zuleitungen benötigen für 120 m3m^3 ingesamt 1 Stunde.
Dividere die Anzahl an Kubikmetern Wasser durch 6, um auszurechnen, wieviel Wasser eine Zuleitung in einer Stunde in das Becken befördert.
1206=20\frac{120}6=20
1 Zuleitung benötigt für 20 m3m^3 insgesamt 1 Stunde.
Multipliziere mit 4, um die Leistung von 4 Zuleitungen in 1 Stunde auszurechnen.
420m3=80m34\cdot20m^3=80m^3
4 Zuleitungen brauchen für 80 m3m^3 insgesamt eine Stunde.
Dividiere nun die 1000 m3m^3 durch die 80 m3:hm^3:h, um auszurechnen, wieviele Stunden die 4 Zuleitungen brauchen, um diese Menge Wasser ins Becken zu befördern.
1000m380m3:h=12,5h\frac{1000m^3}{80m^3:h}=12,5h
    \Rightarrow\;\; Die 4 Zuleitungen benötigen 12,5 Stunden, um 1000 m3m^3 Wasser in das Becken zu befördern.

Ein Grundstück wird vermessen und die Länge auf 83,5 m und die Breite auf 42 m festgelegt.

a) Welchen Flächeninhalt besitzt das Grundstück?

b) Ein Käufer bietet für das Grundstück 250000 €. Von welchem Preis pro Quadratmeter geht der Käufer aus? (auf Euro genau).

c) Der Käufer will auf dem Grundstück ein Hotel einrichten. Die örtlichen Bauvorschriften besagen, dass höchstens ein Drittel des Grundstücks bebaut werden darf. Welche Grundfläche hat das Hotel, wenn der Käufer das Höchstmaß dafür sogar um 200 Quadratmeter unterschreitet.

Wie viele Quadrate zu je 2,5 cm Seitenlänge ergeben einen Quadratmeter?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat

40 dieser Quadrate müssen aneinander gelegt werden, um ein Rechteck der Fläche 2,5 cm x 100 cm zu erhalten.
Erneutes Zusammenlegen von 40 Rechtecken der Fläche 2,5 cm x 100 cm ergibt einen Quadratmeter.
Insgesamt werden also 4040=160040\cdot40=1600 Quadrate der Seitenlänge 2,5 cm benötigt.
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