Aufgaben

Bei der Klassensprecherwahl der Klasse 7c werden 30 Stimmen abgegeben. Nach dem Auszählen ist klar, dass Anna mit 12 Stimmen Klassensprecherin geworden ist. Erich bekam 3, Tobias 6 und Moritz 9 Stimmen.

Stelle das Ergebnis der Wahl in einem Säulendiagramm dar. Auf der senkrechten Achse sollen die Prozentsätze abgetragen werden.

Erstellen eines Säulendiagramms

Im Folgenden werden die Namen und Begriffe mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt.

Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffe zu. Die Anzahl aller Schüler*innen der Klasse 7c entspricht dem Grundwert.

Gegeben: G = 30 ; W%%_E%% = 3 ; W%%_M%% = 9 ; W%%_T%% = 6 ; W%%_A%% = 12

Berechne nun die Prozentsätze für alle Kategorien mit der Prozentformel %%p = \frac{W}{G}%%

%%p_E = \frac{W_E}{G} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 10\text{%}%%

%%p_M = \frac{W_M}{G} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 30\text{%}%%

%%p_T = \frac{W_T}{G} = \frac{6}{30} = \frac{2}{10} = 20\text{%}%%

%%p_A = \frac{W_A}{G} = \frac{12}{30} = \frac{4}{10} = 40\text{%}%%

Zeichne ein Säulendiagramm bei dem auf der waagrechten Achse die Kategorien und auf der senkrechten Achse die Prozentwerte abgetragen sind.

Säulendiagramm Aufgabe(neu)

An einer Schule wurde eine Umfrage nach dem letzten Urlaubsziel gestartet. Die Schule besuchen insgesamt 1090 Schüler*innen.

Deutschl.: 234

USA: 41

Spanien: 206

Frankreich: 34

Italien: 198

Sonstige: 205

Türkei: 172

Stelle die Prozentsätze in einem Kreisdiagramm und einem Säulendiagramm dar.

Erstellen von Diagrammen

Im Folgenden werden die Begriffe mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt.

Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffen zu. (Die Anzahl aller Schüler*innen entspricht dem Grundwert.

Gegeben: %%W_\text{D} = 234\; ; \;W_\text{Sp} = 206\; ; \; W_\text{I} = 198 \; ; \; W_\text{T} = 272 \; ; \; W_\text{U} = 41\; ; \; W_\text{F} = 34\; ; \; W_\text{So} = 205\; ; \;G = 1090%%

Gesucht sind die prozentualen Anteile, also die Prozentsätze.

Gesucht: %%p_\text{D}\; ; \; p_\text{Sp}\; ; \; p_\text{I}\; ; \; p_\text{T}\; ; \; p_\text{U}\; ; \; p_\text{F}\; ; \; p_\text{So}%%

Berechne die Prozentsätze mit der Formel %%p = \frac W G%%.

%%p_\text{D} = \frac{W_\text{D}}{G} = \frac{234}{1090} \approx 0,2147 = 21,47\%%%

%%p_\text{Sp} = \frac{W_\text{Sp}}{G} = \frac{206}{1090} \approx 0,1890 = 18,90\%%%

%%p_\text{I} = \frac{W_\text{I}}{G} = \frac{198}{1090} \approx 0,1817 = 18,17\%%%

%%p_\text{T} = \frac{W_\text{T}}{G} = \frac{172}{1090} \approx 0,1578 = 15,78\%%%

%%p_\text{U} = \frac{W_\text{U}}{G} = \frac{41}{1090} \approx 0,0376 = 3,76\%%%

%%p_\text{F} = \frac{W_\text{F}}{G} = \frac{34}{1090} \approx 0,0312 = 3,12\%%%

%%p_\text{So} = \frac{W_\text{So}}{G} = \frac{205}{1090} \approx 0,1881 = 18,81\%%%

Runde nun auf ganze Prozent.

Hinweis

Wenn du auf ganze Prozent rundest, kann es sein, dass du insgesamt nicht genau auf 100% kommst, sondern etwas darüber oder etwas darunter.

%%p_\text{D} = 21\% \; ; \; p_\text{Sp} = 19\% \; ; \; p_\text{I} = 18\% \; ; \; p_\text{T} = 16\% \; ; \; p_\text{U} = 4\% \; ; \; p_\text{F} = 3\% \; ; \; p_\text{So} = 19\%%%

Jetzt kannst du die Prozentsätze in einem Säulendiagramm darstellen.

Darstellung von Prozentsätzen zu Urlaubszielen in einem Säulendiagramm

Um das Ergebnis in einem Kreisdiagramm darstellen zu können musst du nun die verschiedenen Winkel ausrechnen. Der ganze Kreis ist dann der Grundwert.

Gegeben: %%G = 360°%%

Berechne nun die Winkel, also die Prozentwerte, mit der Formel %%W = p \cdot G%%.

%%W_\text{D} = p_\text{D} \cdot G = 21\% \cdot 360° = 75,6°%%

%%W_\text{Sp} = p_\text{Sp} \cdot G = 19\% \cdot 360° = 68,4°%%

%%W_\text{I} = p_\text{I} \cdot G = 18\% \cdot 360° = 64,8°%%

%%W_\text{T} = p_\text{T} \cdot G = 16\% \cdot 360° = 57,6°%%

%%W_\text{U} = p_\text{U} \cdot G = 4\% \cdot 360° = 14,4°%%

%%W_\text{F} = p_\text{F} \cdot G = 3\% \cdot 360° = 10,8°%%

%%W_\text{So} = p_\text{So} \cdot G = 19\% \cdot 360° = 68,4°%%

Jetzt kannst du die Prozentsätze in einem Kreisdiagramm darstellen.

Kreisdiagramm Urlaubsziele

Maria möchte sich von ihren Ersparnissen ein Mountain-Bike kaufen, dessen Preis von 640 € auf 480 € reduziert wurde.

a) Um wie viel Prozent wurde der Preis gesenkt?

b) Wenn Maria das Rad bar bezahlt, bekommt sie sogar noch 2% Skonto, d. h., sie erhält einen Preisnachlass von 2%. Wie viel muss Maria in diesem Fall für das Rad bezahlen?

c) Das Geschäft bietet auch einen so genannten „Finanzkauf“ an. Dabei kann das Rad in 12 gleichen Monatsraten abbezahlt werden. Nach einer kurzen Rechnung stellt Maria fest, dass der Preis des Rades in diesem Fall um 5% höher ist als angegeben. Wie hoch ist demnach eine Monatsrate?

d) Die Eltern ermahnen Maria: „Wenn du für das Rad 480 € bezahlst, dann hast du 80% deiner Ersparnisse ausgegeben.“ Wie viel hat Maria gespart?

Teilaufgabe a)

Prozentrechnung

Gegeben: Ursprungspreis: 640 €; Reduzierter Preis %%x=480\,€%%

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Dreisatz anwenden.

%%640\,€=100\% %% und %%480\,€=x%%

 

%%p=\frac{480\,€}{640\,€}\cdot100\% %%

 

%%=75\% %%

Den Prozentsatz von 100% subtrahieren.

%%100\%-75\%=25\% %%

 

Antwort: Der ursprüngliche Preis ist um 25% gesunken.

Teilaufgabe b)

Prozentrechnung

Gegeben: reduzierter Preis: 480 € (100%); zusätzlicher Rabatt: 2%

Gesucht: Geldwert %%G%%

Dreisatz anwenden.

%%480\,€=100\% %% und %%x=2\% %%

 

%%G=\frac{480\,€\cdot2\%}{100\%}=9,60\,€%%

Die Lösung von dem reduzierten Preis subtrahieren .

%%480€-9,60€=470,40€%%

 

Antwort: Mit der zusätzlichen Ermäßigung würde das Fahrrad jetzt noch 470,40 € kosten.

Teilaufgabe c)

Prozentrechnung

Gegeben: reduzierter Preis: 480 € (100%); Aufpreis %%x%%=5%.

Gesucht: Preis einer Monatsrate %%PM%%

Dreisatz anwenden.

Neuer Preis %%NP%%: %%480\,€*1,05=504\,€.%%

%%PM=\frac{NP}{12}=\frac{504\,€}{12}=42\,€%%

 

Antwort: Eine Monatsrate würde 42 € kosten.

Teilaufgabe d)

Prozentrechnung

Gegeben: Preis des Fahrrads von 480 €

Anteil des Kaufpreises an der Gesamtersparnis entspricht 80%.

Gesucht: Summe des Ersparten %%SE%%

%%SE=\frac{480\,€}{80\%}=600\,€%%

 

Antwort: Ihr gesamtes Erspartes beträgt 600 €.

In einem Baumarkt werden zwei Artikel zu Einzelpreisen von 65 € und 47,50 € angeboten. Beide Artikel zusammen bekommt man für 102 €.

Wie hoch sind die Rabatte in Prozent, wenn für den ersten Artikel der Rabatt 2,5-mal so hoch ist, wie der Rabatt für den zweiten?

Zunächst bestimme den Gesamtrabatt:

%%\begin{array}{ccc}\mathrm{Artikel}\;I:\;\mathrm{Einzelpreis}:&65,00\;€&(\mathrm{Grundwert}\;I\;=\;G_I)\\\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:\;\mathrm{Einzelpreis}:&\underline{47,50\;€}&(\mathrm{Grundwert}\;\mathrm{II}\;=\;G_\mathrm{II})\\\mathrm{Preis}\;\mathrm{ohne}\;\mathrm{Rabatt}:&112,50\;€&\!\\\mathrm{Artikel}\;I\;\mathrm{und}\;\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:&\underline{-102,00\;€}&\!\\\mathrm{Gesamtrabatt}:&10,50\;€\;&(\mathrm{Prozentwert}\;I\;+\;\mathrm{Prozentwert}\;\mathrm{II})\end{array}%%

Es gilt: %%p_I=2,5\cdot p_\mathrm{II}%% (1) und %%W_I+W_\mathrm{II}=10,50\;€%% (2)

Mit den Prozentwerten %%W_I=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%}%% und %%W_{II}=\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}%% gelangt man zu folgendem Ansatz:

%%W_I+W_\mathrm{II}=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%}+\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=\frac{65,00\,€\cdot p_I}{100\%}+\frac{47,50\,€\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=10,50\,€%%

Mit der Gleichung (1) gilt: (Rechnung ohne Einheiten)

%%\frac{65,00\cdot2,5\cdot p_\mathrm{II}}{100}+\frac{47,50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{162,5\cdot p_\mathrm{II}+47,50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{210\cdot p_\mathrm{II}}{100}=2,1\cdot p_\mathrm{II}=10,50%%

%%p_\mathrm{II}=\frac{10,50}{2,1}=5\;\Rightarrow\;p_\mathrm{II}=5\% %%

Wenn diese Gleichheit nun in Gleichung (1) eingesetzt wird, gilt:

%%p_I=2,5\cdot p_\mathrm{II}=2,5\cdot5\%=12,5\% %%

Auf Artikel I wird also praktisch ein Rabatt von 12,5% und auf Artikel II ein Rabatt von 5% gegeben.

In einer Sportgruppe fahren 70% der Schüler Ski und 60% der Schüler Snowboard. Ein Viertel der Schüler fährt weder Ski noch Snowboard. 11 Schüler der Gruppe fahren Ski und Snowboard.

  1. Stelle die Anteile mittels einer Vierfeldertafel dar.

  2. Ermittle, wie viele Schüler insgesamt in der Sportgruppe sind.

Teilaufgabe a)

 

Vorgehensweise:

  • Setze alle Informationen, die gegeben sind, in die Vierfeldertafel ein. Also die Info, dass 70% der Schüler Ski fahren, 60% Snowboard fahren und 25% weder Ski noch Snowboard.
  • Ergänze einige Komplemente, also die Summe der Nicht-Ski- (30%) bzw. Nicht-Snowboard-Fahrer (40%).
  • Durch Ergänzung lässt sich der Anteil der Snowboarder, die nicht Ski fahren, und der Anteil der Skifahrer, die nicht Snowboard fahren, bestimmen.
  • Das letzte Feld, der Anteil der Schüler, die Ski und Snowboard fahren, lässt sich dann passend ergänzen.

Ski

Nicht-Ski

Summe

Snowboard

55% (11 Schüler)

5%

60%

Nicht-Snowboard

15%

25%

40%

Summe

70%

30%

100%

Teilaufgabe b)

Gesucht wird die gesamte Schülerzahl in der Sportgruppe. Sei diese mit %%x%% bezeichnet.

%%11%% (Schüler) ist der Prozentwert .

 

%%11%% (Schüler) ist der Prozentwert.

%%55\% %% ist der Prozentsatz.

Prozentwert durch Prozentsatz dividieren um 1% auszurechnen.

%%1\%\;\widehat=\;\frac{11}{55}%%

 

%%1\%\;\widehat=\;\frac15%%

Von 1% auf 100% hochrechnen.

%%100\cdot\frac15=20%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%%  Es sind ingesamt 20 Schüler in der Sportgruppe.

Für einen Artikel in der Schülerzeitung eines Gymnasiums wird in zwei 7. Klassen eine Umfrage zur Höhe des monatlichen Taschengeldes durchgeführt. Die folgenden Tabellen zeigen die Ergebnisse:

 

Klasse 7a:

Höhe des monatlichen Taschengeldes (in Euro)

0

7

7,50

8

10

12

15

20

25

Anzahl der Schüler

1

2

1

1

9

6

4

3

1

 

Klasse 7b:

Höhe des monatlichen Taschengeldes (in Euro)

5

6

7,50

10

12

15

20

25

150

Anzahl der Schüler

2

1

3

14

3

3

2

1

1

  • a) Andreas besucht die Klasse 7a und bekommt 10€ Taschengeld im Monat. Welcher Prozentsatz seiner Klassenkameraden bekommt mehr Taschengeld als er? Welcher Prozentsatz aller Siebtklässler bekommt mehr Taschengeld als er?

  • b) Um Andreas ein wenig zum Prozentrechnen zu bewegen, macht ihm sein Vater einen Vorschlag: „Wir erhöhen jetzt dein monatliches Taschengeld um 10% und kürzen es gleich anschließend wieder um 10%. Bist du damit einverstanden oder sollen wir lieber umgekehrt vorgehen?“ Sollte Andreas einem der Vorschläge zustimmen?

  • c) Berechne jeweils das arithmetische Mittel des monatlichen Taschengelds in den Klassen 7a und 7b. Warum ist es problematisch, mit diesen Werten die „Großzügigkeit“ der Eltern in beiden Klassen zu vergleichen?

Teilaufgabe a)

Vorgehensweise: Bestimme zunächst die Anzahl von Schülern der Klasse 7a, die mehr Taschengeld als Andreas bekommen, indem du zuerst die Klassengröße der 7a als Summe der Zeilensumme "Anzahl der Schüler"" bestimmst und dann von der Klassengröße diejenigen abziehst, die weniger oder gleich viel Taschengeld als Andreas bekommen.

Die Klasse besteht aus %%1+2+1+1+9+6+4+3+1=28%% Schülern.

Schüler, die mehr Taschengeld bekommen: %%28-9-1-1-2-1=14\;%%

%%\frac{14}{Anzahl\;der\;Schüler\;der\;Klasse\;7a}=\frac{14}{28}=0,5%%

%%\Rightarrow%% Der Prozentsatz seiner Klassenkameraden, die mehr Taschengeld bekommen, entspricht %%50\% %%.

Um die zweite Frage zu beantworten, muss vorausgesetzt werden, dass es nur zwei 7. Klassen am besagten Gymnasium gibt.

Bestimme nun die Gesamtzahl von Siebtklässlern und subtrahiere die Zahl derjenigen, die weniger oder gleich viel Taschengeld wie Andreas bekommenen, um die absolute Zahl der Schüler zu ermitteln, die mehr Taschengeld als Andreas bekommen.

In die 7. Klasse gehen insgesamt %%28+30=58%% Schüler, davon entfallen 28 auf die 7a und 30 auf die 7b.

Schüler, die mehr Taschengeld als Andreas bekommen: %%58-14-14-3-1-2=58-34=24%%

%%\frac{24}{Anzahl\;der\;Schüler\;der\;Klasse\;7a\;und\;7b}=\frac{24}{58}\approx0,41=41\% %%

%%\Rightarrow%% Der Prozentsatz aller Siebtklässler, die mehr Taschengeld bekommen, beträgt etwa %%41\% %%.

Teilaufgabe b)

 

Bestimme die Höhe des Taschengeldes nach dem ersten Vorschlag von Andreas Vater!

%%10\;Euro\cdot\;1,1\cdot0,9=9,90\;\text{Euro}%%

Höhe des Taschengeldes nach Vorschlag des Vaters: %%\;9,90\;\text{Euro}%%

Bestimme die Höhe des Taschengeldes nach dem zweiten Vorschlag von Andreas Vater!

%%10\;\text{Euro}\cdot\;0,9\cdot1,1=9,90\;\text{Euro}%%

Höhe des Taschengeldes nach umgekehrtem Vorschlag des Vaters: %%9,90\;\text{Euro}%%

%%\;\Rightarrow%% Merke: Beide Vorschläge führen zur gleichen Höhe des Taschengeldes. Falls diese Vorschläge also einen Vorteil für Andreas bringen würden, wäre es gleich, welchen Vorschlag er annimmt. Dies ist hier aber nicht der Fall.

%%\;\Rightarrow%% Andreas sollte aber keinen der beiden Vorschläge annehmen, da er sonst ein um 10 Cent niedrigeres Taschengeld bekäme.

%%\;\Rightarrow%% Als Lerneffekt der Aufgabe: Eine gleichzeitige Erhöhung und Reduzierung eines positiven Betrages um einen festen positiven Prozentsatz führt zu einer Verringerung des Betrages.  

Teilaufgabe c)

 

arithmetisches Mittel 7a: %%\frac{1\cdot0\,€+2\cdot7\,€+1\cdot7,50\,€+1\cdot8\,€+9\cdot10\,€+6\cdot12\,€+4\cdot15\,€+3\cdot20\,€+1\cdot25\,€}{28}%%

%%=\frac{336,50\,€}{28}\approx12\,€\;\text{pro Schüler}%%

arithmetisches Mittel 7b: %%\frac{2\cdot5\,€+1\cdot6\,€+3\cdot7,50\,€+14\cdot10\,€+3\cdot12\,€+3\cdot15\,€+2\cdot20\,€+1\cdot25\,€+1\cdot150\,€}{30}%%

%%=\frac{474,50\,€}{30}\approx16\;€\;\text{pro Schüler}%%

Beim arithmetischen Mittel werden große Ausreißer noch oben bzw. unten besonders stark gewichtet. Außerdem haben nicht alle Eltern die gleichen finanziellen Mittel. So müssten für eine Bewertung der Großzügigkeit noch andere Faktoren miteinbezogen werden.

Lies den folgenden Text aus einer Pressemitteilung des Bayerischen Landesamtes für Statistik und Datenverarbeitung aufmerksam durch und beantworte die Fragen.

5,7 Millionen Haushalte in Bayern im März 2004

Erneut mehr Singlehaushalte – Anteil jetzt über 36 Prozent

Nach den Ergebnissen des jährlich bei einem Prozent der Bevölkerung durchgeführten Mikrozensus gab es im März 2004 in Bayern insgesamt 5,731 Millionen Privathaushalte. Wie das Bayerische Landesamt für Statistik und Datenverarbeitung mitteilt, bedeutet dies gegenüber 2003 eine Steigerung um 0,9 Prozent. Überdurchschnittlich hoch war die Zunahme bei den Singlehaushalten. Ihre Anzahl hat sich gegenüber dem Vorjahr um 2,8 Prozent erhöht (auf 2,082 Millionen), während die Zahl der Haushalte mit 5 oder mehr Personen um 2,6 Prozent abgenommen hat (auf 288000). Im Ergebnis ist die durchschnittliche Haushaltsgröße von 2,21 Personen im Jahr zuvor auf 2,19 Personen im Jahr 2004 gesunken. Diese Zahlen verdeutlichen den anhaltenden Trend zu kleineren Haushalten, der bereits sehr lange zu beobachten ist. So bestanden im Jahr 1970 erst 24,6 Prozent aller Haushalte aus nur einer Person und es lebten durchschnittlich noch 2,83 Personen in einem Haushalt. Seitdem hat sich der Anteil der Single-Haushalte um 11,7 Prozentpunkte auf 36,3 Prozent im Jahr 2004 erhöht.

 

  1. Wie viele Privathaushalte gab es im März 2003?

  2. Wie groß war der prozentuale Anteil der Singlehaushalte an allen Privathaushalten jeweils im März 2003 und im März 2004?

  3. Um wie viel Prozent hat sich der Anteil der Mehrpersonenhaushalte (d. h. Haushalte mit mindestens 2 Personen) im Zeitraum von März 2003 bis März 2004 verändert?

Teilaufgabe a)

%%5.731.000=100,9\% %%

%%x=100\% %%

Dreisatz anwenden.

%%x=%% Anzahl der Privathaushalte im März 2003

%%\frac{5.731.000\cdot100\%}{100,9\%}=5.679.881%%

%%\Rightarrow%% Im März 2003 gab es  %%5.679.881%% Privathaushalte in Bayern.

Teilaufgabe b)

%%2.082.000=102,8\% %%

%%x=100\% %%

Bestimme zuerst die Anzahl an Singlehaushalten von 2003 mithilfe des Dreisatzes.

%%\frac{2.082.000\cdot100\%}{102,8\%}=2.025.292%%

%%5.679.421=100\% %%

%%2.025.292=x%%

Mit dem Dreisatz rechnest du den prozentualen Anteil der Singlehaushalte an allen Privathaushalten im Jahre 2003 aus.

%%\frac{2.025.292\cdot100\%}{5.679.421}=35,7\% %%

%%5.731.000=100\% %%

%%2.082.000=x%%

Mit Dreisatz prozentualen Anteil der Singlehaushalte von 2004 ausrechnen.

%%\frac{2.082.000\cdot100\%}{5.731.000}=36,3\% %%

 

%%\Rightarrow%% 2003 betrug der prozentuale Anteil der Singlehaushalte %%35,7\% %%, 2004 %%36,3\% %%.

Teilaufgabe c)

%%5.731.000-2.082.000=3.649.000%%

Zahl der Singlehaushalte (2004) von der Gesamtanzahl der Haushalte (2004) subtrahieren.

%%5.679.421-2.025.292=3.654.129%%

Zahl der Singlehaushalte (2003) von der Gesamtanzahl der Haushalte (2003) subtrahieren.

%%\frac{3.654.129}{5.679.421}\approx64,3\% %%

Anteil der Mehrpersonenhaushalte bestimmen im Jahr 2003…

%%\frac{3.649.000}{5.731.000}\approx\;63,7\% %%

…bzw. 2004 bestimmen.

%%\frac{3.654.129}{5.679.421}=100\% %%

%%\frac{3.649.000}{5.731.000}=x%%

Mit Dreisatz prozentualen Unterschied ausrechnen.

Wie hat sich der Anteil vom Jahr 2003 zum Jahr 2004 hin verändert?

%%x=\frac{\displaystyle\frac{3.649.000}{5.731.000}}{\displaystyle\frac{3.654.129}{5.679.421}}\approx98,96\% %%

%%100\%-x=(100-98,96)\%=1,04\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Von 2003 bis 2004 hat sich der Prozentanteil der Mehrpersonenhaushalte um ca. %%1,04\% %% reduziert.

Im Vorverkauf für ein Open-Air-Festival in einem Stadion mit 20 000 Plätzen wurden 12 000 Eintrittskarten abgesetzt. Während der Veranstaltung war das Stadion zu 90% besetzt. Berechne die Gesamteinnahmen, wenn eine Karte im Vorverkauf für 20 € und an der Stadionkasse für 25 € zu haben war.

Gesucht: Gesamteinnahmen

Die Gesamteinnahmen unterteilen sich in Einnahmen aus dem Vorverkauf und aus dem Verkauf an der Abendkasse. Berechne zunächst die Einnahmen aus dem Vorverkauf.

Vorverkauf: 12.000 Zuschauer*innen bezahlten je 20\,€ im Vorverkauf.

%%12\,000 \cdot 20\,€= 240\,000\,€%%.

Berechne nun die Einnahmen aus der Abendkasse.

Abendkasse:

Berechne zunächst wie viele Zuschauer*innen noch Karten an der Abendkasse gekauft haben. Berechne dazu wie viele Menschen während der Veranstaltung anwesend waren mit der Prozentformel. Dabei ist der Prozentwert %%W%% zu den gegebenen 90% und dem Grundwert 20 000 gesucht.

90% der Plätze sind vom Festival besetzt.

%%W= 90\% \cdot 20\,000 \\=0,9\cdot 20\,000\\=18\,000%%

Also haben %%18\,000-12\,000=6\,000%% Zuschauer*innen ihre Karte an der Stadionkasse gekauft.

Berechne nun die Einnahmen durch den Verkauf an der Abendkasse.

%%6\,000\cdot25\,€=150\,000\,€%%

%%240\,000\,€+150\,000\,€=390\,000\,€%%

Berechne nun die Gesamteinnahmen.

Antwort: Insgesamt wurden also %%390\,000\,€%% eingenommen.

Von einer Hypothek von 250.000 Euro muss jedes Jahr 3% der verbleibenden Schuld zurückbezahlt werden. Dies wird als Amortisation bezeichnet. Wieviel Prozent der ursprünglichen Schuld sind nach 3 Jahren noch vorhanden?

Gesucht: die verbleibende relative Schuld nach drei Jahren.

Jedes Jahr werden 3% der zu diesem Zeitpunkt bestehenden Schuld bezahlt. Berechne zunächst die nach einem Jahr verbleibende relative Schuld.

%%(100-3)\%=97\% %%

Zum Ende jeden Jahres werden die 3% auf die geminderte Restschuld gezahlt. Berechne die relative Restschuld nach drei Jahren.

%%97\%\cdot97\%\cdot97\%=\\ (97\%)^3= \\(0,97)^3 = \\0,912673 = 91,2673\% %%

%%\Rightarrow%% Die relative Restschuld nach 3 Jahren beträgt noch ca. 91,27% der Anfangsschuld von 250.000€.

Ein Auto verbraucht auf 400 km 47 Liter Benzin, ein anderes Auto verbraucht 65,8 Liter auf 700 km.      
Um wie viel Prozent ist der Verbrauch eines der beiden Autos niedriger als der des anderen?

Verbrauch auf 100 km:

 

Auto I: %%\frac{47}4=\;11,75\;\frac{\mathrm{Liter}}{100\;\mathrm{km}}%%

 

Auto II: %%\frac{65,8}7=\;9,4\;\frac{\mathrm{Liter}}{100\;\mathrm{km}}%%

%%\;\Rightarrow\;%% Auto I hat den höheren Verbrauch.

Bestimme nun die Abweichung des Verbrauchs von Auto II vom Verbrauch von Auto I. (Wir rechnen hier ohne Einheiten.)

Verbrauch von Auto I ist der Grundwert %%G%%.

%%\Rightarrow%% %%G=11,75%%

Prozentwert %%W = 11,75-9,4=2,35%%

Gesucht ist der Prozentsatz: %%p=\frac WG\cdot100\% %%.

%%p=\frac{2,35}{11,75}\cdot100\%=20\% %%

 

Antwort: Der Verbrauch von Auto II liegt um 20% unter dem von Auto I.

In der Klasse 2a soll jedes Kind seine Lieblingssportart angeben. Das Ergebnis lautet:

Fußball: 12

Tischtennis: 8

Handball: 6

Schwimmen: 4

Die Klasse hat insgesamt 30 Kinder.

Berechne zuerst die Prozentsätze und nutze diese um die Verteilung der Lieblingssportarten in einem Kreisdiagramm darzustellen.

Erstellen eines Kreisdiagramms

Ordne die gegbenen Größen den passenden Fachbegriffen zu

Gegeben: %%W_\text F = 12 \; ; \; W_\text T = 8 \; ; \; W_\text H = 6 \; ; \; W_\text S = 4%%

%%G = 12 + 8 + 6 + 4 =30%%

%%p_F = \frac {W_F} {G} = \frac{12}{30} = \frac{4}{10} = \frac{40}{100} = 40\%%%

%%p_T = \frac {W_T} {G} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} = 26,\overline6\%%%

%%p_H = \frac {W_H} {G} = \frac{6}{30} = \frac{2}{10} = \frac{20}{100} = 20\%%%

%%p_S = \frac {W_S} {G} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} = 13,\overline3\%%%

Berechne die entsprechenden Gradzahlen bezogen auf den ganzen Kreis also den Grundwert von 360°.

Gegeben: %%G = 360°%%

Gesucht werden die Winkel der Kreissektoren, also die Prozentwerte.

Gesucht: %%W_\text F\; ; \; W_\text T\; ; \; W_\text H\; ; \; W_\text S%%

Berechne die Prozentwerte mit der Prozentformel %%W = p \cdot G%%

%%W_\text F = p_\text F \cdot G = 40\% \cdot 360° = 144°%%

%%W_\text T = p_\text T \cdot G = 26,\overline6 \% \cdot 360° = 96°%%

%%W_\text H = p_\text H \cdot G = 20\% \cdot 360° = 72°%%

%%W_\text S = p_\text S \cdot G = 13,\overline 3\% \cdot 360° = 48°%%

Antwort:

BildKreisAufgabe

Prozentsatz Fußball: DreisatzKreisdiagramm40%

Prozentsatz Tennis: DreisatzKreisdiagramm26,6%

Prozentsatz Handball: DreisatzKreisdiagramm20%

Prozentsatz Sonsige: DreisatzKreisdiagramm13,3%


Gesucht werden die Winkel der Kreissektoren, also die Prozentwerte. Berechne diese mit dem Dreisatz.

Winkel vom Fußballsektor: DreisatzKreisdiagramm144°

Winkel vom Tennissektor: DreisatzKreisdiagramm96°

Rechnungserklärung:

%%26,\overline6 = 26\frac23%%
%%\Rightarrow 3,6\cdot 26,\overline6 = 3,6\cdot 26\frac23 =96%%

Winkel vom Handballsektor: DreisatzKreisdiagramm72°

Winkel vom Sonstigensektor: DreisatzKreisdiagramm48°

Rechnungserklärung:

%%13,\overline3 = 13\frac13%%
%%\Rightarrow 3,6\cdot 13,\overline3 = 3,6\cdot 26\frac13 =48%%

Antwort:

BildKreisAufgabe

In dem nebenstehenden Diagramm siehst du die Verteilung einer Umfrage über Haustierbesitzer. Die Werte beziehen sich auf eine Grundmenge von 500 Personen.

Legende: Hund - rot ; Katze - grün ; Nagetier - orange ; Vogel - blau ; Sonstige - gelb

Gib jeweils den prozentualen Anteil der jeweiligen Tierbesitzer an.

Kreisdiagramm Haustiere

Im Folgenden werden die Begriffe mit ihren Anfangsbuchstaben abgekürzt.

Die verschiedenen Winkel sind Prozentwerte, da sie Anteile des ganzen Kreises (Grundwert) darstellen.

Gegeben: %%W_\text{H} = 144° \; ; \; W_\text{K} = 126° \; ; \; W_\text{N} = 36° \; ; \; W_\text{V} = 32,4° \; ; \; W_\text{S} = 21,6° \; ; \; G = 360°%%

Gesucht werden die prozentualen Anteile, also die Prozentsätze.

Gesucht: %%p_\text{H} \; ; \; p_\text{K} \; ; \; p_\text{N} \; ;\; p_\text{V} \; ; \; p_\text{S}%%

Berechne die Prozentsätze mit der Prozentformel.

%%p_\text{H} = \frac {W_\text{H}}{G} = \frac{144°}{360°} = 0,4 = 40\text{%}%%

%%p_\text{K} = \frac {W_\text{K}}{G} = \frac{126°}{360°} = 0,35 = 35\text{%}%%

%%p_\text{N} = \frac {W_\text{N}}{G} = \frac{36°}{360°} = 0,1 = 10\text{%}%%

%%p_\text{V} = \frac {W_\text{V}}{G} = \frac{32,4°}{360°} = 0.09 = 9\text{%}%%

%%p_\text{S} = \frac {W_\text{S}}{G} = \frac{21,6°}{360°} = 0,06 = 6\text{%}%%

Antwort:

Hund: 40%

Vogel: 9%

Katze: 35%

Sonstige: 6%

Nagetier: 10%

Ordne folgende Prozentzahlen den nebenstehenden Kreissektoren zu!

15%

5%

20%

52%

8%

15% %%\widehat{=}%% orangener Kreissektor

5% %%\widehat{=}%% roter Kreissektor

20% %%\widehat{=}%% lilaner Kreissektor

52% %%\widehat{=}%% grüner Kreissektor

8% %%\widehat{=}%% schwarzer Kreissektor

Um die Prozentzahlen den Kreissektoren zuzuordnen, vergleicht man die Größe der Kreissektoren. Zum Bespiel entsprechen 52% ein bisschen mehr als der Hälfte. Entsprechend ist der zugehörige Kreissektor auch etwas größer als die Hälfte. Je größer die Prozentzahl, desto größer der Kreissektor.

Der Anglerverein "Petri Heil" hat 120 Mitglieder. 75% davon sind Erwachsene, der restliche Anteil Jugendliche. Dem Verein treten 10 Männer und 5 Jugendliche neu bei.

  1. Wie viele Jugendliche sind danach im Verein?

  2. Wie viel Prozent Erwachsene sind danach im Verein?

Runde den Prozentsatz auf eine Stelle nach dem Komma.

Teilaufgabe 1)

Zahl der Erwachsenen vorher: 75% von 120 = 90.

Zahl der Jugendlichen vorher: 25% von 120 = 30.

Zahl der Erwachsenen nachher: 90 + 10 = 100.
Zahl der Jugendlichen nachher: 30 + 5 = 35.

Denn es kommen 10 neue erwachsene und 5 neue jugendliche Mitglieder hinzu.

%%\Rightarrow%% Es sind nun 35 Jugendliche im Angelverein.

Teilaufgabe 2)

%%\frac{100}{135}\approx0,741=74,1\% %%

Bestimme den Anteil der Erwachsenen (100 Personen) an der neuen Gesamtzahl von Mitgliedern (135).

%%\Rightarrow%% Nach den Neuanmeldungen beträgt der Anteil der Erwachsenen %%74,1% %%.

An einer Wahl nahmen 426.688 Wahlberechtigte teil und stimmten je für eine der drei Parteien A, B und C. Die Partei B erhielt 70% der Stimmen von A, die Partei C hingegen 80% der Stimmen von B. Wie viele Stimmen erhielt jede Partei?

%%x_A=x%% ist die Anzahl der Stimmen für Partei A.

%%x_B=x_A\cdot0,7%% ist die Anzahl der Stimmen für Partei B.

%%x_C=x_B\cdot0,8=\left(x_A\cdot0,7\right)\cdot0,8=x\cdot0,56%%

Mache nun einen Gesamtansatz für alle Stimmen.

%%x_A+x_B+x_C=426688%%

Nutze nun die Beziehungen zwischen den Anzahlen, die oben erwähnt sind.

%%x+x\cdot0,7+x\cdot0,56=426688%%

Fasse nun die x-Werte zusammen.

%%x\cdot2,26=426688%%

%%\left|:2,26\right.%%

%%x=188800%%

%%\Rightarrow%% Partei A bekommt 188.800 Stimmen.

Da Partei B 70% der Stimmenanzahl von Partei A bekommt, bekommt sie %%188.800\cdot0,7=132.160%% Stimmen.

Partei C bekommt 80% der Stimmenanzahl von Partei B, also %%188.800\cdot0,56=105.728%% Stimmen.

Im Jahr 2007 wurde die Umsatzsteuer von 16% auf 19% erhöht.

Um wie viele Prozentpunkte ist die Steuer gestiegen?

Gegeben:
Steuersatz vor 2007: 16%
Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht:
Änderung in Prozentpunkten

Prozentpunkte sind die Differenz aus zwei Prozentangaben. Berechne die Differenz aus den zwei Prozentanagaben.

%%19\%-16\% = 3\% %%

Lösung: Die Steuer ist um 3 Prozentpunkte gestiegen.

Um wie viel Prozent ist die Steuer gestiegen?

Berechnung des Wachstumsfaktors

Gegeben:
Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht:
Wachstumsfaktor

Es handelt sich um eine Erhöhung. 19% ist also ein vermehrter Grundwert.

%%G^+ = 19\% %%
%%G=16\% %%

Stelle die Formel für den vermehrten Grundwert auf.

%%G^+=G \cdot (1+p)%%

Setze den vermehrten Grundwert %%G^+%% und den Grundwert %%G%% ein und berechne.

%%19\%=16\% \cdot (1+p)%%

%%|:16\% %%

%%\frac {19\%}{16\%} = 1+p%%

%%\frac {19}{16} = 1+p%%

%%1,1875 = 1+p%%

%%|-1%%

%%p=0,1875%%
%%p=18,75\% %%

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

Alternative zweischrittige Berechnung des Wachstumsfaktors

Gegeben:
Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht:
Wachstumsfaktor

Stelle zunächst fest, was der Grundwert und was der Prozentwert ist.

Der Ausgangswert und damit Grundwert ist der ältere Wert. In diesem Fall %%G=16\% %%. Der Prozentwert ist der Wert nach der Erhöhung. In diesem Fall %%W=19\% %%.

%%p=\frac W G%%

Setze den Grundwert und Prozentwert ein und berechne.

%%p= \frac {19\%} {16\%}%%
%%p= \frac {19}{16}%%
%%p= 1,1875%%
%%p=118,75\% %%

19% sind also 118,75% von 16%. Berechne nun den Wachstumsfaktor.

%%p_z = 118,75\% - 100\% = 18,75\% %%

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

Gegeben:
Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht:
Wachstumsfaktor

Stelle zunächst fest, was der Grundwert und was der Prozentwert ist.

Der Ausgangswert und damit Grundwert ist der ältere Wert. In diesem Fall %%G=16\% %%. Der Grundwert entspricht 100%.

Berechne den Prozentsatz.

DreisatzMehrwertsteuer

19% sind also 118,75% von 16%. Berechne nun den Wachstumsfaktor.

%%p_z = 118,75\% - 100\% = 18,75\% %%

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

Du kaufst 100 kg Wintermelonen und bekommst die Information, dass sie zu 99% aus Wasser bestehen. Nachdem du sie eine Zeit lang draußen gelagert hast, fällt dir auf, dass sie jetzt noch zu 98% aus Wasser bestehen.

  1. Wie viel könnten die nach der Lagerung getrockneten Melonen noch wiegen? Gib eine schnelle Schätzung an!

  2. Stell dir vier Gläser mit jeweils 1 g Mehl darin vor. In das erste Glas füllst du 99 g Wasser, in das zweite 98 g, ins dritte 90 g und ins vierte 50 g. Wie hoch ist jeweils der Wassergehalt der Mischungen?

  3. Stelle mit diesem Wissen eine neue Vermutung über das Gewicht der gelagerten Melonen an!

Wintermelonen hängend

1. Teilaufgabe

Die Aufgabenstellung verleitet zu der Vorstellung, dass nur ein Prozent Wasser verdunstet sei und deshalb noch fast das gesamte Gewicht vorhanden sei. Eine schnelle Schätzung könnte also "98 kg" sein.

2. Teilaufgabe

Mehl [kg]

Wasser [kg]

Gesamtmasse [kg]

Wassergehalt

%%1%%

%%99%%

%%\bf{100}%%

%%\dfrac{99}{100}=99\% %%

%%1%%

%%98%%

%%\bf{98}%%

%%\dfrac{98}{101}=98, \overline{98} \% %%

%%1%%

%%90%%

%%\bf{91}%%

%%\dfrac{90}{91}=98,9010989\% %%

%%1%%

%%50%%

%%\bf{51}%%

%%\dfrac{50}{51}=98,03921569\% %%

3. Teilaufgabe

Es muss bereits jede Menge Wasser verdunstet sein, wenn der Wassergehalt um einen Prozentpunkt reduziert ist. Eine gute Schätzung wäre jetzt "50 kg", was einer Halbierung des Gewichtes entspricht.

Tatsächlich ist dies sogar die Lösung, wie beispielsweise eine Weiterführung der obigen Tabelle zeigt:

Trockenmasse der Melone [kg]

Wasser der Melone [kg]

Gesamtmasse [kg]

Wassergehalt

%%1%%

%%49%%

%%\bf{50}%%

%%\dfrac{49}{50}=98\% %%

Also erhalten wir genau bei einer Gesamtmasse von 50 kg den geforderten Wassergehalt von 98%.

Anmerkungen

Die Aufgabe ist angelehnt an das sogenannte Kartoffelparadoxon. Da aber Kartoffeln in der Relatität einen zu kleinen Wassergehalt haben, werden hier Wintermelonen untersucht.

Im Jahr 2013 wurden über 500 Kinder im Alter von 5-9 Jahren zu ihrem Wunschberuf befragt. Stelle diese in einem Säulendiagramm dar.

Wunschberuf

In Prozent

Tierarzt

6,3%

Fußballspieler

5,7%

Polizist

5,7%

Pilot

4,6%

Arzt

3,6%

Rennfahrer

3,6%

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